שיחה:89-214 סמסטר א' תשעד

חזרה לדף הקורס

גלול לתחתית העמוד

הוספת שאלה חדשה

הוסף שאלה חדשה (רשום כותרת לשאלה, רשום את תוכן השאלה ולחץ על שמירה למטה מימין לסיום).

-עזרה על עיצוב הטקסט וכתיב מתמטי תוכלו למצוא כאן

אם אתם רוצים לשאול שאלה עליכם ליצור חשבון משתמש באתר.

שאלות

שאלה 3 בתרגיל בית 1

נניח אני רוצה לבטא את המחלק המשותף המקסימלי של 840,575 כצירוף לינארי שלהם.

בשלב הראשון, אני מוצא את המחלק המשותף המקסימלי ע"י אלגוריתם אוקלידיס באופן הבא:

zz (840,575)=(575,265)=(265,45)=(45,40)=(40,5)=5 zz

המעבר הראשון משמאל לימין, נובע מכך ש: zz 840=575*1+265 zz

המעבר השני משמאל לימין, נובע מכך ש: zz 575=265*2+45 zz

המעבר השלישי משמאל לימין נובע מכך ש: zz 265=45*5+40 zz

המעבר הרביעי משמאל לימין נובע מכך ש: zz 45=40*1+5 zz

המעבר האחרון נובע מכך שהמחלק המשותף המקסימלי של 40 ו-5 הוא 5.

כעת מה שאני רוצה לעשות, זה לבטא את המחלק המשותף המקסימלי של 840,575 שהוא כאמור המספר 5, כצירוף לינארי של 840, 575. כיצד בדיוק אני עושה את זה. ראיתי פתרון בתרגול, אבל השיטה לא ממש מובנת לי. אשמח להסבר מפורט, כיצד בדיוק אני צריך לעשות את זה.

תודה מראש ושבת שלום!

שתי הערות עריכה בויקי: כדאי להשתמש בכותרות (מוסיפים עם מספר של "=" משני הצדדים) וכדאי להשתמש בכתיב מתמטי (הכפתור עם [math]\displaystyle{ \sqrt{n} }[/math]) כדי להכניס ביטויים מתמטיים.

התשובה לשאלה היא פשוט ליישם את אלגוריתם אוקלידס המורחב. רמז קל: זה גם מה שנדרש בשאלה 1. בקישור יש כמה דוגמאות מפורטות.

הדרך שבה מצאת את המחלק המשותף המקסימלי נכונה, ודרושה להמשך. בכל שלב (מעבר) באלגוריתם אוקלידס אפשר להציג את שארית החלוקה [math]\displaystyle{ r }[/math] כצירוף של שני המספרים שמחלקים [math]\displaystyle{ r=n-qm }[/math]. נתחיל מן השלב האחרון ונתקדם "מעלה":

• בסוף קיבלת כי [math]\displaystyle{ 5 = 1 \cdot 45 - 1 \cdot 40 }[/math].
• נציב את הביטוי ל-[math]\displaystyle{ 40 }[/math] מהשלב אחד לפני האחרון [math]\displaystyle{ 5 = 1 \cdot 45 - 1 \cdot (265 - 5 \cdot 45) }[/math]. אם נצמצם נקבל [math]\displaystyle{ 5 = -1 \cdot 265 + 6 \cdot 45 }[/math].
• כעת מציבים ביטוי עבור [math]\displaystyle{ 45 }[/math] עם [math]\displaystyle{ 265 }[/math] ו-[math]\displaystyle{ 575 }[/math].

כך ממשיכים עד שמגיעים לביטוי עם המספרים המקוריים שעבורם חיפשנו [math]\displaystyle{ \mathrm{gcd} }[/math].

אם f | 2c וגם f | 2d האם אני יכול להסיק מכך ש- ( f | (2c,2d  ?

תודה.

כרמז, מה יקרה אם פשוט נסמן [math]\displaystyle{ n = 2c }[/math] וגם [math]\displaystyle{ m = 2d }[/math]? מה יודעים אם [math]\displaystyle{ f | n,m }[/math]?

מה שיודעים, זה ש-f מחלק כל צירוף לינארי של n ושל m? איך אני יכול להסיק מזה ש-f מחלק את (n,m) ?

לזה בדיוק התכוונתי. לגב מה שאתה מנסה להסיק: ראינו בכיתה תכונה חשובה של ה-[math]\displaystyle{ \mathrm{gcd} }[/math]. איך אפשר להציג אותו?

אפשר להציג אותו כצירוף לינארי של n ו-m??????????

שאלה 4 סעיף ג'

שתיי שאלות:

1. האם אני יכול לומר שקיים מספר x כך ש- x|a+b וגם x|a-b? אם כן, למה?

2. במידה ואני יכול לטעון את מה שכתבתי בשאלה 1, ובמידה והראיתי ש- x|2d, האם אני יכול לומר ש- zz (a+b,a-b) | 2d zz ? אם כן, למה?

הערת עריכה בויקי: אפשר לייצר רשימה ממוספרת על ידי שימוש בסולמית (#) בתחילת השורה.

