הבדלים בין גרסאות בדף "תקציר תורת המספרים, סמסטר א תשע״ג"
מתוך Math-Wiki
(יצירת דף עם התוכן "בקורס זה <math>\mathbb N=\{0,1,2,\dots\}</math> ו־<math>\mathbb N^+=\{1,2,\dots\}</math>. כמו כן, אלא אם צוין אחרת, <math>A^+:=A\cap\math...") |
מ |
||
(10 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
− | בקורס זה <math>\mathbb N=\{0,1,2,\dots\}</math> ו־<math>\mathbb N^+=\{1,2,\dots\}</math>. כמו כן, אלא אם צוין אחרת, <math>A^+:=A\cap\mathbb N^+</math> | + | בקורס זה <math>\mathbb N=\{0,1,2,\dots\}</math> ו־<math>\mathbb N^+=\{1,2,\dots\}</math>. כמו כן, אלא אם צוין אחרת, <math>A^+:=A\cap\mathbb N^+</math>, כל המשתנים והנעלמים שלמים ו־<math>p</math> ראשוני. |
+ | __תוכן__ | ||
* '''משפט פיאנו:''' קיימת קבוצה בודדה <math>\mathbb N</math> שעבורה יש פונקציה <math>S:\mathbb N\to\mathbb N</math> המקיימת את אקסיומות פיאנו: <math>S</math> חח״ע, <math>0\not\in\mbox{Im}(S)</math>, <math>0\in\mathbb N</math> ואם <math>K\subseteq\mathbb N</math> מקיימת <math>0\in K\ \and\ (x\in K\iff S(x)\in K)</math> אזי <math>K=\mathbb N</math>. | * '''משפט פיאנו:''' קיימת קבוצה בודדה <math>\mathbb N</math> שעבורה יש פונקציה <math>S:\mathbb N\to\mathbb N</math> המקיימת את אקסיומות פיאנו: <math>S</math> חח״ע, <math>0\not\in\mbox{Im}(S)</math>, <math>0\in\mathbb N</math> ואם <math>K\subseteq\mathbb N</math> מקיימת <math>0\in K\ \and\ (x\in K\iff S(x)\in K)</math> אזי <math>K=\mathbb N</math>. | ||
* <math>\mathbb Z\setminus\{0\}</math> מחולק לשלוש קבוצות: יחידות – <math>U:=\{\pm1\}</math>, ראשוניים – <math>\mathcal P:=\{p\in\mathbb Z\setminus U:\ \forall ab=p:\ a\in U\ \or\ b\in U\}</math> ופריקים – <math>\mathbb Z\setminus\{0\}\setminus U\setminus\mathcal P</math>. | * <math>\mathbb Z\setminus\{0\}</math> מחולק לשלוש קבוצות: יחידות – <math>U:=\{\pm1\}</math>, ראשוניים – <math>\mathcal P:=\{p\in\mathbb Z\setminus U:\ \forall ab=p:\ a\in U\ \or\ b\in U\}</math> ופריקים – <math>\mathbb Z\setminus\{0\}\setminus U\setminus\mathcal P</math>. | ||
* לכל <math>a\in\mathbb N^+</math> ו־<math>b</math> קיים זוג יחיד של שארית <math>r</math> ומנה <math>q</math> כך ש־<math>b=qa+r,\ 0\le r<a</math>. | * לכל <math>a\in\mathbb N^+</math> ו־<math>b</math> קיים זוג יחיד של שארית <math>r</math> ומנה <math>q</math> כך ש־<math>b=qa+r,\ 0\le r<a</math>. | ||
* '''המשפט הבסיסי של האתריתמטיקה:''' כל מספר ב־<math>\mathbb Z\setminus\{0,\pm1\}</math> ניתן לפירוק יחיד (עד כדי סדר ההכפלה) של גורמים ראשוניים. | * '''המשפט הבסיסי של האתריתמטיקה:''' כל מספר ב־<math>\mathbb Z\setminus\{0,\pm1\}</math> ניתן לפירוק יחיד (עד כדי סדר ההכפלה) של גורמים ראשוניים. | ||
− | * '''למת אוקלידס:''' | + | * '''למת אוקלידס:''' אם <math>p\mid ab</math> אז <math>p\mid a\ \or\ p\mid b</math>. |
− | * | + | * נסמן <math>p^m\mid\!\mid a</math> אם <math>p^m\mid a\ \and\ p^{m+1}\nmid a</math>. |
* נניח ש־<math>a</math> ו/או <math>b</math> שונים מ־0. אזי קיים <math>d\in\mathbb N^+</math> יחיד (הנקרא מחלק משותף מקסימלי של <math>a,b</math> ומסומן <math>\gcd(a,b)=(a,b)</math>) עבורו <math>d\mid a,b</math> ואם <math>d'\in\mathbb Z</math> כך ש־<math>d'\mid a,b</math> אזי <math>d'\mid d</math>. | * נניח ש־<math>a</math> ו/או <math>b</math> שונים מ־0. אזי קיים <math>d\in\mathbb N^+</math> יחיד (הנקרא מחלק משותף מקסימלי של <math>a,b</math> ומסומן <math>\gcd(a,b)=(a,b)</math>) עבורו <math>d\mid a,b</math> ואם <math>d'\in\mathbb Z</math> כך ש־<math>d'\mid a,b</math> אזי <math>d'\mid d</math>. | ||
* אם <math>a\mid b,c</math> אזי <math>\forall x,y\in\mathbb Z:\ a\mid xb+yc</math>. | * אם <math>a\mid b,c</math> אזי <math>\forall x,y\in\mathbb Z:\ a\mid xb+yc</math>. | ||
שורה 12: | שורה 13: | ||
* <math>a\mathbb Z+b\mathbb Z=(a,b)\mathbb Z</math>. | * <math>a\mathbb Z+b\mathbb Z=(a,b)\mathbb Z</math>. | ||
* אם <math>a,b</math> זרים ו־<math>a\mid bc</math> אזי <math>a\mid c</math>. | * אם <math>a,b</math> זרים ו־<math>a\mid bc</math> אזי <math>a\mid c</math>. | ||
