הבדלים בין גרסאות בדף "88-230 אינפי 3 סמסטר א תשעד הוכחות למשפטים למבחן"
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) |
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) (←משפט) |
||
שורה 72: | שורה 72: | ||
===משפט=== | ===משפט=== | ||
<math>d^rf_a(h)=\sum_{|\alpha| =r} \frac{r!}{\alpha!}D^{\alpha}f(a)\cdot h^\alpha</math> | <math>d^rf_a(h)=\sum_{|\alpha| =r} \frac{r!}{\alpha!}D^{\alpha}f(a)\cdot h^\alpha</math> | ||
+ | |||
+ | (הרצאה 12) | ||
+ | |||
+ | כך ש- | ||
+ | |||
+ | <math>\alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n)</math> מולטי אינדקס | ||
+ | |||
+ | <math>|\alpha|=\sum_{i=1}^n |\alpha_i|</math> | ||
+ | |||
+ | <math>\alpha! = \alpha_1!\cdot ... \cdot \alpha_n!</math> | ||
+ | |||
+ | <math>h^\alpha = h_1^{\alpha_1}\cdot ... \cdot h_n^{\alpha_n}</math> | ||
+ | |||
+ | <math>D^\alpha f = \frac{\partial^{|\alpha|} f} {\partial x_1^{\alpha_1} ... \partial x_n^{\alpha_n} }</math> | ||
==תנאי מספיק לדיפרנציאביליות לפי רציפות נגזרות חלקיות== | ==תנאי מספיק לדיפרנציאביליות לפי רציפות נגזרות חלקיות== |
גרסה מ־12:57, 30 בינואר 2014
תוכן עניינים
משפט קנטור על רציפות במ"ש
המשפט
תהי כך ש- קבוצה קומפקטית ו- רציפה ב- , אזי f רציפה במ"ש ב-K. (הרצאה 6)
הוכחה
נניח בשלילה ש-f לא רבמ"ש ב-K. אז מתקיים ש-
.
זה מתקיים לכל דלתא, אז נגדיר סדרה של דלתות באופן הבא: , ולכל נסמן את בהתאם: .
לכן לכל k מתקיים:
כיוון שכל הנקודות ב-K, שהיא קבוצה קומפקטית, מתקיימת למת בולצאנו ווירשטראס. כלומר קיימת תת סדרה שמתכנסת לנקודה שגם היא ב-K (כיוון ש-K סגורה).
נשים לב ש- . מתוך הנתון ש- f רציפה ב- נקבל ש- אך אם כך, בסתירה לכך שקיים אפסילון כך ש- . משל
היחס בין הדיפרנציאל לנגזרות החלקיות
צריך לדעת את 3 הדברים שבחלק זה (המשפטים בהרצאה 7 והדוגמה לקוחה מהתרגול)
משפט 1
תהי כך ש- ותהי כך ש- f דיפ' ב-a. אזי לכל קיימת נגזרת חלקית והיא שווה ל-
(הערה: משפט זה הוא מקרה פרטי למשפט שהוכחנו בהמשך באופן דומה. המשפט אומר ש- כך ש- זוהי הנגזרת הכיוונית לפי וקטור h.)
הוכחה 1
כך ש- .
לכן,
כיוון ש- והדיפרנציאל הוא אופרטור לינארי, מקבלים ש-
נשים לב שהגורם האחרון שואף ל-0 כש- t שואף ל-0, ולכן נקבל:
אך אגף שמאל, עפ"י הגדרה, זה וקיבלנו את מה שרצינו.
משפט 2
תהי כך ש- ותהי כך ש- f דיפ' ב-a, אזי מתקיים:
הוכחה 2
יהי אז . מתוך העובדה שהדיפרנציאל הוא אופרטור לינארי וממשפט 1,
דוגמה בה כל הנגזרות החלקיות קיימות אבל הפונקציה לא דיפרנציאבילית
הפונקציה אפילו לא רציפה ב-0! (ניקח מסלולים y=kx ונקבל גבולות שונים)
אך הנגזרות החלקיות קיימות:
ובאופן דומה לנגזרת החלקית לפי y
מהגדרה של דיפרנציאל מסדר r לנוסחה עם נגזרות חלקיות
הגדרה
תהי כך ש- U קבוצה פתוחה ומוכלת ב- .
יהי . נגדיר , אז מתקיים ש- גזירה r פעמים ב-0.
לכן ניתן להגדיר:
משפט
(הרצאה 12)
כך ש-
מולטי אינדקס
תנאי מספיק לדיפרנציאביליות לפי רציפות נגזרות חלקיות
המשפט
תהי ותהי נקודה
נניח ש-
1. עבור דלתא מספר קטן קיימות
2. כל הנגזרות החלקיות רציפות בכדור הזה.
אזי f דיפ' ב-a. (הרצאה 9)
הוכחה
עבור n=2: