[[88-230 אינפי 3 סמסטר א תשעד]]
==משפט קנטור על רציפות במ"ש==
===המשפט===
==היחס בין הדיפרנציאל לנגזרות החלקיות==
הערה: יש 2 משפטים שאני לא בטוח לאיזה אחד מהם הוא מתכוון, וצריך לשאול אותו. צריך לדעת את 3 הדברים שבחלק זה (שניהם המשפטים בהרצאה 7והדוגמה לקוחה מהתרגול)
===משפט 1===
תהי <math>f:\Omega\to\mathbb{R}^m</math> כך ש- <math>\Omega \subseteq \mathbb{R}^n</math> ותהי <math>a \in \operatorname{int} \Omega</math> כך ש- f דיפ' ב-a. אזי לכל <math>1\leq j \leq n</math> קיימת נגזרת חלקית <math>\frac{\partial f}{\partial x_j} (a) </math> והיא שווה ל- <math>df_a (e_j)</math>
(הערה: משפט זה הוא מקרה פרטי למשפט שהוכחנו בהמשך באופן דומה. המשפט אומר ש- <math>\partial_h f (a)=df_a (h)</math> כך ש- <math>\partial_h f(a) := \lim_{t\to 0} \frac{f(a+th)-f(a)}{t}</math> זוהי הנגזרת הכיוונית לפי וקטור h.)
===הוכחה 1===
<math>f(a+h)=f(a)+df_a(h)+\epsilon(h)||h||</math> כך ש- <math>\lim_{h\to 0}\epsilon(h)=0</math>.
לכן,
<math>f(a+t\cdot e_j)-f(a)=df_a(t\cdot e_j)+\epsilon (t\cdot e_j)\cdot |t|\cdot ||e_j||</math>
כיוון ש- <math>||e_j||=1</math> והדיפרנציאל הוא אופרטור לינארי, מקבלים ש-
<math>\frac{f(a+t\cdot e_j)-f(a)}{t}=df_a(e_j)+\frac{|t|}{t}\epsilon(t\cdot e_j)</math>
נשים לב שהגורם האחרון שואף ל-0 כש- t שואף ל-0, ולכן נקבל:
<math>\lim_{t\to 0} \frac{f(a+t\cdot e_j)-f(a)}{t} = df_a(e_j)</math> אך אגף שמאל, עפ"י הגדרה, זה <math>\frac{\partial f}{\partial x_j} (a)</math> וקיבלנו את מה שרצינו.
===משפט 2===
<math>\forall h \in \mathbb{R}^n :df_a(h)= \sum_{j=1}^n (\frac{\partial f}{\partial x_j} (a) \cdot h_j)</math>
===הוכחה 2===
יהי <math>h\in \mathbb{R}^n</math> אז <math>h=(h_1,h_2,...,h_n)=h_1\vec{e_1}+...+h_n\vec{e_n}=\sum_{j=1}^n h_j\vec{e_j}</math>. מתוך העובדה שהדיפרנציאל הוא אופרטור לינארי וממשפט 1,
<math>df_a(h)=h_1 df_a(e_1)+...+h_n df_a(e_n)=h_1\frac{\partial f}{\partial x_1}(a)+...+h_n\frac{\partial f}{\partial x_n}(a)=\sum_{j=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_j}(a)\cdot h_j</math>
===דוגמה בה כל הנגזרות החלקיות קיימות אבל הפונקציה לא דיפרנציאבילית===
<math>f(x,y)=\begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2}\ \text{if}\ (x,y)\neq(0,0) \\ 0\ \text{if}\ x=y=0 \end{cases}</math>
הפונקציה אפילו לא רציפה ב-0! (ניקח מסלולים y=kx ונקבל גבולות שונים)
אך הנגזרות החלקיות קיימות:
<math>\frac{\partial f}{\partial x} (0,0) = \lim_{t\to 0} \frac{f(0+t,0)-f(0,0)}{t}=\lim_{t\to 0} 0 = 0</math>
ובאופן דומה לנגזרת החלקית לפי y
==מהגדרה של דיפרנציאל מסדר r לנוסחה עם נגזרות חלקיות==
===הגדרה===
תהי <math>f \in C^r(U)</math> כך ש- U קבוצה פתוחה ומוכלת ב- <math>\mathbb{R}^n</math>.
יהי <math>h \in \mathbb{R}^n</math>. נגדיר <math>\varphi(t)=f(a+th)</math>, אז מתקיים ש- <math>\varphi</math> גזירה r פעמים ב-0.
לכן ניתן להגדיר: <math>d^rf_a(h):=\varphi^{(r)}(0)</math>
===משפט===
<math>d^rf_a(h)=\sum_{|\alpha| =r} \frac{r!}{\alpha!}D^{\alpha}f(a)\cdot h^\alpha</math>
(הרצאה 12)
כך ש-
<math>\alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n)</math> מולטי אינדקס
<math>|\alpha|=\sum_{i=1}^n |\alpha_i|</math>
<math>\alpha! = \alpha_1!\cdot ... \cdot \alpha_n!</math>
<math>h^\alpha = h_1^{\alpha_1}\cdot ... \cdot h_n^{\alpha_n}</math>
<math>D^\alpha f = \frac{\partial^{|\alpha|} f} {\partial x_1^{\alpha_1} ... \partial x_n^{\alpha_n} }</math>
===הוכחה===
[[מדיה:ProofTheorem3AdvancedCalc2014.docx | להורדת ההוכחה]]
==תנאי מספיק לדיפרנציאביליות לפי רציפות נגזרות חלקיות==
===המשפט===
תהי <math>f:\Omega \to \mathbb{R}^m</math> ותהי נקודה <math>a\in \operatorname{int} \Omega</math>
נניח ש-
1. עבור דלתא מספר קטן קיימות <math>\forall_{1\leq i \leq n}\forall x \in B(a,\delta):\frac{\partial f}{\partial x_i} (x)</math>
2. כל הנגזרות החלקיות רציפות בכדור הזה.
