שינויים
/* הקדמה - הגדרות */
{{left|<math>0=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=1</math>}}
מעל כל תת קטע קטן <math>[x_{k-1},x_k]</math> נבנה "מלבן חוסם" שגובהו <math>\left({k\over n}\right)^2=x_k^2</math>. ביחד מלבנים אלו יוצרים שטח כל המלבנים הללו הוא "שטח חוסם " {{left|<math>\overline S:=\sum_{k=1}^n\frac1n\left({k\over n}\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}</math>}}
כמו כן, מעל כל תת קטע קטן <math>[x_{k-1},x_k]</math> נבנה "מלבן חסום" שגובהו <math>\left({k-1\over n}\right)^2=x_{k-1}^2</math> . ביחד מלבנים אלה מהווים "שטח חסום " {{left|<math>\underline S:=\frac1n\sum_{k=1}^n\left({k-1\over n}\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^n(k-1)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^{n-1}k^2=\frac{n(n+-1)n(2n+-1)}{6n^3}</math>}}
כעת , אם A מציין את השטח שמתחת לגרף , בוודאי ש-<math>\underline S\le A\le\overline S</math>, ז"א <math>\frac{n(n+-1)(2n+-1)}{6n^32}\le A\le\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^32}</math>. הדבר נכון לכל <math>n\in\mathbb N</math> ולכן נוכל להשאיף את <math>n\to\infty</math> ולקבל
<math>\frac13\le A\le\frac13</math>, לכן <math>A=\frac13</math>. {{משל}}
----
'''הגדרה:''' תהי <math>f(x)</math> מוגדרת בקטע I. נאמר שהפונקציה <math>F(x)</math> קדומה ל-f ב-I אם <math>\forall x\in I:\ F'(x)=f(x)</math>.
''דוגמה:'' אם <math>f(x)=x^2</math> אז <math>F(x)=\frac{x^3}3</math>.
----
'''הגדרה אינטואיטיבית:''' תהי <math>f(x)\ge0</math> רציפה בקטע <math>[a,b]</math>. נסמן ב-<math>\int\limits_a^b f</math> את השטח שמתחת לגרף.
תהי <math>f(x)\ge0</math> מוגדרת ורציפה ב-<math>[a,b]</math>.
# לכל <math>x\in[a,b]</math> נגדיר <math>A(x)=\int\limits_a^x f(t)dt</math> אזי <math>\forall x\in[a,b]:\ f(x)=A'(x)</math>.# אם <math>F(x)</math> קדומה ל-<math>f(x)</math> ב-<math>[a,b]</math> אז <math>\int\limits_a^bf(t)dtb f=F(b)-F(a)</math>.
בסימונים הנ"ל, עבור כל חלוקה P מתקיים <math>m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\overline S(f,P)\le M(b-a)</math>.
{|
{{=|l=m(b-a)
|r=\sum_{k=1}^n m\Delta x_k
|c=<math>=\sum_{k=1}^n\Delta x_k</math> = סכום כל הרווחים בין n נקודות החלוקה = <math>b-a=</math>, לכן:
}}
{{=|r=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k=\underline S(f,P)
נשים לב כי לפי משפט 1 המספרים <math>\overline S(f,P),\underline S(f,P)</math> חסומים מלעיל ומלרע באופן ב"ת (בלתי תלוי) ב-P (אבל בוודאי תלוי ב-f).
לכן מוגדרים היטב ה"אינטגרל העליון" <math>\overline{\int}_a^b f(x)dx:=\inf_P \overline S(f,P)</math> ו"האינטגרל התחתון" <math>\underline\int_a^b f(x)dx:=\sup_P \underline S(f,P)</math>.
נקח חלוקה כלשהי ל-<math>[a,b]</math>: <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>.
