חוג הפולינומים מעל שדה: הבדלים בין גרסאות בדף
(←תכונות) |
מ (←הגדרה) |
||
| (2 גרסאות ביניים של 2 משתמשים אינן מוצגות) | |||
| שורה 3: | שורה 3: | ||
יהי <math>F</math> שדה. ביטוי פורמלי מהצורה <math>\sum_{i=0}^na_ix^i=a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n</math> כאשר <math>n\geq0</math> ו-<math>a_1,\ldots,a_n\in F</math> נקרא '''פולינום במשתנה <math>x</math> מעל <math>F</math>'''. האיברים <math>a_0,\ldots,a_n</math> נקראים '''מקדמי הפולינום'''. | יהי <math>F</math> שדה. ביטוי פורמלי מהצורה <math>\sum_{i=0}^na_ix^i=a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n</math> כאשר <math>n\geq0</math> ו-<math>a_1,\ldots,a_n\in F</math> נקרא '''פולינום במשתנה <math>x</math> מעל <math>F</math>'''. האיברים <math>a_0,\ldots,a_n</math> נקראים '''מקדמי הפולינום'''. | ||
נניח כי <math>m\leq n</math> אנו נאמר כי שני פולינומים <math>\sum_{i=0}^na_ix^i,\,\sum_{j=1}^mb_jx^j</math> הם שקולים אם <math>a_i=b_i</math> עבור <math>0\leq i\leq m</math> ו-<math>a_i=0</math> עבור <math>m<i\leq n</math>. מעכשיו, כאשר נדבר על פולינום נתכוון | נניח כי <math>m\leq n</math> אנו נאמר כי שני פולינומים <math>\sum_{i=0}^na_ix^i,\,\sum_{j=1}^mb_jx^j</math> הם שקולים אם <math>a_i=b_i</math> עבור <math>0\leq i\leq m</math> ו-<math>a_i=0</math> עבור <math>m<i\leq n</math>. מעכשיו, כאשר נדבר על פולינום נתכוון בעצם למחלקת השקילות של כל הפולינומים השקולים לו. עדיף לא לחשוב על זה. | ||
כל פולינום <math>f(x)</math> שאינו פולינום ה-0 (פולינום שכל מקדמיו הם 0) שקול לפולינום יחיד <math>a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n</math> עם <math>a_n\neq 0</math>. המספר <math>n</math> נקרא '''דרגת הפולינום''' ומסומן ב-<math>\deg f</math>. מעלת פולינום ה-0 מוגדרת לעיתים להיות <math>-\infty</math>. | כל פולינום <math>f(x)</math> שאינו פולינום ה-0 (פולינום שכל מקדמיו הם 0) שקול לפולינום יחיד <math>a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n</math> עם <math>a_n\neq 0</math>. המספר <math>n</math> נקרא '''דרגת הפולינום''' ומסומן ב-<math>\deg f</math>. מעלת פולינום ה-0 מוגדרת לעיתים להיות <math>-\infty</math>. | ||
| שורה 12: | שורה 12: | ||
'''אוסף הפולינומים מעל <math>F</math> במשתנה <math>x</math>''' יסומן ב-<math>F[x]</math>. | '''אוסף הפולינומים מעל <math>F</math> במשתנה <math>x</math>''' יסומן ב-<math>F[x]</math>. | ||
מגידירים על <math>F[x]</math> חיבור וכפל על ידי הנוסחאות: | מגידירים על <math>F[x]</math> חיבור וכפל על ידי הנוסחאות: | ||