1. לא לגמרי הבנתי את השאלה: לכל זוג מספרים הגדרנו את הממ"מ, ובכל מקרה [math]\displaystyle{ 1 }[/math] תמיד מחלק כל מספר. בגלל זה, אפשר להתחיל את הפתרון עם הנחה כמו "יהי [math]\displaystyle{ e }[/math] מחלק משותף (לאו דווקא מקסימלי) של [math]\displaystyle{ a+b }[/math] ושל [math]\displaystyle{ a-b }[/math]..."
2. הרמז הוא שאפשר להשתמש בשאלה 4 סעיף ב' כדי לפתור את הסעיף הנוכחי. מה אתה יודע על הסכום וההפרש של [math]\displaystyle{ a+b }[/math] ושל [math]\displaystyle{ a-b }[/math]?

מה שאני יודע שזה ש-[math]\displaystyle{ e }[/math] מחלק גם את הסכום שלהם וגם את ההפרש שלהם. כלומר את [math]\displaystyle{ 2a }[/math] ואת [math]\displaystyle{ 2b }[/math].

מצוין! מה זה אומר שמתקיים [math]\displaystyle{ e|2a,2b }[/math]? את מה עוד [math]\displaystyle{ e }[/math] מחלק?

את [math]\displaystyle{ gcd(2a,2b) }[/math]???? למה?

שאלה

אם p מספר ראשוני, שלא מחלק את המספר a, למה נובע מכך ש- 1=(a,p) ? למעשה על מנת להגיד שהמחלק המשותף המקסימלי של a ו-p הוא 1, אני צריך לדעת גם ש-p לא מחלק את a, אבל גם ש-a לא מחלק את p. a לא מחלק את p מהסיבה ש-p ראשוני, ולכן בסה"כ a לא מחלק את P , ו-p לא מחלק את a ולכן המחלק המשותף המקסימלי הוא 1?

זה ההסבר?

יש כאן קצת סלט. קודם כל, רקע: עבור כל [math]\displaystyle{ n }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ n|n }[/math] וכמו כן [math]\displaystyle{ 1|n }[/math]. כאשר אנחנו מחפשים [math]\displaystyle{ \mathrm{gcd} }[/math] צריך למצוא את המספר הטבעי הגדול ביותר שמחלק גם את [math]\displaystyle{ p }[/math] וגם את [math]\displaystyle{ a }[/math]. המספרים הטבעיים היחידים שמחלקים את [math]\displaystyle{ p }[/math] הם כידוע רק [math]\displaystyle{ 1 }[/math] ו-[math]\displaystyle{ p }[/math]. נתון כי [math]\displaystyle{ p }[/math] לא מחלק את [math]\displaystyle{ a }[/math], כלומר הוא לא מקיים את התנאי שנדרש להיות [math]\displaystyle{ \mathrm{gcd} }[/math] שדורש לחלק את [math]\displaystyle{ a }[/math]. לכן נקבל [math]\displaystyle{ (a,p)=1 }[/math].

שאלה 6 בתרגיל 1

מה הכוונה למצוא מס' שלם חיובי [math]\displaystyle{ x }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ 17x = 1 (\bmod{53}) }[/math]

לא ברור לי מה הכוונה ומה המשמעות של ה-[math]\displaystyle{ \mod 53 }[/math] הזה..

נא להשתמש בכפתור לנוסחאות מתמטיות. המשמעות של [math]\displaystyle{ \mod }[/math] הוא לומר כי מדובר במשוואה מודולו [math]\displaystyle{ 53 }[/math]. כלומר מבקשים למצוא מספר [math]\displaystyle{ x }[/math] כך שאם תכפול אותו ב-[math]\displaystyle{ 17 }[/math] תקבל מספר שבחלוקה ב-[math]\displaystyle{ 53 }[/math] תקבל שארית [math]\displaystyle{ 1 }[/math].

תרגיל 1 שאלה 4 סעיף ב'

אם הוכחתי ש [math]\displaystyle{ e\mid ad \wedge ad\mid e }[/math]

כאשר:

[math]\displaystyle{ d=gcd(b,c) }[/math] ו- [math]\displaystyle{ e=gcd(ab,ac) }[/math]

האם אני יכול להסיק מכך ש- [math]\displaystyle{ e=ad }[/math] וכך לסיים את ההוכחה?

אם לא, איך אני עושה את שאלה 4 ב'?

זה אמור לנבוע מההגדרה של מחלק את: נאמר ש-[math]\displaystyle{ a\mid b }[/math] אם קיים [math]\displaystyle{ c\in\mathbb{Z} }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ ac=b }[/math]. חיים רוזנר 12:37, 23 באוקטובר 2013 (IDT)

אם [math]\displaystyle{ a\mid 0 }[/math] למה שווה [math]\displaystyle{ a }[/math]? ואם [math]\displaystyle{ 0\mid b }[/math], למה שווה [math]\displaystyle{ b }[/math]?

אם אפשר גם הסבר קצר, זה יועיל.

גם כאן כדאי לחזור להגדרה של מחלק את, המופיעה במענה לשאלה הקודמת. חיים רוזנר 12:43, 23 באוקטובר 2013 (IDT)

תרגיל 2 שאלה 1 סעיף ב'

אם אני רוצה להראות אסוציאטיביות, אני צריך לקחת 3 מטריצות כלליות מהצורה של איברי הקבוצה שבשאלה?

