|
|
| (52 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) |
| שורה 1: |
שורה 1: |
| *[[משתמש:איתמר שטיין/הסבר הופכי|הסבר על חישוב הופכי ב <math>\mathbb{Z}_p</math>]]
| | לפעמים אני מתיימר לטעון שאני דוקטורנט למתמטיקה. |
|
| |
|
|
| |
|
| ==שאלה 1==
| | לפעמים אני טוען שאני לומד הצגות של מונואידים. (ההוכחה בנפנופי ידיים) |
| | |
| * סעיף ב
| |
| | |
| ידוע כי
| |
| <math>\liminf_{n\rightarrow \infty}(a_n \cdot n)>0</math>
| |
| | |
| נניח ש
| |
| | |
| <math>\liminf_{n\rightarrow \infty}(a_n \cdot n)=c>0</math>
| |
| | |
| | |
| נסמן <math>b_n=a_n\cdot n</math>
| |
| | |
| כלומר
| |
| | |
| <math>\liminf_{n\rightarrow \infty}b_n=c>0</math>
| |
| | |
| | |
| | |
| טענת עזר: קיים <math>N</math> כך שאם <math>n>N</math> אז <math>b_n>\frac{c}{2}</math>
| |
| | |
| (במילים אחרות: יש רק מספר סופי של איברים ב <math>b_n</math> שיותר קטנים מ <math>\frac{c}{2}</math>)
| |
| | |
| הוכחה: נניח בשלילה שזה לא נכון, כלומר קיימים אינסוף איברים מ <math>b_n</math> שעבורם <math>b_n\leq \frac{c}{2}</math>
| |
| | |
| אז קיימת תת סדרה <math>b_{n_k}</math> כך ש <math>b_{n_k}\leq \frac{c}{2}</math> לכל <math>k\in \mathbb{N}</math>
| |
| | |
| נשים לב ש <math>b_n</math> היא חסומה מלרע ולכן <math>b_{n_k}</math> חסומה גם מלעיל וגם מלרע.
| |
| | |
| לכן ל <math>b_{n_k}</math> יש תת סדרה מתכנסת <math>b_{n_{k_l}}</math> כך ש
| |
| | |
| <math>\lim_{l\rightarrow\infty}b_{n_{k_l}}\leq \frac {c}{2}</math>
| |
| | |
| וזאת בסתירה לכך ש <math>\liminf_{n\rightarrow \infty}b_n=c>\frac{c}{2}</math>
| |
| | |
| זה מוכיח את טענת העזר.
| |
| | |
| כעת, אנחנו יודעים שהחל מ <math>N\in \mathbb{N}</math> כלשהוא מתקיים
| |
| | |
| <math>b_n>\frac{c}{2}</math>
| |
| | |
| אבל בגלל ש <math>b_n=a_n\cdot n</math> זה אומר שהחל מאותו <math>N\in \mathbb{N}</math> מתקיים
| |
| | |
| <math>a_n > \frac{c}{2} \frac{1}{n}</math>
| |
| | |
| בגלל שהטור
| |
| <math>\ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}</math>
| |
| מתבדר
| |
| | |
| נובע ממבחן ההשוואה לטורים חיוביים שגם הטור <math>\ \sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתבדר.
| |
| | |
| ==שאלה 2==
| |
| | |
| ===סעיף א===
| |
| | |
| טענת עזר: אם <math>A,B</math> קבוצות חסומות מלעיל אז
| |
| | |
| | |
| <math>\sup(A+B)=\sup(A)+\sup(B)</math>
| |
| | |
| | |
| הוכחה: נוכיח שהמספר <math>\sup(A)+\sup(B)</math> מקיים את התכונות של <math>\sup(A+B)</math>
| |