− | * אם <math>\forall i: | + | * אם <math>\forall i:\ k_i,m_i\in\mathbb N</math> וה־<math>p_i</math> שונים זה מזה אזי <math>\left(\prod_i p_i^{k_i},\prod_i p_i^{m_i}\right)=\prod_i p_i^{\min\{k_i,m_i\}}</math>. |
+ | * <math>m</math> יקרא חופשי מריבועים אם <math>\nexists p\in\mathcal P:\ p^2\mid m</math>. | ||
* '''אלגוריתם אוקלידס:''' נניח <math>b\ne0</math> ונרצה לחשב <math>(a,b)</math> כאשר <math>a>b</math>. אם <math>r</math> שארית החלוקה של <math>a</math> ב־<math>b</math> אזי <math>(a,b)=(b,r)</math>. נמשיך כך עד שנקבל <math>(x,0)=x</math>. ניתן להעזר באלגוריתם גם כדי לפתור את <math>ax+by=(a,b)</math>: נסמן <math>r_{-1}=a, r_0=b</math> ולכן בתהליך החישוב של <math>(a,b)</math> עם האלגוריתם נקבל <math>\forall0\le i\le k:\ r_{i-1}=r_iq_{i+1}+r_{i+1}</math> כאשר <math>r_{k+1}=(a,b)</math>. לפיכך:{{left|<math>\begin{align}r_{k+1}&=r_{k-1}-r_kq_{k+1}\\&=r_{k-1}-(r_{k-2}-r_{k-1}q_k)q_{k+1}\\&=r_{k-1}(1+q_kq_{k+1})-r_{k-2}q_{k+1}\\&=\dots\\&=r_0y-r_{-1}(-x)\\&=ax+by\end{align}</math>}} | * '''אלגוריתם אוקלידס:''' נניח <math>b\ne0</math> ונרצה לחשב <math>(a,b)</math> כאשר <math>a>b</math>. אם <math>r</math> שארית החלוקה של <math>a</math> ב־<math>b</math> אזי <math>(a,b)=(b,r)</math>. נמשיך כך עד שנקבל <math>(x,0)=x</math>. ניתן להעזר באלגוריתם גם כדי לפתור את <math>ax+by=(a,b)</math>: נסמן <math>r_{-1}=a, r_0=b</math> ולכן בתהליך החישוב של <math>(a,b)</math> עם האלגוריתם נקבל <math>\forall0\le i\le k:\ r_{i-1}=r_iq_{i+1}+r_{i+1}</math> כאשר <math>r_{k+1}=(a,b)</math>. לפיכך:{{left|<math>\begin{align}r_{k+1}&=r_{k-1}-r_kq_{k+1}\\&=r_{k-1}-(r_{k-2}-r_{k-1}q_k)q_{k+1}\\&=r_{k-1}(1+q_kq_{k+1})-r_{k-2}q_{k+1}\\&=\dots\\&=r_0y-r_{-1}(-x)\\&=ax+by\end{align}</math>}} | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
* נאמר ש־<math>a,b</math> חופפים מודולו <math>m>1</math> (ונסמן <math>a\equiv b\pmod m</math>) אם <math>m\mid a-b</math>. <math>\equiv</math> מגדיר יחס שקילות כאשר <math>\bar a=[a]=a+m\mathbb Z</math> מחלקת השקילות של <math>a</math> ו־<math>\mathbb Z_m</math> קבוצת מחלקות השקילות. | * נאמר ש־<math>a,b</math> חופפים מודולו <math>m>1</math> (ונסמן <math>a\equiv b\pmod m</math>) אם <math>m\mid a-b</math>. <math>\equiv</math> מגדיר יחס שקילות כאשר <math>\bar a=[a]=a+m\mathbb Z</math> מחלקת השקילות של <math>a</math> ו־<math>\mathbb Z_m</math> קבוצת מחלקות השקילות. | ||
* אם <math>m>1,\ k\ne0</math> ו־<math>ka\equiv kb\pmod m</math> אז <math>a\equiv b\pmod{m/(k,m)}</math>. | * אם <math>m>1,\ k\ne0</math> ו־<math>ka\equiv kb\pmod m</math> אז <math>a\equiv b\pmod{m/(k,m)}</math>. | ||
שורה 24: | שורה 21: | ||
* <math>U_m:=\{\bar a\in\mathbb Z_m:\ (a,m)=1\}\subset\mathbb Z_m</math>. | * <math>U_m:=\{\bar a\in\mathbb Z_m:\ (a,m)=1\}\subset\mathbb Z_m</math>. | ||
* '''פונקציית אוילר''' היא <math>\varphi:\mathbb N^+\to\mathbb N^+</math> עבורה <math>\varphi(1):=1,\ \varphi(m):=|U_m|</math>. | * '''פונקציית אוילר''' היא <math>\varphi:\mathbb N^+\to\mathbb N^+</math> עבורה <math>\varphi(1):=1,\ \varphi(m):=|U_m|</math>. | ||
− | * | + | * פונקציית אוילר כפלית אריתמטית. |
− | * '''מערכת מלאה מודולו m''' היא קבוצה <math>\{a_i\}_{i=1}^m\subseteq\mathbb Z</math> עבורה <math>\forall a:\ \exists i:\ a\equiv a_i\pmod m</math>. קיים <math>i</math> | + | * '''מערכת מלאה מודולו ''m''''' היא קבוצה <math>\{a_i\}_{i=1}^m\subseteq\mathbb Z</math> עבורה <math>\forall a:\ \exists i:\ a\equiv a_i\pmod m</math>. קיים <math>i</math> יחיד כנ״ל לכל <math>a</math>. באופן שקול, המערכת מלאה מודולו <math>m</math> אם <math>\mathbb Z_m=\{\bar a_i\}_{i=1}^m</math>. |
* אם <math>\{a_i\}_{i=1}^m</math> מלאה מודולו <math>m</math>, <math>(\alpha,m)=1</math> ו־<math>k</math> שלם אזי <math>\{\alpha a_i+k\}_{i=1}^m</math> מלאה מודולו <math>m</math>. | * אם <math>\{a_i\}_{i=1}^m</math> מלאה מודולו <math>m</math>, <math>(\alpha,m)=1</math> ו־<math>k</math> שלם אזי <math>\{\alpha a_i+k\}_{i=1}^m</math> מלאה מודולו <math>m</math>. | ||
