|
|
(13 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) |
שורה 1: |
שורה 1: |
− | *[[משתמש:איתמר שטיין/הסבר הופכי|הסבר על חישוב הופכי ב <math>\mathbb{Z}_p</math>]]
| + | לפעמים אני מתיימר לטעון שאני דוקטורנט למתמטיקה. |
| | | |
| | | |
− | ==שאלה 5==
| + | לפעמים אני טוען שאני לומד הצגות של מונואידים. (ההוכחה בנפנופי ידיים) |
− | | + | |
− | ===סעיף א===
| + | |
− | | + | |
− | כמו תמיד בחישוב אינטגרל של ערך מוחלט, צריך לפצל לתחום שבו הפונקציה חיובית ותחום שבו היא שלילית.
| + | |
− | | + | |
− | במקרה שלנו <math>\cos(\theta)</math> היא חיובית כאשר <math>0\leq\theta \leq \frac{\pi}{2}</math> וכאשר
| + | |
− | <math>\frac{3\pi}{2} \leq\theta \leq 2\pi </math>
| + | |
− | ושלילית כאשר <math>\frac{\pi}{2}\leq\theta \leq \frac{3\pi}{2}</math>
| + | |
− | | + | |
− | כלומר
| + | |
− | | + | |
− | <math>\int _0 ^\pi \, \int_0^\pi \, |\cos(x+y)| \mathrm{d}x\mathrm{d}y
| + | |
− | = \iint \limits_{0\leq x+y \leq \frac{\pi}{2}} \, \cos(x+y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y
| + | |
− | -\iint \limits_{\frac{\pi}{2}\leq x+y \leq \frac{3\pi}{2}} \, \cos(x+y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y
| + | |
− | +\iint \limits_{\frac{3\pi}{2}\leq x+y \leq 2\pi } \, \cos(x+y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y</math>
| + | |
− | | + | |
− | האינטגרל הראשון הוא:
| + | |
− | | + | |
− | <math> \iint \limits_{0\leq x+y \leq \frac{\pi}{2}} \, \cos(x+y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y
| + | |
− | = \int _0 ^\frac{\pi}{2} \, \int_0^{\frac{\pi}{2}-x} \, \cos(x+y) \mathrm{d}y \mathrm{d}x
| + | |
− | = \int _0 ^\frac{\pi}{2} \, \sin(x+y) \mid_0^{\frac{\pi}{2}-x} \mathrm{d}x
| + | |
− | </math>
| + | |
− | | + | |
− | <math>= \int _0 ^\frac{\pi}{2} \, 1 - \sin(x) \mathrm{d}x
| + | |
− | = x+\cos(x) \mid_0 ^\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} - 1</math>
| + | |
− | | + | |
− | באופן דומה האינטגרל השלישי הוא:
| + | |
− | | + | |
− | <math> \iint \limits_{\frac{3\pi}{2}\leq x+y \leq 2\pi } \, \cos(x+y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y
| + | |
− | = \int _\frac{\pi}{2} ^{\pi} \, \int_{\frac{3\pi}{2}-x}^{\pi} \, \cos(x+y) \mathrm{d}y\mathrm{d}x
| + | |
− | = \int _\frac{\pi}{2} ^{\pi} \, \sin(x+y) \mid_{\frac{3\pi}{2}-x}^{\pi} \mathrm{d}x
| + | |
− | </math>
| + | |
− | | + | |
− | <math>
| + | |
− | = \int _\frac{\pi}{2} ^{\pi} \, \sin(x+\pi) +1 \mathrm{d}x = -\cos(x+\pi)+x \mid_\frac{\pi}{2} ^{\pi} = -1+\pi - \frac{\pi}{2}
| + | |
− | = -1+ \frac{\pi}{2}
| + | |
− | </math>
| + | |
− | | + | |
− | את האינטגרל השני צריך לפצל
| + | |
− | | + | |
− | <math>
| + | |
− | \iint \limits_{\frac{\pi}{2}\leq x+y \leq \frac{3\pi}{2}} \, \cos(x+y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y
| + | |
− | =
| + | |
− | \int _0 ^{\frac{\pi}{2}} \, \int_{\frac{\pi}{2}-x}^{\pi} \, \cos(x+y) \mathrm{d}y\mathrm{d}x+
| + | |
− | \int _\frac{\pi}{2} ^{\pi} \, \int_0^{\frac{3\pi}{2}-x} \, \cos(x+y) \mathrm{d}y\mathrm{d}x
| + | |
− | </math>
| + | |
− | | + | |
− | <math>
| + | |
− | =
| + | |
− | \int _0 ^{\frac{\pi}{2}} \, \sin(x+y) \mid_{\frac{\pi}{2}-x}^{\pi} \mathrm{d}x+
| + | |
− | \int _\frac{\pi}{2} ^{\pi} \, \sin(x+y) \mid_0^{\frac{3\pi}{2}-x} \mathrm{d}x
| + | |
− | =
| + | |
− | \int _0 ^{\frac{\pi}{2}} \, \sin(x+\pi) - 1 \mathrm{d}x
| + | |
− | \int _\frac{\pi}{2} ^{\pi} \, -1 -\sin(x) \mathrm{d}x
| + | |
− | </math>
| + | |
− | | + | |
− | <math>
| + | |
− | =
| + | |
− | -\cos(x+\pi) - x \mid_0 ^{\frac{\pi}{2}}+
| + | |
− | -x +\cos(x) \mid_\frac{\pi}{2} ^{\pi}
| + | |
− | =
| + | |
− | -\frac{\pi}{2}-1 -\pi -1 + \frac{\pi}{2} = -2-\pi
| + | |
− | </math>
| + | |
− | | + | |
− | לכן הפתרון בסך הכל הוא:
| + | |
− | | + | |
− | <math>\frac{\pi}{2}-1 +2+\pi +\frac{\pi}{2}-1=2\pi</math>
| + | |
לפעמים אני מתיימר לטעון שאני דוקטורנט למתמטיקה.