ואז ממש לעשות את הכפל בין 3 המטריצות, כאשר בפעם הראשונה אני כופל קודם את השתיים השמאליות ובפעם השנייה קודם את השתיים הימניות וצריך

לראות האם אני מקבל אותה תוצאה?

ושאלה שנייה, כשאני בודק אם קבוצה עם פעולה היא חבורה למחצה למשל (או מונויד או חבורה...אחרי הכל אלה מקרים פרטיים של חבורות למחצה), אני צריך לבדוק בבדיקה של האסוציאטיביות, האם התוצאה שאני מקבל היא בקבוצה?

כלומר כשבודקים אסוציאטיביות, לא צריך בין היתר לבדוק שכשאני מכפיל את השניים הראשונים ואז את השלישי, או את הראשון בשניים השניים, אז התוצאה שמתקבלת היא אכן בקבוצה?

לשאלתך הראשוונה: כן. לשאלתך השנייה. בכל מקרה צריך לבדוק שהפעולה סגורה. אל תבלבל את זה עם אסוציאטיביות.

שאלה על תרגיל 1 שאלה אחרונה סעיף ב'

השאלה הולכת כך:

מצאו שלם [math]\displaystyle{ a }[/math] כך ש:

[math]\displaystyle{ a\equiv 1 (mod 11) }[/math]

[math]\displaystyle{ a\equiv 2 (mod 3) }[/math]

[math]\displaystyle{ a\equiv 4 (mod 5) }[/math]

כמה שאלות:

1. אני אמור בהתחלה למצוא a רק עבור שתיי משוואות כלשהן מתוך השלוש? לא חשוב איזה שתיי משוואות?

2. נניח אני מוצא פתרון ל-2 המשוואות הראשונות (האמת שאלה לא בדיוק משוואות אני חושב...כי זה לא סימן שווה)

בכל אופן, היות ו-[math]\displaystyle{ (11,3)=1 }[/math] , אני יכול להשתמש במשפט השאריות הסיני.

מה שאני צריך לעשות, זה למצוא צירוף לינארי של 11 ו-3 כך שיתקבל 1:

לכן [math]\displaystyle{ 11\cdot (-1)+3\cdot 4=1 }[/math] . אגב, המקדמים של 11 ו-3 בצירוף לינארי שנותן 1, הם יחידים?

לכן

[math]\displaystyle{ a=11\cdot (-1)\cdot 2+3\cdot 4\cdot 1 }[/math]

אבל 10- מודולו 11 שווה 1? כמה זה 10- מודולו 11?

וכמה זה 10- מודולו 3?'

אפשר עזרה בשאלה 1 ובשתיי השאלות המודגשות שבשאלה 2?

תרגיל 2 , שאלה 1 סעיף ב'

הראיתי שמתקיימת אסוציאטיביות ושקיים איבר יחידה.

כעת אני רוצה להראות שכל איבר הוא הפיך. על מנת לטעון את זה, אני צריך לדעת שקבוצת המטריצות הזו, היא קבוצה של מטריצות הפיכות.

איך אני מסביר את זה?

האם התנאי של דטרמיננטה שונה מאפס מתקיים כאן? במטריצות [math]\displaystyle{ 2 \times 2 }[/math] די קל למצוא את המטריצה ההופכית. יש לשים לב שלא מספיק לומר כי מטריצה במבנה האלגברי הזה היא הפיכה, שהרי זה רק אומר שיש לה איבר הופכי באוסף של כל המטריצות. יש להראות כי האיבר ההופכי שייך למבנה האלגברי הזה.

תרגיל 2 שאלה 3 סעיף א'

1. האם אני יכול לומר שיש אסוציאטיביות מהסיבה שכפל מטריצות הוא אסוציאטיבי?

או שאני חייב לקחת שלוש מטריצות כלליות מהצורה של המטריצות בקבוצה G, ולהראות שמתקיימת תכונת האסוציאטיביות?

2. כל איבר ב-G הוא מטריצה בעלת דטרמיננטה שונה מאפס (כי זו מטריצה משולשית ולכן הדטרמיננטה היא מכפלת איברי האלכסון, כלומר 1).

לכן לכל מטריצה בקבוצה יש מטריצה הופכית ולכן כל איבר בקבוצה הוא הפיך. מדוע אבל המטריצה ההפוכה של כל אחת מהמטריצות ההפיכות, שייכת גם היא לקבוצה?

איך אפשר להוכיח את זה?

