אלגברה לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעג/פתרון הבוחן

שאלה 1

לפי כפל עמודה עמודה קל לראות שמחפשים 3 עמודות [math]\displaystyle{ C_1(A),C_2(A),C_3(A) }[/math]

שמקיימות

[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} C_1(A) = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} C_2(A) = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} C_3(A) = \begin{bmatrix} 3 \\ 6 \end{bmatrix} }[/math]

כך שקיבלנו 3 משוואות, כל אחת בשני נעלמים.

אם נפתור את המשוואה הראשונה

[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & 2 & \mid & 2 \\ 2 & 4 & \mid & 4 \end{bmatrix} \overset{R_2=R_2-2R_1}{\rightarrow} \begin{bmatrix} 1 & 2 & \mid & 2 \\ 0 & 0 & \mid & 0 \end{bmatrix} }[/math]

נראה שיש משתנה חופשי אחד (ואין שורות סתירה) ולכן יש [math]\displaystyle{ 7 }[/math] פתרונות.

אותה הדבר קורה בשביל שאר המשוואות ולכן בסך הכל יש

[math]\displaystyle{ 7^3 }[/math] פתרונות.

שאלה 2

[math]\displaystyle{ A }[/math] היא מטריצה הפיכה, ולכן הצורה המדורגת קנונית שלה היא [math]\displaystyle{ I }[/math].

אם נסמן ב [math]\displaystyle{ E_1, \ldots ,E_5 }[/math] את המטריצות האלמנטריות המתאימות לפעולות הנתונות. אז בעצם

[math]\displaystyle{ E_5E_4E_3E_2E_1A=I }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ A=(E_1)^{-1}(E_2)^{-1}(E_3)^{-1}(E_4)^{-1}(E_5)^{-1}I }[/math]

כלומר, אם נבצע את הפעולות ההפוכות בסדר הפוך על [math]\displaystyle{ I }[/math], נגיע ל [math]\displaystyle{ A }[/math].

הפעולות ההפוכות בסדר הפוך הן:

[math]\displaystyle{ R_1 \leftrightarrow R_5 }[/math]

[math]\displaystyle{ R_1 = R_1+2R_2 }[/math]

[math]\displaystyle{ R_1 \leftrightarrow R_3 }[/math]

[math]\displaystyle{ R_1 = R_1 -R_2 }[/math]

[math]\displaystyle{ R_1 = \frac{1}{2} R_1 }[/math]

ולכן קל לחשב ש

[math]\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} }[/math]

היות ו

[math]\displaystyle{ A=(E_1)^{-1}(E_2)^{-1}(E_3)^{-1}(E_4)^{-1}(E_5)^{-1}I }[/math]

נקבל ש

[math]\displaystyle{ A^-1=E_5E_4E_3E_2E_1I }[/math]

כלומר צריך לבצע את הפעולות האלה על [math]\displaystyle{ I }[/math] כדי להגיע ל [math]\displaystyle{ A^{-1} }[/math]

לכן קל לחשב ש

[math]\displaystyle{ A^{-1}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -2 & 0 \\ \end{bmatrix} }[/math]

היות ו [math]\displaystyle{ A^{-1}=E_5E_4E_3E_2E_1I }[/math] נקבל ש

[math]\displaystyle{ (E_1)^{-1}(E_2)^{-1}(E_3)^{-1}(E_4)^{-1}(E_5)^{-1}A^-1=I }[/math]

כלומר הפעולות שצריך לעשות כדי לדרג את [math]\displaystyle{ A^{-1} }[/math] הן הפעולות שהפוכות לפעולת הכתובות בסדר הפוך כלומר:

[math]\displaystyle{ R_1 \leftrightarrow R_5 }[/math]

[math]\displaystyle{ R_1 = R_1+2R_2 }[/math]

[math]\displaystyle{ R_1 \leftrightarrow R_3 }[/math]

[math]\displaystyle{ R_1 = R_1 -R_2 }[/math]

[math]\displaystyle{ R_1 = \frac{1}{2} R_1 }[/math]

(זאת כמובן לא הדרך היחידה להביא את [math]\displaystyle{ A^{-1} }[/math] לצורה מדורגת קנונית, אבל זאת הדרך הכי פשוטה.)

שאלה 3

סעיף א

הוכחה: יהי [math]\displaystyle{ \alpha_1 (v_1+v_2) + \alpha_2(v_2+v_3) +\alpha_3 (v_1+v_3) = 0 }[/math] צירוף לינארי מתאפס כלשהוא של הוקטורים שבשאלה.

צריך להוכיח ש [math]\displaystyle{ \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0 }[/math].

קל לראות שהצירוף הלינארי שווה ל

[math]\displaystyle{ (\alpha_1+\alpha_3) v_1 +(\alpha_1+\alpha_2)v_2+(\alpha_2+\alpha_3)v_3 = 0 }[/math]

היות ו [math]\displaystyle{ v_1,v_2,v_3 }[/math] בת"ל. נקבל ש

[math]\displaystyle{ \alpha_1+\alpha_3=\alpha_1+\alpha_2=\alpha_2+\alpha_3=0 }[/math]

זה נותן לנו מערכת משוואות פשוטה.

קל להסיק ממנה ש

[math]\displaystyle{ \alpha_1=-\alpha_2,\quad \alpha_1=-\alpha_3 }[/math]

אבל בגלל ש [math]\displaystyle{ \alpha_2+\alpha_3=0 }[/math]

נקבל ש [math]\displaystyle{ -2\alpha_1=0 }[/math]

בגלל שהמאפיין שונה מ [math]\displaystyle{ 2 }[/math] אפשר לחלק ב [math]\displaystyle{ 2 }[/math] ולקבל

[math]\displaystyle{ -\alpha_1=0 }[/math] כלומר [math]\displaystyle{ \alpha_1=0 }[/math]

ומכאן ברור גם [math]\displaystyle{ \alpha_2=\alpha_3=0 }[/math].

סעיף ב

לא נכון. נבחר [math]\displaystyle{ V=\mathbb{R}^2 }[/math] ו [math]\displaystyle{ U=span\{(1,0)\} }[/math] ו [math]\displaystyle{ W=span\{(0,1)\} }[/math]

ברור ש [math]\displaystyle{ (1,0),(0,1)\in U\cup W }[/math]

אם האיחוד היה מרחב וקטורי הוא היה סגור לחיבור ולכן גם [math]\displaystyle{ (1,1)\in U\cup W }[/math]

אבל זה לא נכון. סתירה.

סעיף ג

לא רק שהטענה לא נכונה. אלא שלכל מערכת לא הומוגנית זה לא נכון.

דוגמא נגדית פשוטה היא המערכת [math]\displaystyle{ x+y=1 }[/math] מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math].

ניקח פתרונות [math]\displaystyle{ v_1=\begin{bmatrix} 1 \\0 \end{bmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ v_2=\begin{bmatrix} 0 \\1 \end{bmatrix} }[/math]

סכומם

[math]\displaystyle{ v_1+v_2=\begin{bmatrix} 1 \\1 \end{bmatrix} }[/math]

הוא לא פתרון.