|
|
(49 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) |
שורה 1: |
שורה 1: |
− | *[[משתמש:איתמר שטיין/הסבר הופכי|הסבר על חישוב הופכי ב <math>\mathbb{Z}_p</math>]]
| + | לפעמים אני מתיימר לטעון שאני דוקטורנט למתמטיקה. |
| | | |
| | | |
− | ==שאלה 2==
| + | לפעמים אני טוען שאני לומד הצגות של מונואידים. (ההוכחה בנפנופי ידיים) |
− | | + | |
− | ===סעיף א===
| + | |
− | | + | |
− | טענת עזר: אם <math>A,B</math> קבוצות חסומות מלעיל אז
| + | |
− | | + | |
− | | + | |
− | <math>\sup(A+B)=\sup(A)+\sup(B)</math>
| + | |
− | | + | |
− | | + | |
− | הוכחה: נוכיח שהמספר <math>\sup(A)+\sup(B)</math> מקיים את התכונות של <math>\sup(A+B)</math>
| + | |
− | | + | |
− | * תכונה א': חסם מלעיל של <math>A+B</math>. הוכחה:
| + | |
− | | + | |
− | | + | |
− | אם <math>x\in A+B</math> אז ניתן לכתוב <math>x=a+b</math> כאשר <math>a\in A, b\in B</math>.
| + | |
− | | + | |
− | היות ו <math>a\leq \sup(A)</math> ו <math>b\leq \sup(B)</math> מתקיים
| + | |
− | | + | |
− | <math>x=a+b\leq \sup(A)+\sup(B)</math>
| + | |
− | | + | |
− | | + | |
− | * תכונה ב': החסם המלעיל הכי קטן. הוכחה:
| + | |
− | | + | |
− | יהי <math>y</math> איזשהוא חסם מלעיל של <math>A+B</math>
| + | |
− | | + | |
− | נניח בשלילה ש <math>y<\sup(A)+\sup(B)</math>
| + | |
− | | + | |
− | אז נקבל ש <math>y-\sup(B)<\sup(A)</math>
| + | |
− | | + | |
− | ולכן קיים <math>a\in A</math> כך ש <math>y-\sup(B)<a</math>
| + | |
− | | + | |
− | מכאן נקבל <math>y-a<\sup(B)</math>
| + | |
− | | + | |
− | ולכן קיים <math>b\in B</math> כך ש <math>y-a<b</math>
| + | |
− | | + | |
− | ולכן <math>y<a+b\in A+B</math>
| + | |
− | | + | |
− | בסתירה לכך ש <math>y</math> חסם מלעיל של <math>A+B</math>
| + | |
− | | + | |
− | לכן בהכרח מתקיים <math>\sup(A)+\sup(B)\leq y</math>
| + | |
− | | + | |
− | לסיכום: הוכחנו שהמספר <math>\sup(A)+\sup(B)</math> מקיים את שתי התכונות של חסם עליון
| + | |
− | | + | |
− | ולכן <math>\sup(A+B)=\sup(A)+\sup(B)</math>. מש"ל טענת עזר.
| + | |
− | | + | |
− | עכשיו קל להוכיח את הדרוש:
| + | |
− | | + | |
− | <math>\sup(A+B+C)=\sup(A+B)+\sup(C)=\sup(A)+\sup(B)+\sup(C)</math>
| + | |
− | | + | |
− | מש"ל.
| + | |
− | | + | |
− | ===סעיף ב===
| + | |
− | | + | |
− | הפרכה פשוטה, ניקח <math>a_n=-\frac{1}{n}</math> ו <math>b_n=\frac{1}{n}</math>
| + | |
− | | + | |
− | מתקיים שלכל <math>n\in \mathbb{N}</math>
| + | |
− | <math>a_n<b_n</math>
| + | |
− | (ולכן בוודאי שזה מקיים כמעט לכל <math>n\in \mathbb{N}</math>).
| + | |
− | | + | |
− | אבל
| + | |
− | | + | |
− | <math>\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=\lim_{n\rightarrow \infty}b_n=0</math>
| + | |
− | | + | |
− | | + | |
− | שתי הערות:
| + | |
− | א) כמעט לכל <math>n</math> פירושו: לכל <math>n</math> פרט למספר סופי של מקרים.
| + | |
− | | + | |
− | אן לחילופין: קיים <math>N\in \mathbb{N}</math> כך שהטענה מתקיימת לכל <math>n>N</math>.
| + | |
− | | + | |
− | ב) כמובן שהטענה הבאה נכונה
| + | |
− | | + | |
− | אם <math>a_n\leq b_n</math> ו
| + | |
− | | + | |
− | <math>\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=a,\quad \lim_{n\rightarrow \infty}b_n=b</math>
| + | |
− | | + | |
− | אז
| + | |
− | | + | |
− | <math>a\leq b</math>.
| + | |
לפעמים אני מתיימר לטעון שאני דוקטורנט למתמטיקה.