1. מותר להניח (ולכתוב) כי כפל מטריצות הוא אסוציאטיבי, אבל צריך להסביר למה זה מספיק. יש לשים לב כי צריך להראות שהפעולה מוגדרת היטב, וכי כפל של שתי מטריצות מן הקבוצה [math]\displaystyle{ G }[/math] אכן שייך לקבוצה [math]\displaystyle{ G }[/math]. לאחר מכן, אפשר להראות אסוציאטיביות.
2. אתה צודק כי קל לראות שהמטריצות הן הפיכות, ויותר חשוב מכך אתה צודק שזה לא מספיק. העובדה שמטריצה הפיכה רק מספר לנו שיש לה איבר הופכי במונואיד של כל המטריצות (לגבי כפל מטריצות). במקרה של [math]\displaystyle{ G }[/math] צריך למצוא את המטריצה ההופכית של מטריצה [math]\displaystyle{ A \in G }[/math] ולהראות שהיא מן הצורה של מטריצות ב-[math]\displaystyle{ G }[/math]. מציאת המטריצה ההופכית היא יחסית קלה כי המטריצות ב-[math]\displaystyle{ G }[/math] הן בצורה "נוחה", ואז רואים מה היא צורת המטריצה ההופכית.

תרגיל 2 שאלה 3 סעיף ב'

יש שם שתי חבורות:

[math]\displaystyle{ H }[/math] עם הפעולה [math]\displaystyle{ * }[/math]

[math]\displaystyle{ G }[/math] עם הפעולה [math]\displaystyle{ \cdot }[/math]

[math]\displaystyle{ \cdot }[/math] אני משער שזה פעולת הכפל הרגילה.

אבל מה זה [math]\displaystyle{ * }[/math]? כיצד מוגדרת הפעולה הזו?

(ערכתי את השאלה להוספת סימונים מתמטיים)

קודם כל, ההשערה אינה נכונה, כי אנחנו לא יודעים דבר על איברי [math]\displaystyle{ G }[/math]. כאשר כתוב למשל [math]\displaystyle{ (H,*) }[/math] הכוונה לסימון הרגיל של חבורה שמוגדרת על ידי קבוצת האיברים [math]\displaystyle{ H }[/math] והפעולה [math]\displaystyle{ * }[/math]. כך גם עם [math]\displaystyle{ (G,\cdot) }[/math] שבה הכוונה לחבורה כלשהי עם איברים מהקבוצה [math]\displaystyle{ G }[/math] והפעולה [math]\displaystyle{ \cdot }[/math] שיכולה להיות כל פעולה שמקיימת את הדרישות מפעולה של חבורה.

תרגיל 2 שאלה 4ג'

הטענה אומרת שלכל איבר במונואיד יש הפיך מימין.

זה אומר שלכל איבר a ב-M, קיים b ב-M כך ש-a*b=e?

קצת מבלבל אותי הניסוח של השאלה והניסוח של ההגדרה של איבר הפיך מימין.

אתה צודק לגבי ההגדרה של קיום הפיך מימין לכל איבר: לכל [math]\displaystyle{ a \in M }[/math], קיים [math]\displaystyle{ b \in M }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ a*b=e }[/math]. יש להוכיח או להפריך האם במקרה זה [math]\displaystyle{ (M,*) }[/math] הוא חבורה. אגב, השאלה הזאת סימטרית לחלוטין לו היינו בוחרים לדבר על הפיך משמאל.

תרגיל 2 שאלה 7

בשאלה 7 א', הראיתי ש-S הוא האיבר האדיש ב-A.

אני חושב שהתכונה הדרושה לכך ש-A תיהיה חבורה אינה מתקיימת. כלומר התכונה שלכל איבר ב-A קיים איבר הפיך לא מתקיימת לדעתי.

איך אני מראה את זה!? אני צריך להצביע על איבר ב-A שהחיתוך שלו עם כל איבר אחר מ-A לא נותן את S?

נניח אני מסתכל על הקבוצה הריקה. למעשה זו הקבוצה היחידה שאני יכול להסתכל עליה כי אני לא מכיר שום איבר ב-A.

החיתוך של הקבוצה הריקה עם כל איבר, הוא הקבוצה הריקה עצמה. ואם הקבוצה הריקה שונה מ-S, אזי לקבוצה הריקה אין איבר הפיך.

אבל איך אני יכול לדעת שהקבוצה הריקה שונה מהקבוצה S????

מצוין. מחלקים למקרים: אם [math]\displaystyle{ S }[/math] היא הקבוצה הריקה אנחנו נקבל מקרה די משעמם, כי קבוצת החזקה של הקבוצה הריקה מכילה איבר אחד (הקבוצה הריקה). אחרת, אם [math]\displaystyle{ S }[/math] היא לא הקבוצה הריקה, אז מצאת איבר לא הפיך.

תרגיל 2 שאלה 7 סעיף ב'

הפעולה "נקודה" היא פעולת החיתוך מהסעיף הקודם? או שזו פעולת הכפל הרגיל?

הפעולה "נקודה" היא פעולה שאתם צריכים להגדיר. להסתכל על הסעיף הקודם זה רעיון לא רע בכלל.

תרגיל 2 שאלה 2

לא ברור לי מה זה Z2,Z7 ובכלל מה זה Zn. האמת שגם דובר על זה בהרצאה וגם הנושא של מחלקות שקילות הוזכר בעניין הזה וזה ממש לא מובן לי.

אם אפשר הסבר מפורט על זה, ועל מה שצריך להבין בזה, זה מאד יועיל!

