שינויים
היטל
,/* 2 */
===1===
יהי V מרחב מכפלה פנימית ויהי W תת מרחב. הוכיחו כי לכל <math>v\in V</math>
::<math>||v-\pi_W(v)||\leq ||v||</math>
'''פתרון:'''
ניקח בסיס אורתוגונלי <math>\{w_1,...,w_k\}</math> למרחב W, ונשלים אותו לבסיס אורתוגונלי <math>\{w_1,...,w_n\}</math> למרחב כולו.
אזי
::<math>||v-\pi_W(v)||^2=||\sum_{i=k+1}^n\frac{<v,w_i>}{<w_i,w_i>}w_i||^2=\sum_{i=k+1}^n|<v,w_i>|^2\leq \sum_{i=1}^n|<v,w_i>|^2=||v||^2</math>
===2===
יהי V מרחב מכפלה פנימית מעל <math>\mathbb{C}</math> ממימד n ויהי <math>U\subseteq V</math> תת מרחב ממימד k
<math>\sum_{i=1}^n||\pi_U(v_i)||^2=\sum_{i=1}^n<\pi_U(v_i),\pi_U(v_i)>=\sum_{i=1}^n\Big(<\sum_{j=1}^k<v_i,u_j>u_j,\sum_{j=1}^k<v_i,u_j>u_j>\Big)=</math>
<math>=\sum_{i=1}^n\Big(\sum_{j=1}^k<<v_i,u_j>,\overline{<v_i,u_j>>}\Big)=\sum_{j=1}^k\Big(\sum_{i=1}^n<\overline{<u_j,v_i>,}<u_j,v_i>>\Big)=</math>
<math>=\sum_{j=1}^k\Big(<\sum_{i=1}^n<u_j,v_i>v_i,\sum_{i=1}^n<u_j,v_i>v_i>\Big)=\sum_{j=1}^k||\pi_V(u_j)||^2</math>
אכן, כפי שראינו בתרגיל קודם, אם מחסירים מוקטור היטלים שלו על תתי מרחבים, הנורמה קטנה.
===23===
יהי V מרחב מכפלה פנימית ויהיו <math>U,W\subseteq V</math> תתי מרחבים כך ש <math>\dim{U}=m, \dim{W}=k</math>
א. הוכיחו כי <math><v,u>=<\pi_U(v),u></math> לכל <math>u\in YU, v\in V</math>
הוכיחו כי לכל שני וקטורים <math>u_1,u_2\in U</math> מתקיים <math><P_U(u_1),u_2>=<u_1,P_U(u_2)></math>
'''פתרון:'''
א. כפי שראינו בהגדרה השנייה, <math>\Big(v-\pi_U(v)\Big)\in U^\perp</math> ולכן
::<math><v-\pi_U(v),u>=0</math>
נשתמש בלינארית ברכיב ראשון ונעביר אגף על מנת לקבל
::<math><v,u>=<\pi_U(v),u></math>
ב.
::<math><P_U(u_1),u_2>=<\pi_U(\pi_W(u_1)),u_2></math>
כיוון ש <math>u_2\in U</math> לפי סעיף א' מתקיים:
::<math><\pi_U(\pi_W(u_1)),u_2>=<\pi_W(u_1),u_2></math>
אבל <math>\pi_W(u_1)\in W</math> ולכן
::<math><\pi_W(u_1),u_2>=<\pi_W(u_1),\pi_W(u_2)>= <u_1,\pi_W(u_2)></math>
שוב, כיוון ש<math>u_1\in U</math> מתקיים
::<math><u_1,\pi_W(u_2)>=<u_1,\pi_U(\pi_W(u_2))>=<u_1,P_U(u_2)></math>
