הבדלים בין גרסאות בדף "היטל"
(←1) |
(←2) |
||
(6 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) | |||
שורה 11: | שורה 11: | ||
===1=== | ===1=== | ||
+ | יהי V מרחב מכפלה פנימית ויהי W תת מרחב. הוכיחו כי לכל <math>v\in V</math> | ||
+ | |||
+ | ::<math>||v-\pi_W(v)||\leq ||v||</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''פתרון:''' | ||
+ | |||
+ | ניקח בסיס אורתוגונלי <math>\{w_1,...,w_k\}</math> למרחב W, ונשלים אותו לבסיס אורתוגונלי <math>\{w_1,...,w_n\}</math> למרחב כולו. | ||
+ | |||
+ | אזי | ||
+ | |||
+ | ::<math>||v-\pi_W(v)||^2=||\sum_{i=k+1}^n\frac{<v,w_i>}{<w_i,w_i>}w_i||^2=\sum_{i=k+1}^n|<v,w_i>|^2\leq \sum_{i=1}^n|<v,w_i>|^2=||v||^2</math> | ||
+ | |||
+ | ===2=== | ||
יהי V מרחב מכפלה פנימית מעל <math>\mathbb{C}</math> ממימד n ויהי <math>U\subseteq V</math> תת מרחב ממימד k | יהי V מרחב מכפלה פנימית מעל <math>\mathbb{C}</math> ממימד n ויהי <math>U\subseteq V</math> תת מרחב ממימד k | ||
שורה 25: | שורה 39: | ||
<math>\sum_{i=1}^n||\pi_U(v_i)||^2=\sum_{i=1}^n<\pi_U(v_i),\pi_U(v_i)>=\sum_{i=1}^n\Big(<\sum_{j=1}^k<v_i,u_j>u_j,\sum_{j=1}^k<v_i,u_j>u_j>\Big)=</math> | <math>\sum_{i=1}^n||\pi_U(v_i)||^2=\sum_{i=1}^n<\pi_U(v_i),\pi_U(v_i)>=\sum_{i=1}^n\Big(<\sum_{j=1}^k<v_i,u_j>u_j,\sum_{j=1}^k<v_i,u_j>u_j>\Big)=</math> | ||
− | <math>=\sum_{i=1}^n\Big(\sum_{j=1}^k | + | <math>=\sum_{i=1}^n\Big(\sum_{j=1}^k<v_i,u_j>\overline{<v_i,u_j>}\Big)=\sum_{j=1}^k\Big(\sum_{i=1}^n\overline{<u_j,v_i>}<u_j,v_i>>\Big)=</math> |
<math>=\sum_{j=1}^k\Big(<\sum_{i=1}^n<u_j,v_i>v_i,\sum_{i=1}^n<u_j,v_i>v_i>\Big)=\sum_{j=1}^k||\pi_V(u_j)||^2</math> | <math>=\sum_{j=1}^k\Big(<\sum_{i=1}^n<u_j,v_i>v_i,\sum_{i=1}^n<u_j,v_i>v_i>\Big)=\sum_{j=1}^k||\pi_V(u_j)||^2</math> | ||
שורה 63: | שורה 77: | ||
אכן, כפי שראינו בתרגיל קודם, אם מחסירים מוקטור היטלים שלו על תתי מרחבים, הנורמה קטנה. | אכן, כפי שראינו בתרגיל קודם, אם מחסירים מוקטור היטלים שלו על תתי מרחבים, הנורמה קטנה. | ||
− | === | + | ===3=== |
יהי V מרחב מכפלה פנימית ויהיו <math>U,W\subseteq V</math> תתי מרחבים כך ש <math>\dim{U}=m, \dim{W}=k</math> | יהי V מרחב מכפלה פנימית ויהיו <math>U,W\subseteq V</math> תתי מרחבים כך ש <math>\dim{U}=m, \dim{W}=k</math> | ||
− | א. הוכיחו כי <math><v,u>=<\pi_U(v),u></math> לכל <math>u\in | + | א. הוכיחו כי <math><v,u>=<\pi_U(v),u></math> לכל <math>u\in U, v\in V</math> |
שורה 72: | שורה 86: | ||