חשבון מודולרי הוא חשבון עם פעולות חיבור וכפל מודולו n. אנחנו מגדירים את הקבוצה [math]\displaystyle{ \mathbb Z_n }[/math] להיות הקבוצה [math]\displaystyle{ \mathbb Z_n=\{0,1,\ldots,n-1\} }[/math]. על קבוצה זו אנחנו מגדירים פעולות חיבור וכפל, תחת יחס השקילות מודולו n. יש טענה האומרת שהחיבור והכפל האלה מוגדרים היטב. עבור כל n, מתקיים ש-[math]\displaystyle{ (\mathbb Z_n,+) }[/math] היא חבורה, וש-[math]\displaystyle{ (\mathbb Z_n,\cdot) }[/math] הוא מונואיד. משפט שמוכיחים בתחילת אלגברה לינארית קובע שעבור p ראשוני, [math]\displaystyle{ \mathbb Z_p }[/math] הוא שדה; ובניסוח אחר, המונואיד [math]\displaystyle{ (\mathbb Z_p \setminus \{0\},\cdot) }[/math] הוא חבורה.

השקילות שעליה דברנו היא השקילות מודולו n, הקובעת ששני מספרים שלמים a ו-b הם שקולים אם מתקיים [math]\displaystyle{ n \mid a-b }[/math]. חיים רוזנר (שיחה)

תרגיל 3, שאלה 1

מהי הפעולה עבור החבורות U9 ו U12 ?

הפעולה היא כפל מודולו n. אנחנו הגדרנו אותן כחבורת ההפיכים במונואיד הכפלי Zn. חיים רוזנר (שיחה) 12:01, 12 בנובמבר 2013 (EST)

שאלה לגבי תרגיל בית מס' 4, שאלה 4

רציתי הבהרה לגבי שאלה 4 בתרגיל 4, ובכלל, באופן כללי: בסעיף 1 נדרשתי להראות ש-G כפי שהוגדרה שם היא חבורה. האם מותר לי להשתמש בקריטריון המקוצר כדי להראות ש-G היא תת חבורה של [math]\displaystyle{ GL_3(\mathbb{Z}_3) }[/math] ובזה הוכחתי שהיא חבורה, או שמא אני צריך להראות את כל 4 האקסיומות, כי הדרישה היא להראות ש-G חבורה ולא תת חבורה?

לפי הגדרה, תת־חבורה היא חבורה בעצמה (לגבי הפעולה המצומצמת). לכן אם אתה מראה כי אוסף מטריצות כלשהו הוא תת־חבורה של [math]\displaystyle{ GL_3(\mathbb{Z}_3) }[/math], הוכחת כי הוא חבורה לגבי כפל מטריצות. כדי להוכיח שמשהו הוא תת־חבורה מותר להשתמש בקריטריון המקוצר.

אוקיי, תודה.

תרגיל 4 שאלה 2: החבורה zz (Z24,+) zz

הכוונה לחיבור מודולו 24? או לחיבור מספרים רגיל?

אפשר כיוון?? לא ברור לי איך פותרים את השאלה הזו.

החיבור בחבורה [math]\displaystyle{ \mathbb Z_{24} }[/math] הוא מודולו 24, כמו תמיד. הסימון [math]\displaystyle{ + }[/math] הוא קיצור, במקרה הזה, ל-[math]\displaystyle{ +_{24} }[/math]. חיים רוזנר (שיחה) 07:00, 24 בנובמבר 2013 (EST)

תרגיל 4 שאלה 3

כתוב: "נסמן ב-(SLn(F את חבורת המטריצות עם דטרמיננטה 1".

לא היו אמורים לכתוב "את קבוצת המטריצות עם דטרמיננטה 1"?

הרי אם אומרים שזו חבורת המטריצות עם דטרמיננטה 1, וזו הרי גם תת קבוצה של GLn, ולכן זו תת חבורה.

עד לפתרון השאלה, יש להתייחס לחבורה הלינארית המיוחדת כקבוצה. לאחר הפתרון, זו חבורה. חיים רוזנר (שיחה) 07:02, 24 בנובמבר 2013 (EST)

תרגיל 4 שאלה 4 סעיף 1

אני רוצה להראות ש-G היא תת-חבורה של GLn ע"י הקריטריון המקוצר לתת חבורה.

G כמובן לא ריקה (מכילה למשל את מטריצת הזהות).

הבעיה שלי, היא כשאני בא להוכיח סגירות של G ביחס לכפל מטריצות.

לקחתי 2 מטריצות מהצורה של המטריצות ב-G והכפלתי אותן זו בזו באופן הבא:

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 &a0 &b0 \\ 0 &1 &c0 \\ 0 &0 &1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 &a1 &b1 \\ 0 &1 &c1 \\ 0 &0 &1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 &a1+a0 &b1+a0c1+b0 \\ 0 &1 &c1+c0 \\ 0 &0 &1 \end{pmatrix} }[/math]

איך אני יודע האם המטריצה שקבלתי מקיימת שאיבריה מעל האלכסון הראשי, שיכים ל-Z3?

