הבדלים בין גרסאות בדף "חשבון אינפיניטיסימלי 2 - פתרון מועד א תשע"ג"
מתוך Math-Wiki
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (←סעיף ב) |
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (←סעיף ב) |
||
שורה 50: | שורה 50: | ||
נבצע הצבה <math>t=x+\frac{1}{2}</math> (רק בשביל נוחות) ואז נישאר עם | נבצע הצבה <math>t=x+\frac{1}{2}</math> (רק בשביל נוחות) ואז נישאר עם | ||
− | <math>\int\frac{t+\frac{3}{ | + | <math>\int\frac{t+\frac{3}{2}}{t^2+\frac{3}{4}}\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\int\frac{2t+3}{t^2+\frac{3}{4}}\mathrm{d}t</math> |
− | <math>=\frac{1}{2}\int\frac{2t}{t^2+\frac{3}{4}}\mathrm{d}t+\int\frac{\frac{3}{ | + | <math>=\frac{1}{2}\int\frac{2t}{t^2+\frac{3}{4}}\mathrm{d}t+\int\frac{\frac{3}{2}}{t^2+\frac{3}{4}}\mathrm{d}t</math> |
− | <math>=\frac{1}{2}\ln|t^2+\frac{3}{4}|+\frac{3}{ | + | <math>=\frac{1}{2}\ln|t^2+\frac{3}{4}|+\frac{3}{2}\frac{1}{\sqrt{\frac{3}{4}}}\arctan\frac{t}{\sqrt{\frac{3}{4}}}+c</math> |
− | <math>=\frac{1}{2}\ln|(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}|+\sqrt{\frac{3}{4}}\arctan\frac{x+\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{3}{4}}}+c</math> | + | <math>=\frac{1}{2}\ln|(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}|+2\sqrt{\frac{3}{4}}\arctan\frac{x+\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{3}{4}}}+c</math> |
− | ולכן <math>-\frac{2}{3}\int\frac{x+2}{x^2+x+1}\mathrm{d}x=-\frac{2}{3}(\frac{1}{2}\ln|(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}|+\sqrt{\frac{3}{4}}\arctan\frac{x+\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{3}{4}}})+c</math> | + | ולכן <math>-\frac{2}{3}\int\frac{x+2}{x^2+x+1}\mathrm{d}x=-\frac{2}{3}(\frac{1}{2}\ln|(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}|+2\sqrt{\frac{3}{4}}\arctan\frac{x+\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{3}{4}}})+c</math> |
אם נסכום את כל מה שקיבלנו נקבל שהתוצאה היא | אם נסכום את כל מה שקיבלנו נקבל שהתוצאה היא | ||
− | <math>x+\frac{2}{3}\ln|x-1|-\frac{2}{3}(\frac{1}{2}\ln|(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}|+\sqrt{\frac{3}{4}}\arctan\frac{x+\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{3}{4}}})+c</math> | + | <math>x+\frac{2}{3}\ln|x-1|-\frac{2}{3}(\frac{1}{2}\ln|(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}|+2\sqrt{\frac{3}{4}}\arctan\frac{x+\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{3}{4}}})+c</math> |
גרסה מ־13:11, 9 ביולי 2013
שאלה 2
סעיף א
נציב ואז
לאחר הצבה נקבל
סעיף ב
על ידי חילוק פולינומים קל לראות ש
אז נתמקד בחישוב
לפי האלגוריתם לחישוב אינטגרל של פונקציה רציונאלית נחפש
כלומר קיבלנו מערכת משוואות
וקל לראות שהפתרון שלה הוא:
ברור ש
נותר לחשב את
לפי השלמה לריבוע
נבצע הצבה (רק בשביל נוחות) ואז נישאר עם
ולכן
אם נסכום את כל מה שקיבלנו נקבל שהתוצאה היא