אינפי 1 לתיכוניסטים תש"ע

אינפי 1 לתיכוניסטים

כאן יהיה המקום שלנו להיעזר אחד בשני בקורס חשבון אינפיניטסימלי 1. אתם מוזמנים לשאול שאלות ולדון בבעיות הנוגעות לקורס אינפי 1 - סטודנטים הלומדים בשתי הקבוצות מוזמנים להגיב כאן.

-

תרגיל 1 - שאלות

• בשאלה 5 שצ"ל [math]\displaystyle{ A_n\gt =G_n }[/math] הצבתי לפי ההדרכה [math]\displaystyle{ b_i=\frac{a_i}{G} }[/math], והגעתי למצב בו עליי להוכיח את אי השוויון הבא:

[math]\displaystyle{ a_1+a_2+...+a_n\gt =G }[/math] איך אני מוכיח את הטענה? הנ"ל? האם מותר לי להעלות בחזקת n, מכיוון ששני האגפים בודאות חיוביים?

תרגיל 2 - הודעה לתלמידי ד"ר ראובן כהן

תאריך הגשת התרגיל נדחה לשבוע הבא, יום ראשון ה-15/11.

קצת מאוחר להודע את זה עכשיו, לא?

שאלה בקשר לתרגיל בית מס' 2, שאלה 2

בא', צריך להוכיח כל טענה לגבי חיבור, חיסור, כפל וחילוק של מס' רציונליים?או שמספיק להגיד אם זה מתקיים או לא?

בתרגיל מספר 2

שאלה 1 לא נכונה, זה לא מוכיח את זה!

• היא נכונה, שים לב שאחד המקרים מוכל בשני. כלומר אם אני אגיד לך:

[math]\displaystyle{ X\gt 3 }[/math]. הוכח: [math]\displaystyle{ X\gt 2 }[/math] לא תהיה לך בעיה לעשות את זה, נכון?

לגבי מקסימום (מינימום) וחסם עליון (תחתון)

אני יכול להגיד בוודאות שמשהו הוא חסם עליון (תחתון) אם הוכחתי שהוא מקסימום (מינימום)?

(כל זאת בהנחה שיש באמת מקסימום או מינימום לקבוצה..)

תשובה

כן. נניח M מקסימום של קבוצה A. נניח M אינו חסם עליון אזי קיים [math]\displaystyle{ M_2 }[/math] חסם מלעיל כך ש[math]\displaystyle{ M_2\lt M }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \forall a \in A : M_2 \geq a }[/math]. אבל M מקסימום לכן [math]\displaystyle{ M \in A }[/math]. אבל זו סתירה לכך ש [math]\displaystyle{ M_2 }[/math] חסם מלעיל כיוון ש[math]\displaystyle{ M_2\lt M }[/math].

כמה שאלות כלליות.

מספיק להראות שקבוצה מסוימת חסומה מלעל ע"י מציאת הsup שלה? ובשאלה 3 (בתרגיל בית מס' 2), בקשר לסעיפים ב' וג', אני צריכה להתעלם מהמקרה של הקבוצה הריקה? כי אם החיתוך שלהם הוא ריק, אז אין להם מקסימום וחסם עליון לפי מה שנאמר לנו בכיתה.. (הן אמנם חסומות בצורה ריקה אבל אין להם מקסימום/חסם עליון.) ועוד שאלה קטנה: כדי להראות שקבוצה אינה חסומה, מילעל נניח, מספיק להראות שלכל m>0, קיים N (או שמא קיימים Nים החל ממקום מסוים? מה הניסוח הנכון?) כך שאיבר בסדרה כפונקציה של N גדול מאותו m? אשמח לתשובה, כי אלו דברים בסיסיים שמופיעים בתרגיל פעמים רבות..

תשובה

sup הינו החסם העליון, כלומר חסם המלעל הכי קטן. אם הוא קיים, אז קיים חסם מלעיל (הוא עצמו) ובפרט הקבוצה חסומה.

לגבי השאלה הקטנה, את מבלבלת בין שני מושגים- קבוצה וסדרה. לקבוצה אין מיקום או סדר כמו לסדרה. על מנת להראות שקבוצה לא חסומה, יש להראות שלכל מספר ממשי M קיים איבר בקבוצה שגדול מM. על מנת להראות שסדרה לא חסומה, יש להראות שלכל איבר M קיים איבר בסדרה שגדול מM. אם רוצים להראות שסדרה שואפת לאינסוף (או מתכנסת במובן הרחב) יש להראות שלכל M, קיים מקום בסדרה, נקרא לו [math]\displaystyle{ n_0 }[/math], שהחל ממנו והלאה כל איברי הסדרה גדולים מM.

עוד כמה שאלות

קודם כל, כשמשתמשים בשאלה 4 בקבוצת הטבעיים N האם הכוונה ל-N ממש, או ל-N איחוד אפס , כי זה טיפה משנה את התשובה...