הבדלים בין גרסאות בדף "83-110 לינארית להנדסה תשעד סמסטר א/מערכי תרגול"
מתוך Math-Wiki
אחיה בר-און (שיחה | תרומות) |
אחיה בר-און (שיחה | תרומות) |
||
שורה 12: | שורה 12: | ||
*[[מדיה:14LinearEng9.pdf|תירגול 9]] | *[[מדיה:14LinearEng9.pdf|תירגול 9]] | ||
*[[מדיה:14LinearEng10.pdf|תירגול 10]] | *[[מדיה:14LinearEng10.pdf|תירגול 10]] | ||
+ | |||
+ | הנה הטענה שהבטחתי להוכיח: יהיו <math>V</math> ממ"פ מימד סופי מעל <math>\mathbb{F}</math>, | ||
+ | <math>W</math> ת"מ שלו. אזי <math>(W^{\perp})^{\perp}=W</math> | ||
+ | |||
+ | הוכחה: נוכיח רק את הכיוון <math>(\subseteq)</math> (הכיוון השני פשוט ועשינו בכיתה): | ||
+ | יהא <math>x\in (W^{\perp})^{\perp} </math> צ"ל <math>x\in W</math>. כיוון ש <math>V</math> ממימד סופי אזי ניתן למצוא בסיס או"ג ל <math>W</math> ולמצוא הטלה <math>u=\pi_W(x)</math> של <math>x</math> על <math>W</math>. מתקיים <math>x=u+(x-u)</math>ומהגדרת היטל מתקיים <math>u\in W, (x-u)\in W^{\perp}</math>. | ||
+ | |||
+ | כלומר <math>x=x_1+x_2</math> כאשר <math>x_1\in W, x_2\in W^{\perp}</math> | ||
+ | ובפרט <math><x_1,x_2>=0</math>. | ||
+ | |||
+ | כעת רוצים להוכיח כי <math>x_2=0</math>. | ||
+ | |||
+ | כיוון ש <math>x\in (W^{\perp})^{\perp} </math> אזי <math>\forall v\in W^{\perp}:<x,v>=0</math> בפרט עבור <math>x_2</math> מתקיים <math> <x,x_2>=0</math>. | ||
+ | ולכן | ||
+ | |||
+ | <math>||x_2||^2=<x_2,x_2>=<x_2,x_2>+<x_1,x_2>=<x_2+x_1,x_2>=<x,x_2>=0</math> | ||
+ | |||
+ | שזה גורר <math>x_2=0</math> כנדרש | ||
*[[מדיה:13LinearEng10.pdf|תירגול 11]] | *[[מדיה:13LinearEng10.pdf|תירגול 11]] | ||
*[[מדיה:13LinearEng11.pdf|תירגול 12]] | *[[מדיה:13LinearEng11.pdf|תירגול 12]] | ||
*[[מדיה:13LinearEng12.pdf|תירגול 13]] | *[[מדיה:13LinearEng12.pdf|תירגול 13]] | ||
*[[מדיה:13LinearEng13.pdf|תירגול 14]] | *[[מדיה:13LinearEng13.pdf|תירגול 14]] |
גרסה מ־07:28, 20 בדצמבר 2013
83-110 לינארית להנדסה תשעד סמסטר א
הנה הטענה שהבטחתי להוכיח: יהיו ממ"פ מימד סופי מעל , ת"מ שלו. אזי
הוכחה: נוכיח רק את הכיוון (הכיוון השני פשוט ועשינו בכיתה): יהא צ"ל . כיוון ש ממימד סופי אזי ניתן למצוא בסיס או"ג ל ולמצוא הטלה של על . מתקיים ומהגדרת היטל מתקיים .
כלומר כאשר ובפרט .
כעת רוצים להוכיח כי .
כיוון ש אזי בפרט עבור מתקיים . ולכן
שזה גורר כנדרש