− | * '''מערכת מצומצמת מודולו m''' היא קבוצה <math>\{a_i\}_{i=1}^{\varphi(m)}</math> כך ש־<math>\forall\bar a\in U_m:\ \exists i:\ a\equiv a_i\pmod m</math>. | + | * '''מערכת מצומצמת מודולו ''m''''' היא קבוצה <math>\{a_i\}_{i=1}^{\varphi(m)}</math> כך ש־<math>\forall\bar a\in U_m:\ \exists i:\ a\equiv a_i\pmod m</math>. באופן שקול, <math>U_m=\{\bar a_i\}_{i=1}^m</math>. |
* אם <math>\{a_i\}_{i=1}^{\varphi(m)}</math> מצומצמת מודולו <math>m</math> ו־<math>(\alpha,m)=1</math> אז <math>\{\alpha a_i\}_{i=1}^{\varphi(m)}</math> מצומצמת מודולו <math>m</math>. | * אם <math>\{a_i\}_{i=1}^{\varphi(m)}</math> מצומצמת מודולו <math>m</math> ו־<math>(\alpha,m)=1</math> אז <math>\{\alpha a_i\}_{i=1}^{\varphi(m)}</math> מצומצמת מודולו <math>m</math>. | ||
+ | * אם <math>\forall i:\ p_i^{e_i}\mid\!\mid m</math> אזי <math>\varphi(m)=m\prod_i\left(1-\frac1{p_i}\right)</math>. בפרט, <math>\varphi\!\left(p^e\right)=p^e-p^{e-1}</math>. | ||
+ | * '''משפט גאוס:''' <math>\sum_{d\mid m}\varphi(d)=m</math>. | ||
+ | * '''משפט אוילר:''' אם <math>(a,m)=1</math> אז <math>a^{\varphi(m)}\equiv1\pmod m</math>. ''משפט פרמה'' הוא מקרה פרטי כאשר <math>m</math> ראשוני. | ||
+ | * '''משפט וילסון:''' <math>(p-1)!\equiv-1\pmod p</math>. | ||
+ | * '''מבחן הראשוניות של Solovay & Strassen:''' <math>m</math> ראשוני אם״ם <math>m=2</math> או <math>\forall x\in[1,m-1]\cap\mathbb Z:\ (x,m)=1\ \and\ x^\frac{m-1}2\equiv\left(\frac xm\right)\pmod m</math>. | ||
+ | :* אם <math>m</math> פריק אז <math>x</math> שלא מקיים את התנאי הנ״ל נקרא עד לפריקות של <math>m</math>. | ||
+ | :* אם <math>m</math> פריק אז לפחות חצי מהמספרים <math>1,2,\dots,m-1</math> הם עדים לפריקות. | ||
+ | * '''משפט גאוס:''' <math>U_p</math> חבורה ציקלית, כלומר קיים <math>g\in U_p</math> כך ש־<math>\forall a\in U_p:\ \exists n:\ g^n\equiv a\pmod p</math>. | ||
+ | :* לכל <math>a</math> אותו <math>n</math> יחיד מודולו <math>p-1</math> ולכן נקרא "הלוגריתם מודולו <math>p</math> של <math>a</math> לפי <math>g</math>" ומסומן <math>\log_g^{(p)}(a)</math>. | ||
+ | :* כל <math>g</math> כזה נקרא "שורש פרימיטיבי". יש <math>\varphi(p-1)</math> כאלה. | ||
+ | :* {{הערה|הכללה:}} <math>U_n</math> ציקלית אם״ם <math>n\in\{2,4\}\cup\left\{p^k,2p^k:\ p\in\mathcal P\setminus\{2\}\ \and\ k\in\mathbb N^+\right\}</math>. | ||
+ | |||
+ | == פונקציות אריתמטיות == | ||
+ | * <math>f:\mathbb N^+\to\mathbb C</math> נקראת פונקציה אריתמטית. בד״כ <math>\mbox{Im}(f)\subseteq\mathbb Z</math>. | ||
+ | * '''קונבולוציית דיריכלה''' בין שתי פונקציות אריתמטיות <math>f,g</math> מוגדרת ע״י <math>(f*g)(n)=\sum_{d\mid n}d(d)g\!\left(\frac nd\right)=\sum_{mk=n}f(m)g(k)</math>. זו פעולה קומוטטיבית ואסוציאטיבית. | ||
+ | * נסמן <math>\delta_k(n):=1_{\{k\}}=\begin{cases}1,&n=k\\0,&\text{else}\end{cases}</math>. <math>\delta_1</math> היא פונקציית היחידה ביחס לקונבולוציה, כלומר <math>\forall f:\ \delta_1*f=f</math>. | ||
+ | * <math>f</math> אריתמטית תקרא כפלית אם <math>\forall m,n:\ f(mn)=f(m)f(n)</math> וכפלית אריתמטית אם <math>\forall (m,n)=1:\ f(mn)=f(m)f(n)</math>. | ||
+ | * אם <math>f,g</math> כפליות אריתמטיות אז כך גם <math>f*g</math>. | ||
+ | * '''פונקציית הממוצע האריתמטי''' של <math>f</math> מוגדרת ע״י <math>F(n):=\sum_{d\mid n}f(d)=(C*f)(n)</math> כאשר <math>\forall n:\ C(n)=1</math>. | ||
+ | * אם <math>f*g=\delta_1</math> אז <math>f</math> נקראת הפיכה (ביחס לקונבולוציית דיריכלה) ונסמן <math>f^{-1}:=g</math>. | ||
+ | * <math>f</math> הפיכה אם״ם <math>f(1)=\pm1</math>. | ||
+ | * אם <math>f</math> הפיכה וכפלית אריתמטית אז <math>f^{-1}</math> כפלית אריתמטית. | ||
+ | * '''פונקציית מוביוס''' היא <math>\mu=C^{-1}</math> ומקיימת <math>\mu(n)=\begin{cases}(-1)^s,&n=\prod_{i=1}^s p_i\ \and\ \forall i\ne j:\ p_i\ne p_j\end{cases}</math>. | ||
+ | * <math>\varphi(n)=\sum_{d\mid n}\mu\!\left(\frac md\right)d</math>. | ||
