שינויים
אפשר אולי לתת דוגמה מסויימת..?
:צורה קנונית של חבורה אבלית סופית G היא הצגה של חבורה איזומופירת ל-G כמכפלה קרטזית של חבורות ציקליות מסדרים שהם חזקת ראשוני: <math>G\cong\mathbb{Z}_{p_1^{n_1}}\times\mathbb{Z}_{p_2^{n_2}}\times\cdots\times\mathbb{Z}_{p_k^{n_k}}</math>, עבור <math>p_j</math> ראשוניים, לאו דווקא שונים זה מזה, ועבור <math>n_j</math> טבעיים. לפי משפט המיון לחבורות אבליות סופיות, קיימת הצגה אחת כזו, עד כדי החלפת סדר הגורמים במכפלה הקרטזית (<math>\times</math>). דוגמא אפשר לראות בשאלה הקודמת; שם גם ניתן לראות כיצד היא מסייעת בפתרון שאלות לגבי חבורות אבליות סופיות. חיים רוזנר 05:08, 26 בינואר 2014 (EST)
== שאלה ==
<math>g^{t}N=(gN)^t=N</math> ??
:באמת נראה לי שרצו לכתוב שם <math>(gN)^t=g^tN=N</math>. אם כך הוא הדבר, הרי שהמעבר הראשון מוצדק מתכונות של חבורת המנה, דהיינו מכך ש-N נורמלית. המעבר השני מוצדק מכך ש-<math>g^{t}\in N</math>, בלי קשר להיות t הזה מינימלי. חיים רוזנר 05:15, 26 בינואר 2014 (EST)
== מספר שאלות ==
האם נכון להגיד שלכל חבורה בעולם יש תת-חבורה ציקלית?
:כן. ראשית, החבורה הטריוויאלית {e} היא ציקלית. בנוסף, אם יש לי איבר g בחבורה, הרי שהוא יוצר איזושהי חבורה ציקלית, והיא ת"ח של G.
בנוסף, האם יש שיטה מהירה לחשב אקספוננט של חבורת אוילר? לדוגמה, מה הEXP של U30?
:לא מכיר שיטה כזו. השיטה שלי היא להשתמש במשפט המיון, וזה לא נראה לי האלגוריתם היעיל ביותר.
עוד שאלה, האם הEXP של U12 x U3 הוא פשוט הLCM של 12 ו3? האם הכלל הזה נכון לכל מכפלה קרטזית של שתי חבורות? (תמיד עשינו את זה עבור Z).
:לא. <math>exp(U_{12}\times U_3)=lcm(exp(U_{12}),exp(U_3))</math>, והכלל הזה נכון לכל מכפלה קרטזית: <math>exp(G\times H)=lcm(exp(G),exp(H))</math>. אנחנו השתמשנו עד כה רק בעבור חבורות ציקליות, ושם באמת זה הרבה יותר קל. חיים רוזנר 05:33, 26 בינואר 2014 (EST)
תודה.
== סדרי האיברים בSn ==
ראינו בתרגול שלחבורה הסימטרית S4 , הסדרים האפשריים של איברים בה הם רק 1,2,3, ו4.
האם זה נכון תמיד שלכל חבורה Sn, הסדרים האפשריים הם מ1 ועד n?
:לא. האיבר (1 2 3)(4 5) הוא איבר מסדר 6 ב-S5. חיים רוזנר 15:52, 22 בפברואר 2014 (EST)
== הצגת תמורה כמכפלה של חלופים ==
בתרגול העברנו תמורה כמכפלה של מחזורים זרים למכפלה של חילופים באופן הבא:
(1 2 4) (3 5 6 7) = (1 2)(2 4)(3 5)(5 6)( 6 7)
עם זאת, בתרגיל 8, בשאלה 1, בפתרון שהצעתם, השתמשתם בטכניקה שונה בה לקחתם את האיבר הראשון במחזור כאיבר שמאפשר חילחול בחילופים.
ניסיתי גם שם את הטכניקה הראשונה שראינו בתרגול וקיבלתי 6 חילופים.