מי אמר שהמספרים a1+a0, b1+a0c1+b0,c1+c0 הם מספרים בין 0 ל-2? הרי הם צריכים להיות ב-Z3, ו-{Z3={0,1,2

כל פעולות החיבור והכפל של איברי [math]\displaystyle{ \mathbb Z_3 }[/math] הן פעולות בינאריות מוגדרות היטב, דהיינו יש סגירות ב-[math]\displaystyle{ \mathbb Z_3 }[/math]. חיים רוזנר (שיחה) 07:04, 24 בנובמבר 2013 (EST)

תרגיל 4 שאלה 4

איך בודקים האם לכל איבר ב-G קיים הפכי, ושההפכי אכן ב-G?

אני מתחיל את ההוכחה ע"י כך שאני לוקח איבר כלשהו ב-G.

האיבר הזה הוא מטריצה הפיכה שמעל האלכסון הראשי שלה מופיעים מספרים a,b,c כך ש- zz 0<=a,b,c<=2 zz

היות והאיבר הזה הוא מטריצה הפיכה, בהכרח קיימת לו מטריצה הפכית.

לכן לכל איבר ב-G, קיים איבר הפכי.

איך אני מראה שאותו איבר הפכי שייך לקבוצה G?

ראשית, שים לב לתשובתי לשאלה הקודמת. כל הפעולות ב-[math]\displaystyle{ GL_3 }[/math] הן סגורות. כעת, ניתן לחשב הופכי למטריצה באחת השיטות הסטנדרטיות, נניח אלו שמופיעות בויקיפדיה, או לנסות לפתור ידנית. לפותרים ידנית, ניתן להציע רמז, והוא שזה אמור להצליח, ולפיכך ניתן להניח שההופכי הוא מהצורה הרלוונטית, ואז לחפש אותו. חיים רוזנר (שיחה) 07:23, 24 בנובמבר 2013 (EST)

תרגיל 4 שאלה 4

איך אני מוצא את הסדר של כל איבר!?!?!

G קבוצה בעלת 27 איברים!! a,b,c יכולים לקבל (כל אחד) 3 ערכים: 0,1,2.

סך כל האיברים ב-G הוא 3x3x3=27.

באמת מצפים שאבדוק את הסדר של כל איבר???? אלה 27 איברים!

יש צורה כללית לאיברים בקבוצה זו. התרגיל לא היה לחשב את הסדר של כל איבר ואיבר, אלא להוכיח מה הסדר של כל איבר ואיבר. אז מניחים שיש לנו איבר נתון, ומנסים להוכיח שהסדר הוא 3. זה אמור לעבוד. חיים רוזנר (שיחה)

ושאלה שנייה:

לא הבנתי עדיין מה זה בדיוק סדר של חבורה ומה ההבדל בין סדר של חבורה לסדר של איבר?

כיצד אני מוצא סדר של חבורה?

אני ממליץ לעיין בויקיפדיה העברית על שאלה זו. שימו לב שאנחנו, למען הבלבול, מסמנים סדר של איבר וסדר של חבורה באותו סימן, ושם יש סימון אחר לסדר של איבר. חיים רוזנר (שיחה) 07:29, 24 בנובמבר 2013 (EST)

ציקליות

אפשר עזרה בשאלה הבאה:

האם החבורות הבאות הן ציקליות או לא (האמת שבשאלה לא ציינו האם מדובר על חיבור או על כפל). א'. Z10XZ15 ב'.Z5XZ2 ג'. U20 ד'. U8XU9

האמת יש תשובות לשאלות האלה אבל אני לא ממש מבין את התשובות.

איך למשל אני עושה את סעיף א'?

מדובר במכפלה הקרטזית הבאה: zz {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}X{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14} zz כמות הזוגות הסדורים בקבוצה הזו היא גדולה מאד. איך בכלל אני בודק אם קיים זוג סדור שיוצר את קבוצת הזוגות הסדורים הזו???

השאלה לקוחה מכאן: http://math-wiki.com/images/8/85/Hw2AA2013.pdf ראיתי את התשובה ואני לא מבין אותה. לא ברור לי מה אמורים לעשות בשאלה הזו...

אכן תרגיל יפה. אנחנו הראנו בכיתה (לדעתי בכל הקבוצות כבר הגיעו לזה) את המשפט הבא:

תהי G חבורה, ויהיו a.b איברים בחבורה. נניח שאיברים אלו מקיימים: ab=ba וגם [math]\displaystyle{ \lt a\gt \cap\lt b\gt =\varnothing }[/math]. אזי הסדר של ab הוא הכמק"ב של הסדרים של a ושל b. כך זה אמור להיות יותר קל לפתור שאלות כאלה. כמובן יש לזכור שכל ת"ח של ציקלית היא ציקלית. בהצלחה, חיים רוזנר (שיחה) 07:37, 24 בנובמבר 2013 (EST)

תרגיל 4 שאלה 2

היי, החבורות הנוצרות מהמחלקים של 24 הן גם תת חבורות של Z24 וברור גם למה. האם ניתן גם לומר שהחבורות האחרות (שהיוצר שלהן לא מחלק את 24) הן גם תת חבורות של Z24 והם בעצם Z24 עצמו ? כי לדוגמא החבורה הציקלית <5> עם פעולת החיבור + (מודולו 24) הרי יוצרת את החבורה Z24, השאלה היא אם זה נכון לומר זאת.