+ | * מגדירים <math>\tau(n):=|\{d\in\mathbb N:\ d\mid n\}|=\sum_{d\mid n}1=(C*C)(n)</math>. | ||
+ | * נגדיר <math>d_k(n):=\sum_{d\mid n}d^k</math>. מקרה שימושי הוא <math>d:=d_1</math> ואז <math>d=C\times I</math> כאשר <math>\forall n:\ I(n)=n</math>. | ||
+ | * <math>\varphi*\tau=d</math>. | ||
+ | |||
+ | == חוג השלמים של גאוס == | ||
+ | האיברים ב־<math>\mathbb Z[\mathrm i]=\mathbb Z+\mathrm i\mathbb Z</math> נקראים שלמים של גאוס. איברי היחידה (כלומר <math>u\in\mathbb Z[\mathrm i]</math> עבורם <math>u^{-1}\in\mathbb Z[\mathrm i]</math>) הם <math>\pm1,\pm\mathrm i</math>. | ||
+ | * אם <math>\alpha\in\mathbb Z[\mathrm i]</math> ו־<math>u</math> יחידה אז <math>\alpha,u\alpha</math> נקראים דומים. | ||
+ | * נגדיר <math>N:\mathbb Z[\mathrm i]\to\mathbb Z</math> ע״י <math>N(a+b\mathrm i)=a^2+b^2=|a+b\mathrm i|^2</math>. היא כפלית (<math>N(\alpha\beta)=N(\alpha)N(\beta)</math>) ו־<math>u</math> יחידה אם״ם <math>N(u)=1</math>. | ||
+ | * '''ראשוני של גאוס''' הוא שלם <math>\alpha</math> של גאוס שאינו יחידה ואם <math>\alpha=\beta\gamma</math> אז <math>\beta</math> או <math>\gamma</math> יחידות. | ||
+ | * אם <math>\alpha,\beta\in\mathbb Z[\mathrm i]</math> כך ש־<math>\beta\ne0</math> אז יש <math>q,r\in\mathbb Z[\mathrm i]</math> עבורם <math>\alpha=\beta q+r</math> כך ש־<math>N(r)<N(\beta)</math>. | ||
+ | * '''משפט גאוס:''' ב־<math>\mathbb Z[\mathrm i]</math> קיים פירוק יחיד לגורמים ראשוניים של גאוס. | ||
+ | * הראשוניים של גאוס מתחלקים לסוגים הבאים: | ||
+ | :* <math>1+\mathrm i</math>. הוא "קשור" ל־2 ע״י <math>2=-(1+\mathrm i)^2</math>. | ||
+ | :* לכל <math>p\equiv1\pmod4</math> יש פתרון ל־<math>x^2+y^2=p</math>. המספרים <math>x\pm\mathrm iy</math> הם ראשוניים לא דומים של גאוס. | ||
+ | :* כל <math>p\equiv3\pmod4</math> הוא גם ראשוני של גאוס. | ||
+ | * כל ראשוני של גאוס מחלק ראשוני טבעי כלשהו. | ||
+ | * אם <math>N(\alpha)\in\mathcal P</math> אז <math>\alpha</math> ראשוני של גאוס. | ||
+ | |||
+ | == פתרון משוואות דיופנטיות == | ||
+ | * '''משוואה לינארית ב־2 נעלמים:''' נרצה לפתור <math>ax+by=c</math> כאשר <math>x,y</math> משתנים והשאר קבועים. נחלק למקרים: | ||
+ | :* <math>0\ne(a,b)\nmid c</math>: אין פתרון. | ||
+ | :* <math>(a,b)=1</math>: ניתן לפתור <math>ax_0+by_0=1</math> ע״י אלגוריתם אוקלידס (כמפורט בהמשך הסעיף). הפתרון הכללי הוא <math>x=cx_0+bk, y=cy_0-ak</math> לכל <math>k</math>. | ||
+ | :* <math>1\ne(a,b)\mid c</math>: נחלק את אגפי המשוואה ב־<math>(a,b)</math> ונקבל משוואה חדשה מהמקרה הקודם. | ||
+ | ::* אם בפרט <math>(a,b)=c</math> אז ניתן לפתור גם באמצעות אלגוריתם אוקלידס. | ||
+ | * '''משפט השאריות הסיני:''' נניח ש־<math>\forall i\ne j:\ (m_i,m_j)=1</math> ונתונה <math>\{c_i\}_{i=1}^r\subset\mathbb Z</math>. למערכת <math>\forall i:\ x\equiv c_i\pmod{m_i}</math> קיים פתרון יחיד מודולו <math>m=\prod_{i=1}^r m_i</math>. | ||
+ | :* אם <math>\forall j:\ x_i\equiv\delta_i(j)\pmod{m_j}</math> אז <math>x\equiv\sum_{i=1}^r c_ix_i\pmod m</math>. ה־<math>x_i</math>־ים מקיימים <math>x_i=\frac m{m_i}b_i</math> כאשר <math>b_i:\equiv\left(\frac m{m_i}\right)^{-1}\pmod{m_i}</math>. | ||
+ | :* {{הערה|הכללה:}} אם לא נתון ש־<math>\forall i\ne j:\ (m_i,m_j)=1</math> אז יש פתרון אם״ם <math>\forall i\ne j:\ c_i\equiv c_j\pmod{(m_i,m_j)}</math>. | ||
+ | |||
+ | === משוואות ריבועיות === | ||
+ | בפרק זה <math>p\ne2</math> ו־<math>b</math> אי־זוגי. | ||
+ | * אם קיים פתרון ל־<math>x^2\equiv a\pmod p</math> אז <math>a</math> יקרא ''שארית ריבועית'' (ש״ר). | ||
+ | * יש <math>\frac{p+1}2</math> שאריות ריבועיות ב־<math>\mathbb Z_p</math> והן <math>0^2,1^2,\dots,\left(\frac{p-1}2\right)^2</math>. | ||
+ | * אם <math>m^2\equiv n^2\pmod p</math> אז <math>m\equiv\pm n\pmod p</math>. | ||
+ | * '''סימן לז׳נדר:''' <math>\left(\frac ap\right):=\begin{cases}0,&a\equiv0\pmod p\\1,&\exists\alpha:\ \alpha^2\equiv a\pmod p\\-1,&\text{else}\end{cases}</math>. לפיכך <math>a</math> שארית ריבועית אם״ם <math>\left(\frac ap\right)\ne-1</math>. | ||