* <math>\sum_{i=0}^na_ix^i+\sum_{i= | * <math>\sum_{i=0}^na_ix^i+\sum_{i=0}^nb_ix^n=\sum_{i=0}^n(a_i+b_i)x^n</math> (אם דרגת הפולינומים שמחברים לא שווה החליפו אותם בפולינומים שקולים עם אותה דרגה.) | ||
* <math>\sum_{i=0}^na_ix^i\cdot\sum_{j=0}^mb_jx^j=\sum_{k=0}^{m+n}\left(\sum_{0\leq i\leq n,0\leq j\leq m,m+n=k}a_ib_j\right)x^k</math> | * <math>\sum_{i=0}^na_ix^i\cdot\sum_{j=0}^mb_jx^j=\sum_{k=0}^{m+n}\left(\sum_{0\leq i\leq n,0\leq j\leq m,m+n=k}a_ib_j\right)x^k</math> | ||
הפעולות האלה הופכות את <math>F[x]</math> לחוג. | הפעולות האלה הופכות את <math>F[x]</math> לחוג. | ||
'''הערה:''' כל ההגדרות לעיל עובדות לכל חוג ולא רק לשדות. | '''הערה:''' כל ההגדרות לעיל עובדות לכל חוג ולא רק לשדות. | ||
== תכונות == | == תכונות == | ||
| שורה 23: | שורה 22: | ||
אם <math>F</math> שדה, החוג <math>F[x]</math> הוא [[תחום אוקלידי]]. פונקציית הדרגה תהייה דרגת הפולינום. כתוצאה מכך: | אם <math>F</math> שדה, החוג <math>F[x]</math> הוא [[תחום אוקלידי]]. פונקציית הדרגה תהייה דרגת הפולינום. כתוצאה מכך: | ||
* לכל שני פולינומים קיים מחלק משותף מקסימלי וניתן למצוא אותן ע"י [[האלגוריתם של אוקלידס]]. | * לכל שני פולינומים קיים מחלק משותף מקסימלי וניתן למצוא אותן ע"י [[האלגוריתם של אוקלידס]]. | ||
* <math>F[x]</math> [[תחום ראשי]], כלומר כל אידיאל נוצר ע"י איבר אחד. אם האידיאל אינו 0, האיבר הזה הוא בעל דרגה מינימלית באידיאל ( | * <math>F[x]</math> [[תחום ראשי]], כלומר כל אידיאל נוצר ע"י איבר אחד. אם האידיאל אינו 0, האיבר הזה הוא בעל דרגה מינימלית באידיאל (אם מתעלמים מפולינום ה-0). | ||
* <math>F[x]</math> הוא | * <math>F[x]</math> הוא תחום פריקות יחידה (לכל פולינום יש פירוק יחיד לגורמים) | ||
* פולינום שונה מ-0 הוא [[אי-פריק]] אם ורק אם הוא [[ראשוני]]. | * פולינום שונה מ-0 הוא [[אי-פריק]] אם ורק אם הוא [[ראשוני]]. | ||
* כל אידיאל ראשוני שונה מ-0 של <math>F[x]</math> הוא מקסימלי. בפרט, אם <math>p(x)\neq 0</math> הוא ראשוני (או אי פריק) אז <math>F[x]/p(x)F[x] </math> הוא שדה. | * כל אידיאל ראשוני שונה מ-0 של <math>F[x]</math> הוא מקסימלי. בפרט, אם <math>p(x)\neq 0</math> הוא ראשוני (או אי פריק) אז <math>F[x]/p(x)F[x] </math> הוא שדה. | ||
גרסה אחרונה מ־12:53, 20 ביולי 2013
הגדרה
יהי [math]\displaystyle{ F }[/math] שדה. ביטוי פורמלי מהצורה [math]\displaystyle{ \sum_{i=0}^na_ix^i=a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ n\geq0 }[/math] ו-[math]\displaystyle{ a_1,\ldots,a_n\in F }[/math] נקרא פולינום במשתנה [math]\displaystyle{ x }[/math] מעל [math]\displaystyle{ F }[/math]. האיברים [math]\displaystyle{ a_0,\ldots,a_n }[/math] נקראים מקדמי הפולינום.