תודה

נדמה לי שהתערבבו שני נושאים יחד (שיש ביניהם קשר): החבורה [math]\displaystyle{ (\mathbb{Z}_{24},+) }[/math] והחבורה [math]\displaystyle{ (U_{24},\cdot) }[/math]. כמו בתשובה לשאלה אחרת בדף זה, יש לזכור שכל תת־חבורה של חבורה ציקלית היא ציקלית. זה העיקר שנדרש כדי לענות על השאלה. תת־החבורה שנוצרת על ידי [math]\displaystyle{ 5 }[/math] היא אכן כל [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{24} }[/math], כלומר מדובר ממש באותה קבוצת איברים עם אותה פעולה. האם אתה יכול למצוא קריטריון מתי תת־חבורה שנוצרת על ידי איבר אחד זו כל החבורה במקרה זה?

חשוב לשים לב שזה לא תמיד המקרה, מה למשל היא תת־החבורה [math]\displaystyle{ \left\lt 16\right\gt }[/math] שנוצרת על ידי [math]\displaystyle{ 16 }[/math], שאינו מחלק את [math]\displaystyle{ 24 }[/math]?

תרגיל 4 שאלה 5

האם החבורה G בסעיף 2 היא אותה חבורה [math]\displaystyle{ G=\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2} }[/math] מסעיף 1?

כן. אותה חבורה.

שאלה לגבי החבורה הדיאדרלית

בתרגול (וגם בהרצאה) ראינו את המשפט:

אם G חבורה סופית, הסדר של כל תת חבורה מחלק את סדר החבורה.

מזה נבע ש: [math]\displaystyle{ a^{|G|}=e }[/math]

למה בחבורה הדיאדרלית זה לא מתקיים?

היא סופית, כי יש בה תמיד שלושה איברים: סיבוב, שיקוף ואיבר יחידה, אבל ברור שלא מתקיים לכל [math]\displaystyle{ a\in G }[/math] ש-[math]\displaystyle{ a^{|G|}=e }[/math]

(לא מרצה / מתרגל) מדוע זה לא מתקיים? לכל חבורה דיהדראלית [math]\displaystyle{ D_n }[/math], שעוצמתה [math]\displaystyle{ 2n }[/math], הסדר של סיבוב הוא [math]\displaystyle{ n }[/math], הסדר של שיקוף הוא 2 והסדר של איבר היחידה, כידוע, הוא 1. כל חזקה של סיבוב היא עדיין סיבוב, ולפי משפט הסדר שלו מתחלק בסדר של הסיבוב המקורי, n. כל הכפלה של חזקה של סיבוב עם שיקוף אף היא מסדר הקטן מ־[math]\displaystyle{ 2n }[/math]: נסמן סיבוב עם [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] ושיקוף עם [math]\displaystyle{ \tau }[/math], ואז מתקיים [math]\displaystyle{ \tau\cdot\sigma^m\cdot\tau=\sigma^{-m} }[/math], ובאמצעות זה ניתן להוכיח שאכן הסדר אינו גדול מ־n (מראים שהחזקה ה־n־ית היא איבר היחידה). --גיא בלשר (שיחה) 12:49, 27 בנובמבר 2013 (EST)

נכון. בחבורה הדיהדרלית [math]\displaystyle{ D_n }[/math] מתקיים לכל איבר [math]\displaystyle{ a }[/math] כי [math]\displaystyle{ a^{|G|}=a^{2n}=e }[/math]. לשואל המקורי: האם יש לך מקרה ספציפי שבו אתה חושד שזה לא מתקיים? --Mathzeta2 (שיחה) 09:09, 29 בנובמבר 2013 (EST)

שאלה לגבי תת חבורה נורמלית

האם זה נכון שכל תת חבורה נורמלית היא אבלית? כלומר איבריה מתחלפים עם כל איבר ב-G?

לא. למשל [math]\displaystyle{ SL_{n}(F) }[/math] היא תת־חבורה נורמלית של [math]\displaystyle{ GL_{n}(F) }[/math], אבל היא לא אבלית עבור [math]\displaystyle{ n \gt 2 }[/math]. דוגמה אחרת היא לקחת מכפלה ישרה של שתי חבורות [math]\displaystyle{ G_1,G_2 }[/math] ולשים לב כי [math]\displaystyle{ G_1 \times \{e_2\} }[/math] היא תת־חבורה נורמלית של [math]\displaystyle{ G_1 \times G_2 }[/math]. אם נבחר את [math]\displaystyle{ G_1 }[/math] להיות חבורה לא אבלית, סיימנו.

אולי נוצר בילבול מכך שלתת־חבורה נורמלית [math]\displaystyle{ N \vartriangleleft G }[/math] מתקיים לכל [math]\displaystyle{ g \in G }[/math] כי [math]\displaystyle{ gN=Ng }[/math]. זה לא אומר כי לכל [math]\displaystyle{ n \in N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ gn=ng }[/math]. זה כן אומר כי לכל [math]\displaystyle{ n \in N }[/math] קיים [math]\displaystyle{ k \in N }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ gn=kg }[/math].