+ | * '''משפט אוילר:''' <math>a^\frac{p-1}2\equiv\left(\frac ap\right)\pmod p</math>. | ||
+ | * '''למת גאוס:''' נסמן <math>p_1:=\frac{p-1}2</math> ונגדיר <math>\forall 0\le i\le p_1:\ r_i:\equiv ia\pmod p</math> כאשר <math>-p_1\le r_i\le p_1</math>. אזי <math>\left(\frac ap\right)=\prod_{i=1}^{p_1}\sgn(r_i)</math>. | ||
+ | * '''סימן יעקובי:''' יהי <math>b=\prod_{i=1}^r p_i</math>. מגדירים <math>\left(\frac ab\right)=\prod_{i=1}^r\left(\frac a{p_i}\right)</math>. | ||
+ | * אם <math>\left(\frac ab\right)=-1</math> אז ל־<math>x^2\equiv a\pmod b</math> אין פתרון. ההפך לא תמיד נכון. | ||
+ | * '''תכונות של סימני לז׳נדר ויעקובי:''' | ||
+ | :* <math>a_1\equiv a_2\pmod b</math> אז <math>\left(\frac{a_1}b\right)=\left(\frac{a_2}b\right)</math>. | ||
+ | :* <math>\left(\frac{a_1 a_2}b\right)=\left(\frac{a_1}b\right)\left(\frac{a_2}b\right)</math> ו־<math>\left(\frac a{b_1 b_2}\right)=\left(\frac a{b_1}\right)\left(\frac a{b_2}\right)</math>. | ||
+ | :* <math>\left(\frac1b\right)=1</math>, <math>\left(\frac{-1}b\right)=(-1)^\frac{b-1}2</math> ו־<math>\left(\frac2b\right)=(-1)^\frac{b^2-1}8</math>. | ||
+ | :* '''משפט ההדדיות הריבועית:''' אם גם <math>a</math> אי־זוגי אז <math>\left(\frac ab\right)=(-1)^\frac{(a-1)(b-1)}4\left(\frac ba\right)</math>. | ||
+ | * '''למת לגרנז׳:''' <math>-1</math> שארית ריבועית מודולו <math>p</math> אם״ם <math>p\equiv1\pmod4</math>. השורש מודולו <math>p</math> הוא <math>\frac{p-1}2!</math>. | ||
+ | * '''משפט פרמה:''' ל־<math>x^2+y^2=p</math> יש פתרון בשלמים אם״ם <math>p\equiv1\pmod4</math> (או <math>p=2</math>). | ||
+ | :* אם <math>p</math> לאו דווקא ראשוני אבל <math>p\equiv3\pmod4</math> אז עדיין אין פתרון בשלמים. | ||
+ | :* '''עקרון דיריכלה:''' נרצה לפתור את המשוואה. נסמן <math>N:=\frac{p-1}2!</math> ונניח <math>x_1+Ny_1\equiv x_1+Ny_2\pmod p</math> כך ש־<math>x_1\ne x_2\ \or\ y_1\ne y_2</math>. נסמן <math>x=x_1-x_2</math> ו־<math>y=y_1-y_2</math> והם פותרים את <math>x^2+y^2=p</math>. | ||
+ | * '''משפט אוילר:''' ל־<math>x^2+y^2=n\in\mathbb N^+</math> יש פתרון בשלמים אם״ם <math>\forall p^e\mid\!\mid n\ \and\ p\equiv3\pmod4:\ 2\mid e</math>. | ||
+ | * '''משפט דיריכלה:''' לכל <math>a>1</math> ו־<math>b</math> זר לו יש אינסוף ראשוניים <math>p</math> עבורם <math>p\equiv b\pmod a</math>. בפרט יש אינסוף ראשוניים עבורם <math>p\equiv1,3\pmod4</math>. | ||
+ | * <math>a</math> שארית ריבועית מודולו <math>p</math> לכל <math>p\in\mathcal P^+</math> אם״ם <math>\sqrt a\in\mathbb Z</math>. | ||
+ | * יהי <math>a\not\equiv0\pmod p</math> ונרצה לפתור <math>x^2\equiv a\pmod p</math> כשנתון ש־<math>a</math> שארית ריבועית: <math>x:\equiv\left(\begin{cases}a^\frac{p+1}4,&p\equiv3\pmod 4\\a^\frac{p+3}8,&p\equiv5\pmod8\ \and\ a^\frac{p-1}4\equiv1\pmod p\\2a(4a)^\frac{p-5}8,&p\equiv5\pmod8\ \and\ a^\frac{p-1}4\equiv-1\pmod p\end{cases}\right)\pmod p</math>. למקרה <math>p\equiv1\pmod8</math> יש פתרון אך הוא מורכב ולא נביאו. | ||
+ | |||
+ | ==== משוואות פיתגורס ==== | ||
+ | נרצה למצוא את הפתרונות השלמים של <math>x^2+y^2=z^2</math>. | ||
+ | * פתרון יקרא פרמיטיבי אם <math>(x,y,z)=1</math>. | ||
+ | * הפתרונות החיוביים (כלומר <math>x,y,z>1</math>) הפרמיטבים הם מהצורות הבאות: יהיו <math>m>n>0</math> זרים. אם הם אי־זוגיים אז <math>x=mn,\ y=\frac{m^2-n^2}2,\ z=\frac{m^2+n^2}2</math> ואם אחד מהם זוגי אז <math>x=2mn,\ y=m^2-n^2,\ z=m^2+n^2</math>. | ||
+ | |||
+ | ==== עקומות רציונליות ==== | ||
+ | * יהי <math>f</math> פולינום בשני משתנים עם מקדמים רציונלים (כלומר <math>f\in\mathbb Q[x,y]</math>) שאינה פריקה (כלומר אין <math>g,h\in\mathbb C[x,y]</math> לא קבועות כך ש־<math>f=g\cdot h</math>). העקומה <math>C_f:=\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ f(x,y)=0\}</math> תקרא רציונלית אם קיימת לה פרמטריזציה <math>\gamma(t)=(x(t),y(t))</math> (למעט, אולי, בכמה נקודות מבודדות) כאשר <math>x,y</math> הם חלוקות של פולינומים במשתנה אחד עם מקדמים רציונלים. | ||
