הבדלים בין גרסאות בדף "חשבון אינפיניטיסימלי 2 - פתרון מועד א תשע"ג"
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) |
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) (←שאלה 6) |
||
שורה 127: | שורה 127: | ||
כמו כן, <math>1+(-\tan(x))^2=1+\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}=\frac1{\cos^2(x)}</math>. | כמו כן, <math>1+(-\tan(x))^2=1+\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}=\frac1{\cos^2(x)}</math>. | ||
− | נראה כי <math>\forall x \in [0,\frac{\pi}6] :\cos(x)>0</math> ולכן <math>\sqrt{\frac{1}{\cos^2(x)}}=\frac1{\cos(x)}</math> ולא צריך לדאוג לגבי הסימן המכנה. | + | נראה כי <math>\forall x \in [0,\frac{\pi}6] :\cos(x)>0</math> ולכן <math>\sqrt{\frac{1}{\cos^2(x)}}=\frac1{\cos(x)}</math> ולא צריך לדאוג לגבי הסימן של המכנה. |
נרצה לחשב כעת את <math>\int_0^{\frac{\pi}6} \frac{1}{\cos(x)} dx</math> | נרצה לחשב כעת את <math>\int_0^{\frac{\pi}6} \frac{1}{\cos(x)} dx</math> |
גרסה מ־21:01, 9 ביולי 2013
תוכן עניינים
שאלה 1
שאלה 1 הייתה שאלת הוכחה מההרצאה. הוכחה 4 פה: הוכחות משפטים למבחן
שאלה 2
סעיף א
נציב ואז
לאחר הצבה נקבל
סעיף ב
על ידי חילוק פולינומים קל לראות ש
אז נתמקד בחישוב
לפי האלגוריתם לחישוב אינטגרל של פונקציה רציונאלית נחפש
כלומר קיבלנו מערכת משוואות
וקל לראות שהפתרון שלה הוא:
ברור ש
נותר לחשב את
לפי השלמה לריבוע
נבצע הצבה (רק בשביל נוחות) ואז נישאר עם
ולכן
אם נסכום את כל מה שקיבלנו נקבל שהתוצאה היא
ואם מסדרים את זה יוצא
שאלה 3
סעיף א
צריך לבדוק אם מתכנס או מתבדר.
הצעה לפתרון: ננסה לחשב את . נסתכל על . ע"י החלפת משתנים נקבל
קיבלנו . ניתן לראות ע"י אינטגרציה בחלקים () כי האינטגרל הוא ולכן מתקיים:
וזה כמובן לא מתכנס ולכן האינטגרל מתבדר
סעיף ב
צריך לבדוק אם מתכנס או מתבדר.
הצעה לפתרון: ניעזר בהצבה , לכן , כלומר . במקרה זה בתחום גם כן. לכן:
, והאינטגרל שהתקבל מתכנס על פי דיריכלה.
שאלה 4
הפרכה: ניקח את וההתכנסות היא במ"ש (קל להוכיח).
עוד פונקציה שמפריכה היא כאשר היא פונקציית דיריכלה. זאת אומרת,
שאלה 5
סעיף א'
קודם כל, נראה כי וקיבלנו טור חזקות כיוון ש- קבוע וכפל בקבוע לא משנה התכנסות או התבדרות של טור.
כעת נסתכל על החלק של טור החזקות בלבד. ניתן לחשב את רדיוס ההתכנסות שלו לפי דלאמבר:
כעת, נשאר לנו רק לבדוק התכנסות ב- . ניתן לראות בקלות שהאיבר הכללי של הסדרה לא ישאף ל-0 ב-2 המקרים האלה ולכן תנאי הכרחי להתכנסות של טור לא מתקיים. ניתן להסיק שהטור מתכנס אם ורק אם
סעיף ב'
דבר ראשון, נפרק את הפונקציה באופן הבא: . כעת נזכור כי והפעולה של החלפת הנגזרת והסכום חוקית כיוון שהטור ההנדסי מתכנס במ"ש.
ולכן, ו-
לכן ניתן להגיע לכך ש- . כעת כל מה שנישאר זה קצת לשחק עם המקדמים והמשתנים ככה שיצא טור מקלורן. (יש לשים לב שהמקדמים של הטור יהיו 1,1,2,2,3,3... ולכן נשתמש ב- ceil או floor לתאר את המקדמים)
שאלה 6
נזכור כי הנוסחה לחישוב אורך עקומה של בקטע היא ולכן אנחנו מחפשים את .
מתקיים: .
כמו כן, .
נראה כי ולכן ולא צריך לדאוג לגבי הסימן של המכנה.
נרצה לחשב כעת את