הוכיחו כי לכל שני וקטורים <math>u_1,u_2\in U</math> מתקיים <math><P_U(u_1),u_2>=<u_1,P_U(u_2)></math> | הוכיחו כי לכל שני וקטורים <math>u_1,u_2\in U</math> מתקיים <math><P_U(u_1),u_2>=<u_1,P_U(u_2)></math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''פתרון:''' | ||
+ | |||
+ | א. כפי שראינו בהגדרה השנייה, <math>\Big(v-\pi_U(v)\Big)\in U^\perp</math> ולכן | ||
+ | |||
+ | ::<math><v-\pi_U(v),u>=0</math> | ||
+ | |||
+ | נשתמש בלינארית ברכיב ראשון ונעביר אגף על מנת לקבל | ||
+ | |||
+ | ::<math><v,u>=<\pi_U(v),u></math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ב. | ||
+ | |||
+ | ::<math><P_U(u_1),u_2>=<\pi_U(\pi_W(u_1)),u_2></math> | ||
+ | |||
+ | כיוון ש <math>u_2\in U</math> לפי סעיף א' מתקיים: | ||
+ | |||
+ | ::<math><\pi_U(\pi_W(u_1)),u_2>=<\pi_W(u_1),u_2></math> | ||
+ | |||
+ | אבל <math>\pi_W(u_1)\in W</math> ולכן | ||
+ | |||
+ | ::<math><\pi_W(u_1),u_2>=<\pi_W(u_1),\pi_W(u_2)>= <u_1,\pi_W(u_2)></math> | ||
+ | |||
+ | שוב, כיוון ש<math>u_1\in U</math> מתקיים | ||
+ | |||
+ | ::<math><u_1,\pi_W(u_2)>=<u_1,\pi_U(\pi_W(u_2))>=<u_1,P_U(u_2)></math> |
גרסה אחרונה מ־13:34, 31 בדצמבר 2013
הגדרה
יהי V מרחב מכפלה פנימית, ויהיו W תת מרחב של V ו וקטור. ההגדרות הבאות למושג היטל v על המרחב W שקולות:
א. יהי בסיס אורתוגונלי לתת המרחב W, אזי ההיטל הינו (התוצאה לא תלוייה בבחירת הבסיס)
ב. ההיטל הוא הוקטור המקיים
תרגילים
0
הוכח כי בהגדרה הראשונה להיטל, בחירת הבסיס אינה משנה (כלומר ההיטל נשאר זהה לכל בחירת בסיס).
1
יהי V מרחב מכפלה פנימית ויהי W תת מרחב. הוכיחו כי לכל
פתרון:
ניקח בסיס אורתוגונלי למרחב W, ונשלים אותו לבסיס אורתוגונלי למרחב כולו.
אזי
2
יהי V מרחב מכפלה פנימית מעל ממימד n ויהי תת מרחב ממימד k
א. הוכיחו כי לכל בסיס אורתונורמלי למרחב V מתקיים
ב. יהי בסיס כלשהו למרחב V ותהי מטריצת הגראם של S. הוכיחו כי:
פתרון:
א. ניקח בסיס אורתונורמלי כלשהו לתת המרחב U
אבל וכיוון שזה בסיס אורתונורמלי אורך כל איברי הבסיס הוא אחד, ולכן הסכום לעיל שווה בדיוק k.
ב.
ראשית, נפעיל אלגוריתם גרם-שמידט על מנת לקבל בסיס אורתוגונלי , כלומר נשתמש בנוסחאת הנסיגה:
לכן קל לראות כי מטריצת המעבר בין הבסיסים הינה מטריצה משולשית עליונה עם אחדות על האלכסון ולכן
לפי נוסחאת המעבר בין מטריצות גראם אנו מקבלים כי
ולכן
אבל W בסיס אורתוגונלי ולכן
ולכן כל שנותר להראות הוא כי
אכן, כפי שראינו בתרגיל קודם, אם מחסירים מוקטור היטלים שלו על תתי מרחבים, הנורמה קטנה.
3
יהי V מרחב מכפלה פנימית ויהיו תתי מרחבים כך ש
א. הוכיחו כי לכל
ב. נגדיר אופרטור ע"י .
הוכיחו כי לכל שני וקטורים מתקיים
פתרון:
א. כפי שראינו בהגדרה השנייה, ולכן
נשתמש בלינארית ברכיב ראשון ונעביר אגף על מנת לקבל
ב.
כיוון ש לפי סעיף א' מתקיים:
אבל ולכן
שוב, כיוון ש מתקיים