+ | * נניח ש־<math>f</math> לא פריקה ו־<math>\deg(f)=2</math>. אם ל־<math>f(x,y)=0</math> יש פתרון ב־<math>\mathbb Q^2</math> אז <math>C_f</math> רציונלית. | ||
+ | * '''משפט לג׳נדר:''' נרצה לדעת אם ל־<math>ax^2+by^2=c</math> יש פתרון רציונלי כאשר <math>a,b,c\in\mathbb Q</math>. ניתן להניח בה״כ ש־<math>a,b,c</math> שלמים, זרים בזוגות וחופשיים מריבועים. קיים פתרון רציונלי אם״ם <math>-ab</math> ש״ר מודולו <math>c</math>, <math>ac</math> ש״ר מודולו <math>b</math> ו־<math>bc</math> ש״ר מודולו <math>a</math>. | ||
+ | |||
+ | ==== משוואות פל ==== | ||
+ | יהי <math>m>1</math> שאינו ריבועי. משוואת פל היא <math>x^2-my^2=1</math> כאשר <math>x,y\in\mathbb Z</math>. תמיד קיים הפתרון הטריוויאלי <math>x=1,\ y=0</math>. | ||
+ | * לכל משוואת פל קיים פתרון לא טריוויאלי. | ||
+ | * יהי <math>x_0+\sqrt m y_0</math> הפתרון החיובי המינימלי (נקרא "הפתרון הפונדמנטלי"), כלומר <math>x_0,y_0>0</math> כך ש־<math>x_0</math> הוא ה־<math>x</math> המינימלי הגדול מ־1 שקיים לו <math>y</math> הפותר את המשוואה. אזי כל הפתרונות הם <math>\pm\left(x_0+\sqrt my_0\right)^n</math> עבור <math>n\in\mathbb N</math>. | ||
+ | :* {{הערה|הערה:}} בהינתן הפתרון המינימלי נוח לחשב את שאר הפתרונות עם הנוסחה <math>\left(x_0+\sqrt my_0\right)\left(x+\sqrt my\right)=(x_0x+my_0y)+\sqrt m(y_0x+x_0y)</math>. | ||
+ | |||
+ | === משוואות פולינומיאליות === | ||
+ | יהי <math>m>1</math> ונרצה לפתור או לבדוק כמה פתרונות יש ל־<math>f(x)\equiv0\pmod m</math> כאשר <math>f\in\mathbb Z[x]</math>. | ||
+ | * '''משוואה לינארית:''' <math>ax\equiv b</math>. קיים פתרון אם״ם <math>d:=(a,m)\mid b</math>. אם <math>x_0</math> פתרון פרטי של <math>ax\equiv b\pmod{m/d}</math> אז כל הפתרונות הם <math>x\equiv x_0+k\frac md\pmod m</math> כאשר <math>0\le k\le d-1</math>, ויש <math>d</math> פתרונות. | ||
+ | * מגדירים <math>N_f(m)=|\{x\in\mathbb Z_m:\ f(x)\equiv0\pmod m\}|</math>. זו פונקציה כפלית אריתמטית. | ||
+ | * '''שיטת הנזל:''' יהי <math>x_0</math> פתרון של <math>f(x)\equiv0\pmod{p^e}</math> כאשר <math>e\in\mathbb N^+</math> ונרצה לפתור <math>f(x)\equiv0\pmod{p^{e+1}}</math>. נחלק למקרים לפי הנגזרת בנקודה זו: | ||
+ | :* <math>f'(x_0)\equiv0\pmod p</math>: לכל <math>0\le k\le p-1</math> המספרים <math>x_0+kp^e</math> (מודולו <math>p^{e+1}</math>) הם הפתרונות למשוואה אם״ם <math>f(x_0)\equiv0\pmod{p^{e+1}}</math>. | ||
+ | :* <math>f'(x_0)\not\equiv0\pmod p</math>: לכן <math>\left(f'(x_0)\right)^{-1}\pmod p</math> קיים ו־<math>x_0+kp^e</math> עבור <math>k:\equiv-\left(f'(x_0)\right)^{-1}\frac{f(x_0)}{p^e}\pmod p</math> הוא הפתרון היחיד. | ||
+ | * '''משפט בסונט:''' אם <math>x_0</math> שורש של <math>f(x)\equiv0\pmod m</math> אז קיימת <math>g\in\mathbb Z_m[x]</math> כך ש־<math>f(x)=(x-x_0)g(x)</math> ו־<math>\deg(g)<\deg(f)</math>. | ||
+ | * '''חילוק פולינומים:''' אם <math>f,g\in\mathbb Z_m[x]</math> ו־<math>g</math> פולינום מתוקן אז קיימים <math>q,r\in\mathbb Z_m[x]</math> עבורם <math>f=g\cdot q+r</math> ו־<math>\deg(r)<\deg(g)</math>. | ||
+ | * '''משפט לגראנז׳:''' ל־<math>f\in\mathbb Z_p[x]</math> יש לכל היותר <math>\deg(f)</math> שורשים. בנוסף, אם <math>g\in\mathbb Z[x]</math> כך של־<math>g(x)\equiv0\pmod m</math> יש יותר מ־<math>\deg(g)</math> שורשים אז אז כל המקדמים ב־<math>g</math> מתחלקים ב־<math>p</math>. | ||
+ | :* {{הערה|הערה:}} המשפט לא מתקיים ל־<math>p</math> פריק. | ||
+ | * <math>\prod_{a=0}^{p-1}(x-a)\equiv x^p-x\pmod p</math>. | ||
+ | * ל־<math>f\in\mathbb Z_p[x]</math> יש <math>\deg\!\left(\gcd\!\left(f(x),x^p-x\right)\right)</math> שורשים שונים. בפרט, אם <math>\deg(f)\le p</math> אז ל־<math>f</math> יש <math>\deg(f)</math> שורשים שונים אם״ם <math>f(x)\mid x^p-x</math>. |
גרסה אחרונה מ־17:23, 28 באוגוסט 2013
בקורס זה ו־
. כמו כן, אלא אם צוין אחרת,
, כל המשתנים והנעלמים שלמים ו־
ראשוני.
