הבדלים בין גרסאות בדף "כלל לופיטל"
(←מקרה שני 0\cdot \infty) |
|||
שורה 1: | שורה 1: | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | = | + | =כלל לופיטל= |
תהיינה שתי פונקציות f,g. ותהי נקודה <math>x_0\in\mathbb{R}</math> או <math>x_0=\pm\infty</math> כך ש | תהיינה שתי פונקציות f,g. ותהי נקודה <math>x_0\in\mathbb{R}</math> או <math>x_0=\pm\infty</math> כך ש | ||
שורה 94: | שורה 81: | ||
== מקרה שלישי <math>0^0</math> או <math>1^\infty</math> או <math>\infty^0</math>== | == מקרה שלישי <math>0^0</math> או <math>1^\infty</math> או <math>\infty^0</math>== | ||
+ | במקרה זה עלינו לחשב את הגבול <math>\lim_{x\rightarrow x_0}f^g</math>. | ||
+ | |||
+ | כאשר <math>L=M=0</math> '''או''' <math>L=1,M=\infty</math> '''או''' <math>L=\infty, M=0</math>. | ||
+ | |||
+ | בכל אחד מהמקרים נשתמש בדרך הבאה- | ||
+ | |||
+ | ראשית נבחין כי <math>f^g = e^{ln(f^g)} = e^{gln(f)}</math>, | ||
+ | |||
+ | שנית, נחשב את הגבול <math>K=\lim_{x\rightarrow x_0}gln(f)</math>. | ||
+ | |||
+ | לבסוף, קיבלנו כי מתקיים | ||
+ | |||
+ | :<math>\lim_{x\rightarrow x_0}f^g=e^K</math> | ||
+ | |||
+ | ===דוגמא 6=== | ||
+ | |||
+ | |||
+ | =משפט לופיטל והוכחתו= | ||
+ | נניח כי <math>\lim_{x\to a^+}f(x)=\lim_{x\to a^+}g(x)=0</math> ונניח עוד כי <math>f,g</math> גזירות בסביבה ימנית של a ומתקיים <math>\lim_{x\to a^+}=\frac{f'(x)}{g'(x)}=L</math> אז מתקיים <math>\lim_{x\to a^+}=\frac{f(x)}{g(x)}=L</math> | ||
+ | |||
+ | ==הוכחה== | ||
+ | נוכל לבנות <math>\tilde{f},\tilde{g} </math> רציפות שמקיימות <math> \tilde{f}=\begin{cases} | ||
+ | f\left(x\right) & x\neq a\\ | ||
+ | 0 & x=a | ||
+ | \end{cases} \tilde{g}=\begin{cases} | ||
+ | g\left(x\right) & x\neq a\\ | ||
+ | 0 & x=a | ||
+ | \end{cases} </math> | ||
+ | הגבול של מנתם בa יהיה זהה לגבול המקורי כי הוא נבדל ממנו רק בנקודה 1 לשם נוחות נמשיך לקרוא להם .f,g על פי משפט ערך הביניים של קושי עבור כל x בסביבה הימנית של a שבה f,g מוגדרות נוכל לבחור <math>a<c(x)<x</math> שמקיימת <math>\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f'(c(x))}{g'(c(x))} </math> | ||
+ | ולכן נקבל <math>\lim_{x\to a^{+}}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a^{+}}\frac{f'(c(x))}{g'(c(x))}=\lim_{c\to a^{+}}\frac{f'(c)}{g'(c)} </math> | ||
+ | כרצוי השיוויון האחרון נובע מכך ש <math>a<c(x)<x</math> וממשפט הסנדויץ | ||
[[קטגוריה:אינפי]] | [[קטגוריה:אינפי]] |
גרסה מ־17:55, 22 בפברואר 2014
תוכן עניינים
כלל לופיטל
תהיינה שתי פונקציות f,g. ותהי נקודה או כך ש
נראה כיצד ניתן להעזר בכלל לופיטל על מנת לחשב גבולות במקרים בהם משפטי האריתמטיקה הרגילים נכשלים.
מקרה ראשון או
נניח או
אזי אם הגבול קיים, הוא שווה לגבול
דוגמא 1
חשבו את הגבול .
זהו מקרה של . נגזור את המונה והמכנה בנפרד ונקבל
דוגמא 2
חשבו את הגבול .
זהו מקרה של . נגזור את המונה והמכנה בנפרד ונקבל
דוגמא 3
חשבו את הגבול .
זהו מקרה של . נגזור את המונה והמכנה בנפרד ונקבל
מקרה שני
נניח , ועלינו לחשב את הגבול .
במקרה זה, אנו מעבירים את הביטוי לצורה של שבר מהמקרה הראשון.
דוגמא 4
חשבו את הגבול .
זהו מקרה של . נעביר את הביטוי לצורה של שבר (באמצעות כלל האוזן), ונפעיל את כלל לופיטל:
נגזור מונה ומכנה ונקבל
שימו לב: כלל לופיטל לא מוכרח להצליח. למשל במקרה זה, אם היינו מעבירים את הלוגריתם למכנה בתרגיל זה ומפעילים כלל לופיטל, לא היינו מתקדמים. נסו ותהנו.
דוגמא 5
חשבו את הגבול .
זהו מקרה של . נעביר את הביטוי לצורה של שבר, ונפעיל את כלל לופיטל:
נגזור מונה ומכנה ונקבל
כעת, אין אנו רוצים לגזור ביטויים מסובכים. אנו יודעים כי , לכן נותר רק לחשב את הגבול
זהו מקרה של , לכן נפעיל כלל לופיטל (פעמיים):
אם נחבר את כל התוצאות יחדיו, נקבל כי
מקרה שלישי או או
במקרה זה עלינו לחשב את הגבול .
כאשר או או .
בכל אחד מהמקרים נשתמש בדרך הבאה-
ראשית נבחין כי ,
שנית, נחשב את הגבול .
לבסוף, קיבלנו כי מתקיים
דוגמא 6
משפט לופיטל והוכחתו
נניח כי ונניח עוד כי גזירות בסביבה ימנית של a ומתקיים אז מתקיים
הוכחה
נוכל לבנות רציפות שמקיימות הגבול של מנתם בa יהיה זהה לגבול המקורי כי הוא נבדל ממנו רק בנקודה 1 לשם נוחות נמשיך לקרוא להם .f,g על פי משפט ערך הביניים של קושי עבור כל x בסביבה הימנית של a שבה f,g מוגדרות נוכל לבחור שמקיימת ולכן נקבל כרצוי השיוויון האחרון נובע מכך ש וממשפט הסנדויץ