לכל k מתקיים <math>M_k=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=1</math> וכן <math>m_k=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=0</math>. לכן <math>\overline S(f,P)=\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k=\sum_{k=1}^n 1\Delta x_k=b-a</math> ואילו <math>\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k=\sum_{k=1}^n 0\Delta x_k=0</math>. מכאן <math>\underline\int_a^b f(x)dx=\sup_P \underline S(f,P)=0</math> ו-<math>\overline{\int}_a^b f(x)dx=\inf_P \overline S(f,P)=b-a</math>. הם לא , וכייוון שאינם שווים ולכן f לא אינה אינטגרבילית. {{משל}}
----
'''הגדרה:''' תהי P חלוקה של קטע <math>[a,b]</math>. חלוקה Q של <math>[a,b]</math> נקראת עידון או העדנה של P אם Q מכילה את כל נקודות החלוקה של P ועוד נקודות.
{{left|
<math>0\le\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)\le r\lambda(P)\Omega</math>
כלומר, הסכום העליון יורד והסכום התחתון עולה ע"י עידון אבל השינוי בהם קטן מ-<math>r\lambda(P)\Omega</math>.
מקרה ראשון: <math>r=1</math>. ז"א Q מתקבלת מ-P ע"י הוספת נקודה אחת <math>x_i'</math> כך ש-<math>x_{i-1}<x_i'<x_i</math> עבור i כלשהו. בהתאם לכך נגדיר <math>M_i^-:=\sup\{f(x):\ x_{i-1}\le x\le x_i'\}</math> ו-<math>M_i^+:=\sup\{f(x):\ x_i'\le x\le x_i\}</math>.
כמו כן, לא שינינו כל תת קטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> עבור <math>k\not=i</math> כלשהו. לכן <math>\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)=M_i\Delta x_i-\Big(M_i^-(x_i'-x_{i-1})+M_i^+(x_i-x_i')\Big)</math>
לפי ההגדרות <math>M_i\ge M_i^+,M_i^-</math> ולפיכך {{left|<math>\begin{align}\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)&\ge M_i\Delta x_i-\Big(M_i(x_i'-x_{i-1})+M_i(x_i-x_i')\Big)\\&=M_i\Big(\Delta x_i-(x_i'-x_{i-1}+x_i-x_i')\Big)\\&=M_i\Big(\Delta x_i-(x_i-x_{i-1})\Big)\\&=0\end{align}</math>}}
{{הערההמשך סיכום|את ההמשך עשינו ב[[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/תאריך=22.2.11|הרצאה השנייה]]:}}
כמו כן, {{left|<math>\begin{align}\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)&\le M_i(x_i-x_{i-1})-[m_i(x_i-x_i'))=M_i(x_i-x_{i-1})-m_i(x_i-x_{i-1})\\&=(M_i-m_i)(x_i-x_{i-1})\\&\le\Omega(x_i-x_{i-1})\\&\le\Omegaunderbrace{r}_{=1}\lambda(P)\cdot1Omega\end{align}</math>}}
מקרה כללי: Q מתקבלת מ-P ע"י הוספת r נקודות. נוסיף אותן אחת אחת. הסכום העליון יורד, אבל לא יותר מאשר <math>\Omega\lambda(P)</math>בכל אחת מ-r המפעמים. לכן מיד נסיק <math>0\le\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)\le r\Omega\lambda(P)</math>.
ההוכחה לסכום תחתון דומה. {{משל}}
===מסקנה 1===
נקח f כנ"ל ונניח ש-P ו-Q הן שתי חלוקות כלשהן של <math>[a,b]</math>. אזי <math>\underline S(f,P)\le\overline S(f,Q)</math>.
====הוכחה====
נבנה עידון משותף, ז"א <math>R=P\cup Q</math>. לפי משפט 2 מתקיים <math>\underline S(f,P)\le\underline S(f,R)\le \overline S(f,R)\le\overline S(f,Q)</math>. {{משל}}
===מסקנה 2===
עבור f כנ"ל מתקיים <math>\underline\int_a^b f\le\overline{\int}_a^b f</math>.
====הוכחה====
מסקנה 1 אומרת שלכל שתי חלוקות P,Q של <math>[a,b]</math> מתקיים <math>\underline S(f,P)\le\overline S(f,Q)</math> ולכן <math>\sup_P\underline S(f,P)\le\inf_Q\overline S(f,Q)</math>. כמו כן, לפי ההגדרה <math>\underline\int_a^b f=\sup_Q\underline S(f,Q)</math> ו-<math>\inf_P\overline S(f,P)=\overline{\int}_a^b f</math>. {{משל}}