הבדלים בין גרסאות בדף "חשבון אינפיניטיסימלי 2 - פתרון מועד א תשע"ג"
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) (←שאלה 4) |
|||
שורה 91: | שורה 91: | ||
==שאלה 4== | ==שאלה 4== | ||
− | '''הפרכה:''' ניקח את <math>f_n(x)=\begin{ | + | '''הפרכה:''' ניקח את <math>f_n(x)=\left\{\begin{matrix} \frac1n,\ \ x=0\\ 0 \ \ \ \ \ \ \mathrm{else} \end{matrix}\right. |
+ | </math> וההתכנסות היא במ"ש (קל להוכיח). | ||
− | עוד פונקציה שמפריכה היא <math>f_n(x)=\frac{D(x)}{n}</math> כאשר <math>D(x)</math> היא פונקציית דיריכלה. זאת אומרת, <math>D(x)=\begin{ | + | עוד פונקציה שמפריכה היא <math>f_n(x)=\frac{D(x)}{n}</math> כאשר <math>D(x)</math> היא פונקציית דיריכלה. זאת אומרת, <math>D(x)=\left\{\begin{matrix} 1,\ \ x\in \mathbb{Q}\\ 0 \ \ \ \ \ \ \mathrm{else} \end{matrix}\right. |
+ | </math> | ||
==שאלה 6== | ==שאלה 6== |
גרסה מ־18:49, 9 ביולי 2013
תוכן עניינים
שאלה 2
סעיף א
נציב ואז
לאחר הצבה נקבל
סעיף ב
על ידי חילוק פולינומים קל לראות ש
אז נתמקד בחישוב
לפי האלגוריתם לחישוב אינטגרל של פונקציה רציונאלית נחפש
כלומר קיבלנו מערכת משוואות
וקל לראות שהפתרון שלה הוא:
ברור ש
נותר לחשב את
לפי השלמה לריבוע
נבצע הצבה (רק בשביל נוחות) ואז נישאר עם
ולכן
אם נסכום את כל מה שקיבלנו נקבל שהתוצאה היא
ואם מסדרים את זה יוצא
שאלה 3
סעיף א
צריך לבדוק אם מתכנס או מתבדר.
הצעה לפתרון: ננסה לחשב את . נסתכל על . ע"י החלפת משתנים נקבל
קיבלנו . ניתן לראות ע"י אינטגרציה בחלקים () כי האינטגרל הוא ולכן מתקיים:
וזה כמובן לא מתכנס ולכן האינטגרל מתבדר
סעיף ב
צריך לבדוק אם מתכנס או מתבדר.
הצעה לפתרון: ניעזר בהצבה , לכן , כלומר . במקרה זה בתחום גם כן. לכן:
, והאינטגרל שהתקבל מתכנס על פי דיריכלה.
שאלה 4
הפרכה: ניקח את וההתכנסות היא במ"ש (קל להוכיח).
עוד פונקציה שמפריכה היא כאשר היא פונקציית דיריכלה. זאת אומרת,
שאלה 6
נזכור כי הנוסחה לחישוב אורך עקומה של בקטע היא ולכן אנחנו מחפשים את .
מתקיים: .
כמו כן, .
נראה כי ולכן ולא צריך לדאוג לגבי הסימן המכנה.
נרצה לחשב כעת את