אזי f דיפ' ב-a. (הרצאה 9)
==תנאי מספיק לקיצון מקומי עפ"י הדיפרנציאל השני==
===המשפט===
תהי <math>f:U\to \mathbb{R}</math> כך ש-U קבוצה פתוחה שמוכלת ב- <math>\mathbb{R}^n</math> ו- <math>f\in C^2(U)</math>.
תהי <math>a \in U</math> נק' קריטית של f (כלומר <math>\nabla f(a)=0</math>) אזי:
1. אם <math>d^2f_a>0</math> אז a מינימום מקומית ממש
2. אם <math>d^2f_a<0</math> אז a מקסימום מקומית ממש
3. אם <math>d^2f_a</math> לא שומרת סימן אז a לא קיצון.
(הרצאה 15)
==משפט פונקציה סתומה - משוואה אחת==
===משפט===
תהי <math>W \subseteq \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}</math> קבוצה פתוחה ותהי <math>F:W\to \mathbb R</math> כך ש- <math>F \in C^r (W)</math>
נתונה הנקודה <math>(a,b)</math> כך ש-
1. <math>F(a,b)=0</math>
2. <math>\frac{\partial f}{\partial y} (a,b)\neq 0</math> (כאשר y זה המשתנה ה- n+1)
אזי קיימות סביבות <math>a \in U , b \in V</math> כך ש- <math>\forall_{x \in U} \exists!_{y \in V} : F(x,y)=0</math>.
כלומר קיימת פונקציה <math>\varphi:U\to V</math> כך ש- <math>F(x,\varphi(x))=0</math>. בנוסף <math>\varphi \in C^r(U)</math>
(הרצאה 16)
==משפט פונקציה סתומה - מקרה כללי==
===משפט===
==תנאי הכרחי לקיצון עם אילוצים==
===משפט===
==קריטריון רימן לאינטגרביליות==
===משפט===
תהי <math>f:P\to \mathbb{R}</math> כך ש- <math>\exists C \forall x \in P: ||f(x)||\leq C</math>, אזי <math>f \in \mathcal{R}(P)</math> (אינטגרבילית לפי רימן) אם ורק אם
<math>\forall \epsilon>0 \exists \mathcal{P} : 0\leq \bar{S}(f,\mathcal{P})-\underline{S}(f,\mathcal{P}) < \epsilon</math>
כלומר לכל אפסילון קיימת חלוקה כך שההפרש בין הסכומים העליוניים לתחתוניים קטן מאפסילון.
(הרצאה 21)
===הוכחה===
'''משמאל לימין:'''
יהי <math>\epsilon>0</math> אזי קיימת חלוקה <math>\mathcal{P}</math> כך ש- <math> 0\leq \bar{S}(f,\mathcal{P})-\underline{S}(f,\mathcal{P})< \epsilon</math>. כלומר <math> 0\leq \bar{S}(f,\mathcal{P})<\underline{S}(f,\mathcal{P})+ \epsilon</math> ומכאן ש- <math>\bar{I}(f)=\operatorname{inf}_{\mathcal Q} \bar{S}(f, \mathcal Q) < \underline{S}(f,\mathcal{P})+ \epsilon</math>
אז <math>\bar{I}(f)-\epsilon<\underline{S}(f,\mathcal{P})\leq \operatorname{sup}_{\mathcal Q} \underline{S}(f,\mathcal{Q}) = \underline{I}(f)</math> ולכן <math>\overline{I}(f)-\underline{I}(f)<\epsilon</math> לכל אפסילון גדול מ-0. לכן <math>\overline{I}(f)-\underline{I}(f)=0</math> ואז <math>\overline{I}(f)=\underline{I}(f)</math>. אז <math>f \in \mathcal{R} (P)</math>
'''מימין לשמאל:'''
נניח <math>f \in \mathcal{R} (P)</math> אז <math>\overline{I}(f)=\operatorname{inf}_{\mathcal Q} \bar{S}(f, \mathcal Q)=\operatorname{sup}_{\mathcal Q} \underline{S}(f,\mathcal{Q}) =\underline{I}(f)=I(f)</math>
יהי אפסילון גדול מ-0
אז
<math>\exists \mathcal Q : I(f)-\frac\epsilon2 < \underline{S}(f,\mathcal{Q})\leq I(f)</math>
<math>\exists \mathcal P : I(f)+\frac\epsilon2 > \bar S(f,\mathcal{P})\geq I(f)</math>
לכן קיימות חלוקות <math>\mathcal {P , Q}</math> כך ש-
<math>I(f)-\frac\epsilon2 < \underline{S}(f,\mathcal{Q}) \leq \bar S(f,\mathcal{P}) < I(f)+\frac\epsilon2 </math>
נגדיר <math>\mathcal T := \mathcal P \cap \mathcal Q</math> (לא מצאתי דרך לבטא את החיתוך עם העיגול מעל. זה הכוונה פה)
<math>I(f)-\frac\epsilon2 < \underline{S}(f,\mathcal{Q})\leq\underline{S}(f,\mathcal{T})\leq \bar S(f,\mathcal{T})\leq \bar S(f,\mathcal{P}) < I(f)+\frac\epsilon2</math>
<math>\bar S(f,\mathcal{T}) -\underline{S}(f,\mathcal{T}) < I(f)+\frac\epsilon2-(I(f)-\frac\epsilon2)=\epsilon </math>
משל