תוכן עניינים
- משפט פיאנו: קיימת קבוצה בודדה
שעבורה יש פונקציה
המקיימת את אקסיומות פיאנו:
חח״ע,
,
ואם
מקיימת
אזי
.
-
מחולק לשלוש קבוצות: יחידות –
, ראשוניים –
ופריקים –
.
- לכל
ו־
קיים זוג יחיד של שארית
ומנה
כך ש־
.
- המשפט הבסיסי של האתריתמטיקה: כל מספר ב־
ניתן לפירוק יחיד (עד כדי סדר ההכפלה) של גורמים ראשוניים.
- למת אוקלידס: אם
אז
.
- נסמן
אם
.
- נניח ש־
ו/או
שונים מ־0. אזי קיים
יחיד (הנקרא מחלק משותף מקסימלי של
ומסומן
) עבורו
ואם
כך ש־
אזי
.
- אם
אזי
.
-
.
-
.
- אם
זרים ו־
אזי
.
- אם
וה־
שונים זה מזה אזי
.
-
יקרא חופשי מריבועים אם
.
- אלגוריתם אוקלידס: נניח
ונרצה לחשב
כאשר
. אם
שארית החלוקה של
ב־
אזי
. נמשיך כך עד שנקבל
. ניתן להעזר באלגוריתם גם כדי לפתור את
: נסמן
ולכן בתהליך החישוב של
עם האלגוריתם נקבל
כאשר
. לפיכך:
- נאמר ש־
חופפים מודולו
(ונסמן
) אם
.
מגדיר יחס שקילות כאשר
מחלקת השקילות של
ו־
קבוצת מחלקות השקילות.
- אם
ו־
אז
.
- יהי
.
אם״ם
הפיך. ניתן למצוא את ההופכי ל־
ע״י פתירת
, ואז
.
-
.
- פונקציית אוילר היא
עבורה
.
- פונקציית אוילר כפלית אריתמטית.
- מערכת מלאה מודולו m היא קבוצה
עבורה
. קיים
יחיד כנ״ל לכל
. באופן שקול, המערכת מלאה מודולו
אם
.
- אם
מלאה מודולו
,
ו־
שלם אזי
מלאה מודולו
.
- מערכת מצומצמת מודולו m היא קבוצה
כך ש־
. באופן שקול,
.
- אם
מצומצמת מודולו
ו־
אז
מצומצמת מודולו
.
- אם
אזי
. בפרט,
.
- משפט גאוס:
.
- משפט אוילר: אם
אז
. משפט פרמה הוא מקרה פרטי כאשר
ראשוני.
- משפט וילסון:
.
- מבחן הראשוניות של Solovay & Strassen:
ראשוני אם״ם
או
.
- אם
פריק אז
שלא מקיים את התנאי הנ״ל נקרא עד לפריקות של
.
- אם
פריק אז לפחות חצי מהמספרים
הם עדים לפריקות.
- אם
- משפט גאוס:
חבורה ציקלית, כלומר קיים
כך ש־
.
- לכל
אותו
יחיד מודולו
ולכן נקרא "הלוגריתם מודולו
של
לפי
" ומסומן
.
- כל
כזה נקרא "שורש פרימיטיבי". יש
כאלה.
- הכללה:
ציקלית אם״ם
.
- לכל
פונקציות אריתמטיות
-
נקראת פונקציה אריתמטית. בד״כ
.
- קונבולוציית דיריכלה בין שתי פונקציות אריתמטיות
מוגדרת ע״י
. זו פעולה קומוטטיבית ואסוציאטיבית.
- נסמן
.
היא פונקציית היחידה ביחס לקונבולוציה, כלומר
.
-
אריתמטית תקרא כפלית אם
וכפלית אריתמטית אם
.
- אם
כפליות אריתמטיות אז כך גם
.
- פונקציית הממוצע האריתמטי של
מוגדרת ע״י
כאשר
.
- אם
אז
נקראת הפיכה (ביחס לקונבולוציית דיריכלה) ונסמן
.
-
הפיכה אם״ם
.
- אם
הפיכה וכפלית אריתמטית אז
כפלית אריתמטית.
- פונקציית מוביוס היא
ומקיימת
.
-
.
- מגדירים
.
- נגדיר
. מקרה שימושי הוא
ואז
כאשר
.
-
.
חוג השלמים של גאוס
האיברים ב־ נקראים שלמים של גאוס. איברי היחידה (כלומר
עבורם
) הם
.
- אם
ו־
יחידה אז
נקראים דומים.
- נגדיר
ע״י
. היא כפלית (
) ו־
יחידה אם״ם
.
- ראשוני של גאוס הוא שלם
של גאוס שאינו יחידה ואם
אז
או
יחידות.
- אם
כך ש־
אז יש
עבורם
כך ש־
.
- משפט גאוס: ב־
קיים פירוק יחיד לגורמים ראשוניים של גאוס.
- הראשוניים של גאוס מתחלקים לסוגים הבאים:
-
. הוא "קשור" ל־2 ע״י
.
- לכל
יש פתרון ל־
. המספרים
הם ראשוניים לא דומים של גאוס.
- כל
הוא גם ראשוני של גאוס.