האם זה משנה באיזו טכניקה אני משתמש?
כי החילופים יוצאים שונים... אך מספר החילופים זהה.
:שתי הטכניקות טובות. בשתיהן אמור להתקבל אותו מספר חילופים, כי כל מחזור מאורך r מוצג כמכפלה של r-1 חילופים בשתי הטכניקות. בעיקרון, מספר החילופים איננו קריטי; אולם לא יכול להיות שהצגה אחת תהיה על ידי מספר חילופים זוגי והאחרת על ידי מספר חילופים אי-זוגי. חיים רוזנר 15:52, 22 בפברואר 2014 (EST)
== גודל המרכז Z והמרכז C ==
האם נכון לומר שגודל המרכז <math>Z(G)</math> תמיד לפחות 1 (כי e מתחלף עם כל איברי G)?
:כן. אמרנו את זה בכיתה. גם אמרנו שזו חבורה (נורמלית ב-G), ולחבורה יש לפחות איבר אחד.
ולכן גם בכל חבורה יש לפחות מחלקת צמידות אחת (שמכילה את e בלבד)?
:כן.
והאם נכון לומר שגודל המרכז <math>C_G(a)</math> של איבר a הוא תמיד לפחות 2 (כי a מתחלף עם איבר היחידה ועם עצמו)?
:אם <math>a \neq e</math>, אז אכן מצאת כאן שני איברים שונים במְרַכֵּז של a. למעשה, ניתן להראות כי במרכז יש לפחות שני איברים גם עבור e, ובתנאי ש-G איננה החבורה הטריוויאלית. חיים רוזנר 15:52, 22 בפברואר 2014 (EST)
תודה.
== איזומורפיזם בין Sn לDn ==
ראינו בתרגול שיש איזומורפיזם בין S3 לD3.
האם תמיד קיים איזומורפיזם בין Sn לDn?
:לא. מספר האיברים שונה, לכל n גדול מ-3. חיים רוזנר 15:52, 22 בפברואר 2014 (EST)
== איזומורפיזם בין מכפלות קרטזיות ==
האם Z2 X Z2 X Z2 X Z4 איזומורפית ל Z2 X Z4 X Z4?
שתיהן חבורות אבליות מסדר 32, לא ציקליות, ובעלות אקספוננט זהה (4).
האם הן איזומורפיות?
:לא. שתי הוכחות לכך:
:א. מספר האיברים מסדר 2 שונה בשתי החבורות האלו. (חשבו!)
:ב. לחבורה מימין יש ת"ח איזומורפית ל- Z2 X Z2 X Z2 X Z2, הלוא היא הת"ח Z2 X Z2 XZ2 X 2Z4. מנגד, לחבורה השמאלית אין ת"ח מסדר 16 ואקספוננט 2.
:באופן כללי, הצגה בצורה קנונית היא '''יחידה''', עד כדי סדר הגורמים במכפלה. הצגה קנונית היא הצגה של חבורה אבלית סופית כמכפלה של Zq-ים שונים, כאשר כל q הוא חזקה של ראשוני. תמיד, כאשר מגיעים לנצגה כזו, שתי חבורות עם הצגה שונה אינן איזומורפיות, ונתן להראות זאת כמו שהראיתי לעיל - למנות כמה איברים יש מכל סדר, ולעבור על הת"ח השונות, מתישהו תימצא ת"ח של חבורה אחת שאין לה ת"ח איזומורפית באחרת.חיים רוזנר 15:52, 22 בפברואר 2014 (EST)
== תמורות מתחלפות ==
האם התמורות t = (1 4) (2 5) (3 6) ו q = (1 2 3) (4 5 6) מתחלפות?
ביצעתי הרכבה משני הצדדים, וקיבלתי: (6 2 4 3 5 1)
ולכן הן מתחלפות.
האם אני צודק?
:אם חישבת את tq ואת qt, ומצאת את אותה התמורה - אז הן מתחלפות. אינני לוקח אחריות על טעויות חישוב. בהצלחה. חיים רוזנר 15:52, 22 בפברואר 2014 (EST)
