שינויים
היטל
,/* 2 */
==תרגילים==
===0===
הוכח כי בהגדרה הראשונה להיטל, בחירת הבסיס אינה משנה (כלומר ההיטל נשאר זהה לכל בחירת בסיס).
===1===
יהי V מרחב מכפלה פנימית ויהי W תת מרחב. הוכיחו כי לכל <math>v\in V</math>
::<math>||v-\pi_W(v)||\leq ||v||</math>
'''פתרון:'''
ניקח בסיס אורתוגונלי <math>\{w_1,...,w_k\}</math> למרחב W, ונשלים אותו לבסיס אורתוגונלי <math>\{w_1,...,w_n\}</math> למרחב כולו.
אזי
::<math>||v-\pi_W(v)||^2=||\sum_{i=k+1}^n\frac{<v,w_i>}{<w_i,w_i>}w_i||^2=\sum_{i=k+1}^n|<v,w_i>|^2\leq \sum_{i=1}^n|<v,w_i>|^2=||v||^2</math>
===2===
יהי V מרחב מכפלה פנימית מעל <math>\mathbb{C}</math> ממימד n ויהי <math>U\subseteq V</math> תת מרחב ממימד k
ב. יהי <math>S=\{s_1,...,s_n\}</math> בסיס כלשהו למרחב V ותהי <math>G_S</math> מטריצת הגראם של S. הוכיחו כי:
::<math>|G_S|\leq ||s_1||^2\cdot ||s_2||^2\cdots ||s_n||^2</math>
'''פתרון:'''
א. ניקח בסיס אורתונורמלי כלשהו <math>\{u_1,...,u_k\}</math> לתת המרחב U
<math>\sum_{i=1}^n||\pi_U(v_i)||^2=\sum_{i=1}^n<\pi_U(v_i),\pi_U(v_i)>=\sum_{i=1}^n\Big(<\sum_{j=1}^k<v_i,u_j>u_j,\sum_{j=1}^k<v_i,u_j>u_j>\Big)=</math>
<math>=\sum_{i=1}^n\Big(\sum_{j=1}^k<v_i,u_j>\overline{<v_i,u_j>}\Big)=\sum_{j=1}^k\Big(\sum_{i=1}^n\overline{<u_j,v_i>}<u_j,v_i>>\Big)=</math>
<math>=\sum_{j=1}^k\Big(<\sum_{i=1}^n<u_j,v_i>v_i,\sum_{i=1}^n<u_j,v_i>v_i>\Big)=\sum_{j=1}^k||\pi_V(u_j)||^2</math>
אבל <math>\pi_V(u_j)=u_j</math> וכיוון שזה בסיס אורתונורמלי אורך כל איברי הבסיס הוא אחד, ולכן הסכום לעיל שווה בדיוק k.
ב.
ראשית, נפעיל אלגוריתם גרם-שמידט על מנת לקבל בסיס אורתוגונלי <math>W=\{w_1,...,w_n\}</math>, כלומר נשתמש בנוסחאת הנסיגה:
::<math>w_1=s_1</math>
::<math>w_i=s_i-\sum_{j=1}^{i-1}\frac{<s_i,w_j>}{<w_j,w_j>}w_j</math>
לכן קל לראות כי מטריצת המעבר בין הבסיסים <math>[I]^W_S</math> הינה מטריצה משולשית עליונה עם אחדות על האלכסון ולכן <math>|[I]^W_S|=1</math>
לפי נוסחאת המעבר בין מטריצות גראם אנו מקבלים כי
::<math>G_S=\Big([I]^W_S\Big)^tG_W\overline{[I]^W_S}</math>
ולכן
::<math>|G_S|=|G_W|</math>
אבל W בסיס אורתוגונלי ולכן <math>|G_W|=||w_1||^2\cdots ||w_n||^2</math>
ולכן כל שנותר להראות הוא כי <math>||w_i||\leq ||s_i||</math>
אכן, כפי שראינו בתרגיל קודם, אם מחסירים מוקטור היטלים שלו על תתי מרחבים, הנורמה קטנה.
===3===
יהי V מרחב מכפלה פנימית ויהיו <math>U,W\subseteq V</math> תתי מרחבים כך ש <math>\dim{U}=m, \dim{W}=k</math>
א. הוכיחו כי <math><v,u>=<\pi_U(v),u></math> לכל <math>u\in U, v\in V</math>
ב. נגדיר אופרטור <math>P_U:U\rightarrow U</math> ע"י <math>P_U(u)=\pi_U(\pi_W(u))</math>.
הוכיחו כי לכל שני וקטורים <math>u_1,u_2\in U</math> מתקיים <math><P_U(u_1),u_2>=<u_1,P_U(u_2)></math>
'''פתרון:'''
א. כפי שראינו בהגדרה השנייה, <math>\Big(v-\pi_U(v)\Big)\in U^\perp</math> ולכן
::<math><v-\pi_U(v),u>=0</math>
נשתמש בלינארית ברכיב ראשון ונעביר אגף על מנת לקבל
::<math><v,u>=<\pi_U(v),u></math>
ב.
::<math><P_U(u_1),u_2>=<\pi_U(\pi_W(u_1)),u_2></math>
כיוון ש <math>u_2\in U</math> לפי סעיף א' מתקיים:
::<math><\pi_U(\pi_W(u_1)),u_2>=<\pi_W(u_1),u_2></math>
אבל <math>\pi_W(u_1)\in W</math> ולכן
::<math><\pi_W(u_1),u_2>=<\pi_W(u_1),\pi_W(u_2)>= <u_1,\pi_W(u_2)></math>
שוב, כיוון ש<math>u_1\in U</math> מתקיים
::<math><u_1,\pi_W(u_2)>=<u_1,\pi_U(\pi_W(u_2))>=<u_1,P_U(u_2)></math>