-
- כל ראשוני של גאוס מחלק ראשוני טבעי כלשהו.
- אם
אז
ראשוני של גאוס.
פתרון משוואות דיופנטיות
- משוואה לינארית ב־2 נעלמים: נרצה לפתור
כאשר
משתנים והשאר קבועים. נחלק למקרים:
-
: אין פתרון.
-
: ניתן לפתור
ע״י אלגוריתם אוקלידס (כמפורט בהמשך הסעיף). הפתרון הכללי הוא
לכל
.
-
: נחלק את אגפי המשוואה ב־
ונקבל משוואה חדשה מהמקרה הקודם.
- אם בפרט
אז ניתן לפתור גם באמצעות אלגוריתם אוקלידס.
- אם בפרט
-
- משפט השאריות הסיני: נניח ש־
ונתונה
. למערכת
קיים פתרון יחיד מודולו
.
- אם
אז
. ה־
־ים מקיימים
כאשר
.
- הכללה: אם לא נתון ש־
אז יש פתרון אם״ם
.
- אם
משוואות ריבועיות
בפרק זה ו־
אי־זוגי.
- אם קיים פתרון ל־
אז
יקרא שארית ריבועית (ש״ר).
- יש
שאריות ריבועיות ב־
והן
.
- אם
אז
.
- סימן לז׳נדר:
. לפיכך
שארית ריבועית אם״ם
.
- משפט אוילר:
.
- למת גאוס: נסמן
ונגדיר
כאשר
. אזי
.
- סימן יעקובי: יהי
. מגדירים
.
- אם
אז ל־
אין פתרון. ההפך לא תמיד נכון.
- תכונות של סימני לז׳נדר ויעקובי:
-
אז
.
-
ו־
.
-
,
ו־
.
- משפט ההדדיות הריבועית: אם גם
אי־זוגי אז
.
-
- למת לגרנז׳:
שארית ריבועית מודולו
אם״ם
. השורש מודולו
הוא
.
- משפט פרמה: ל־
יש פתרון בשלמים אם״ם
(או
).
- אם
לאו דווקא ראשוני אבל
אז עדיין אין פתרון בשלמים.
- עקרון דיריכלה: נרצה לפתור את המשוואה. נסמן
ונניח
כך ש־
. נסמן
ו־
והם פותרים את
.
- אם
- משפט אוילר: ל־
יש פתרון בשלמים אם״ם
.
- משפט דיריכלה: לכל
ו־
זר לו יש אינסוף ראשוניים
עבורם
. בפרט יש אינסוף ראשוניים עבורם
.
-
שארית ריבועית מודולו
לכל
אם״ם
.
- יהי
ונרצה לפתור
כשנתון ש־
שארית ריבועית:
. למקרה
יש פתרון אך הוא מורכב ולא נביאו.
משוואות פיתגורס
נרצה למצוא את הפתרונות השלמים של .
- פתרון יקרא פרמיטיבי אם
.
- הפתרונות החיוביים (כלומר
) הפרמיטבים הם מהצורות הבאות: יהיו
זרים. אם הם אי־זוגיים אז
ואם אחד מהם זוגי אז
.
עקומות רציונליות
- יהי
פולינום בשני משתנים עם מקדמים רציונלים (כלומר
) שאינה פריקה (כלומר אין
לא קבועות כך ש־
). העקומה
תקרא רציונלית אם קיימת לה פרמטריזציה
(למעט, אולי, בכמה נקודות מבודדות) כאשר
הם חלוקות של פולינומים במשתנה אחד עם מקדמים רציונלים.
- נניח ש־
לא פריקה ו־
. אם ל־
יש פתרון ב־
אז
רציונלית.
- משפט לג׳נדר: נרצה לדעת אם ל־
יש פתרון רציונלי כאשר
. ניתן להניח בה״כ ש־
שלמים, זרים בזוגות וחופשיים מריבועים. קיים פתרון רציונלי אם״ם
ש״ר מודולו
,
ש״ר מודולו
ו־
ש״ר מודולו
.
משוואות פל
יהי שאינו ריבועי. משוואת פל היא
כאשר
. תמיד קיים הפתרון הטריוויאלי
.
- לכל משוואת פל קיים פתרון לא טריוויאלי.
- יהי
הפתרון החיובי המינימלי (נקרא "הפתרון הפונדמנטלי"), כלומר
כך ש־
הוא ה־
המינימלי הגדול מ־1 שקיים לו
הפותר את המשוואה. אזי כל הפתרונות הם
עבור
.
- הערה: בהינתן הפתרון המינימלי נוח לחשב את שאר הפתרונות עם הנוסחה
.
- הערה: בהינתן הפתרון המינימלי נוח לחשב את שאר הפתרונות עם הנוסחה
משוואות פולינומיאליות
יהי ונרצה לפתור או לבדוק כמה פתרונות יש ל־
כאשר
.
- משוואה לינארית:
. קיים פתרון אם״ם
. אם
פתרון פרטי של
אז כל הפתרונות הם
כאשר
, ויש
פתרונות.
- מגדירים
. זו פונקציה כפלית אריתמטית.
- שיטת הנזל: יהי
פתרון של
כאשר
ונרצה לפתור
. נחלק למקרים לפי הנגזרת בנקודה זו:
-
: לכל
המספרים
(מודולו
) הם הפתרונות למשוואה אם״ם
.
-
: לכן
קיים ו־
עבור
הוא הפתרון היחיד.
-
- משפט בסונט: אם
שורש של
אז קיימת
כך ש־
ו־
.
- חילוק פולינומים: אם
ו־
פולינום מתוקן אז קיימים
עבורם
ו־
.
- משפט לגראנז׳: ל־
יש לכל היותר
שורשים. בנוסף, אם
כך של־
יש יותר מ־
שורשים אז אז כל המקדמים ב־
מתחלקים ב־
.
- הערה: המשפט לא מתקיים ל־
פריק.
- הערה: המשפט לא מתקיים ל־
-
.
- ל־
יש
שורשים שונים. בפרט, אם
אז ל־
יש
שורשים שונים אם״ם
.