נניח כי [math]\displaystyle{ m\leq n }[/math] אנו נאמר כי שני פולינומים [math]\displaystyle{ \sum_{i=0}^na_ix^i,\,\sum_{j=1}^mb_jx^j }[/math] הם שקולים אם [math]\displaystyle{ a_i=b_i }[/math] עבור [math]\displaystyle{ 0\leq i\leq m }[/math] ו-[math]\displaystyle{ a_i=0 }[/math] עבור [math]\displaystyle{ m\lt i\leq n }[/math]. מעכשיו, כאשר נדבר על פולינום נתכוון בעצם למחלקת השקילות של כל הפולינומים השקולים לו. עדיף לא לחשוב על זה.
כל פולינום [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] שאינו פולינום ה-0 (פולינום שכל מקדמיו הם 0) שקול לפולינום יחיד [math]\displaystyle{ a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n }[/math] עם [math]\displaystyle{ a_n\neq 0 }[/math]. המספר [math]\displaystyle{ n }[/math] נקרא דרגת הפולינום ומסומן ב-[math]\displaystyle{ \deg f }[/math]. מעלת פולינום ה-0 מוגדרת לעיתים להיות [math]\displaystyle{ -\infty }[/math].
הערה: כל פולינום [math]\displaystyle{ f(x)=a_0+a_1x_1\ldots+a_nx^n }[/math] משרה פונקציה מ-[math]\displaystyle{ F }[/math] לעצמו ששולחת את [math]\displaystyle{ u\in F }[/math] ל-[math]\displaystyle{ f(u):=a_0+a_1u+\ldots+a_nu^n }[/math]. אם השדה [math]\displaystyle{ F }[/math] סופי, ייתכן כי שני פולינומים שונים ישרו אותה פונקציה.
אוסף הפולינומים מעל [math]\displaystyle{ F }[/math] במשתנה [math]\displaystyle{ x }[/math] יסומן ב-[math]\displaystyle{ F[x] }[/math].
מגידירים על [math]\displaystyle{ F[x] }[/math] חיבור וכפל על ידי הנוסחאות:
- [math]\displaystyle{ \sum_{i=0}^na_ix^i+\sum_{i=0}^nb_ix^n=\sum_{i=0}^n(a_i+b_i)x^n }[/math] (אם דרגת הפולינומים שמחברים לא שווה החליפו אותם בפולינומים שקולים עם אותה דרגה.)
- [math]\displaystyle{ \sum_{i=0}^na_ix^i\cdot\sum_{j=0}^mb_jx^j=\sum_{k=0}^{m+n}\left(\sum_{0\leq i\leq n,0\leq j\leq m,m+n=k}a_ib_j\right)x^k }[/math]
הפעולות האלה הופכות את [math]\displaystyle{ F[x] }[/math] לחוג.
הערה: כל ההגדרות לעיל עובדות לכל חוג ולא רק לשדות.
תכונות
אם [math]\displaystyle{ F }[/math] שדה, החוג [math]\displaystyle{ F[x] }[/math] הוא תחום אוקלידי. פונקציית הדרגה תהייה דרגת הפולינום. כתוצאה מכך:
- לכל שני פולינומים קיים מחלק משותף מקסימלי וניתן למצוא אותן ע"י האלגוריתם של אוקלידס.
- [math]\displaystyle{ F[x] }[/math] תחום ראשי, כלומר כל אידיאל נוצר ע"י איבר אחד. אם האידיאל אינו 0, האיבר הזה הוא בעל דרגה מינימלית באידיאל (אם מתעלמים מפולינום ה-0).
- [math]\displaystyle{ F[x] }[/math] הוא תחום פריקות יחידה (לכל פולינום יש פירוק יחיד לגורמים)
- פולינום שונה מ-0 הוא אי-פריק אם ורק אם הוא ראשוני.
- כל אידיאל ראשוני שונה מ-0 של [math]\displaystyle{ F[x] }[/math] הוא מקסימלי. בפרט, אם [math]\displaystyle{ p(x)\neq 0 }[/math] הוא ראשוני (או אי פריק) אז [math]\displaystyle{ F[x]/p(x)F[x] }[/math] הוא שדה.