הבדלים בין גרסאות בדף "חשבון אינפיניטיסימלי 2 - פתרון מועד א תשע"ג"
מתוך Math-Wiki
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (←סעיף ב) |
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (←סעיף ב) |
||
שורה 15: | שורה 15: | ||
===סעיף ב=== | ===סעיף ב=== | ||
− | <math>\int\frac{x^3+1}{x^3-1}</math> | + | <math>\int\frac{x^3+1}{x^3-1}\mathrm{d}x</math> |
על ידי חילוק פולינומים קל לראות ש | על ידי חילוק פולינומים קל לראות ש | ||
שורה 21: | שורה 21: | ||
<math>\frac{x^3+1}{x^3-1}=1+\frac{2}{x^3-1}</math> | <math>\frac{x^3+1}{x^3-1}=1+\frac{2}{x^3-1}</math> | ||
− | אז נתמקד בחישוב <math>\int\frac{2}{x^3-1}=\int\frac{2}{(x-1)(x^2+x+1)}</math> | + | אז נתמקד בחישוב <math>\int\frac{2}{x^3-1}\mathrm{d}x=\int\frac{2}{(x-1)(x^2+x+1)}\mathrm{d}x</math> |
לפי האלגוריתם לחישוב אינטגרל של פונקציה רציונאלית נחפש | לפי האלגוריתם לחישוב אינטגרל של פונקציה רציונאלית נחפש | ||
שורה 36: | שורה 36: | ||
<math>A=\frac{2}{3},\quad B=-\frac{2}{3},\quad C= -\frac{4}{3}</math> | <math>A=\frac{2}{3},\quad B=-\frac{2}{3},\quad C= -\frac{4}{3}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ברור ש | ||
+ | |||
+ | <math>\int\frac{\frac{2}{3}}{x-1}\mathrm{d}x=\frac{2}{3}\ln(x-1)+C</math> | ||
+ | |||
+ | נותר לחשב את <math>\int-\frac{2}{3}\frac{x+2}{x^2+x+1}\mathrm{d}x</math> | ||
+ | |||
+ | לפי השלמה לריבוע | ||
+ | |||
+ | <math>\int\frac{x+2}{x^2+x+1}\mathrm{d}x=\int\frac{x+2}{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}\mathrm{d}x</math> |
גרסה מ־17:12, 8 ביולי 2013
שאלה 2
סעיף א
נציב ואז
לאחר הצבה נקבל
סעיף ב
על ידי חילוק פולינומים קל לראות ש
אז נתמקד בחישוב
לפי האלגוריתם לחישוב אינטגרל של פונקציה רציונאלית נחפש
כלומר קיבלנו מערכת משוואות
וקל לראות שהפתרון שלה הוא:
ברור ש
נותר לחשב את
לפי השלמה לריבוע