תרגיל 5 שאלה 8

האם אפשר להוכיח את הטענה שם באינדוקציה, או שאי אפשר להפעיל אינדוקציה על איחוד אינסופי?

למה הכוונה ב"להפעיל אינדוקציה"? האם למשפט הקומפקטיות (Compactness theorem)? האם יש לך דרך יותר ישירה להוכחה? כלומר לפי ההגדרה של חבורה פשוטה.

לא ברור לי איך מוכיחים את הטענה הבאה:

[math]\displaystyle{ G }[/math] חבורה. ו-[math]\displaystyle{ a\in G }[/math].

מדוע קיימת תת-חבורה ציקלית של [math]\displaystyle{ G }[/math] שנוצרת ע"י [math]\displaystyle{ a }[/math]?

איך מראים ש- <a> היא תת חבורה ציקלית של G?

ממש לפי הגדרות. בסימון [math]\displaystyle{ \left\lt S\right\gt }[/math] סימנו את תת־החבורה שנוצרת על ידי האיברים בקבוצה [math]\displaystyle{ S }[/math]. אם [math]\displaystyle{ S }[/math] מכילה איבר אחד, נאמר [math]\displaystyle{ S=\{a\} }[/math], אזי מדובר בתת־חבורה שנוצרת על ידי איבר אחד, כלומר ציקלית (או בדרך אחרת: כל איבר של [math]\displaystyle{ \left\lt a\right\gt }[/math] הוא מן הצורה [math]\displaystyle{ a^k }[/math] , חזקה של [math]\displaystyle{ a }[/math]).

ואם [math]\displaystyle{ S=\{1,2\} }[/math] אז [math]\displaystyle{ \left\lt S\right\gt }[/math] היא תת החבורה שנוצרת ע"י האיברים 1 ו-2? כלומר [math]\displaystyle{ \left\lt 1\right\gt }[/math] ו-[math]\displaystyle{ \left\lt 2\right\gt }[/math]?

או שלא הבנתי נכון?

הויקי זיהה את השימוש ב-<S> בתור עיצוב פונט של קו חותך (strikethrough), כדאי להמנע מזה...

כדאי לחזור להגדרה של תת־חבורה שנוצרת על ידי קבוצת איברים: Generating set of a group או Subgroup generated by a subset. הסימון [math]\displaystyle{ \left\lt S\right\gt }[/math] במקרה של [math]\displaystyle{ S=\{1,2\} }[/math] הוא אכן תת־החבורה שנוצרת ע"י האיברים 1 ו-2. אבל אני לא מבין למה אתה מתכוון כאשר אתה כותב "כלומר [math]\displaystyle{ \left\lt 1\right\gt }[/math] ו-[math]\displaystyle{ \left\lt 2\right\gt }[/math]".

לא ברור לי מה פירוש [math]\displaystyle{ \lt S\gt }[/math] היא תת החבורה שנוצרת ע"י האיברים בקבוצה S. אפשר בקשה דוגמה קונקרטית? עבור המקרה ש-S מכילה את האיבר a, הבנתי מה זה אומר. מה המשמעות של ההגדרה הזו במידה ו-S מכילה יותר מאיבר אחד????????????????

ושאלה נוספת, למה [math]\displaystyle{ \lt S\gt }[/math] היא תת חבורה?

אנחנו הגדרנו את [math]\displaystyle{ \lt S\gt }[/math] להיות הקבוצה של מכפלה סופית של איברים מהצורה [math]\displaystyle{ s^n }[/math] עבור [math]\displaystyle{ s\in S,n=\pm 1 }[/math]. ברור שזו תת-קבוצה של [math]\displaystyle{ G }[/math], וההוכחה שזו ת"ח היא תרגיל נחמד. נניח, לשם ההדגמה ש-[math]\displaystyle{ S=\{a,b,c\} }[/math]. אז איבר לדוגמא ב-[math]\displaystyle{ \lt S\gt }[/math] הוא [math]\displaystyle{ aaab^{-1}a^{-1}bbbbc^{-1}accc }[/math]. יש, כמובן, עוד איברים ב-[math]\displaystyle{ \lt S\gt }[/math]. אני מקווה שזו דוגמא מספיק קונקרטית. חיים רוזנר (שיחה) 17:58, 1 בדצמבר 2013 (EST)

שאלה

נניח שנתונה חבורה כלשהי A, ואיבר a ב-A.

למה אם אבצע את הפעולה שבאמצעותה מוגדרת החבורה A, מספר כלשהו של פעמים, מובטח לי שבשלב מסוים אקבל את איבר היחידה e?

איך בדיוק אני מוכיח את זה????????????????????

כשהגדרנו סדר של איבר, כלל לא הובטח שבשלב מסוים תקבל את איבר היחידה. הראנו הכיתה מספר חבורות שבהן יש איברים מסדר אינסופי, למשל [math]\displaystyle{ (\mathbb{Z},+) }[/math].

תרגיל 4 שאלה 4 סעיף 2

הוכחתי שהסדר של כל איבר ב-G הוא 3.

איך מכאן אני מגיע לסדר של החבורה G?

מה אני יודע על הקשר בין הסדר של כל איבר ב-G (שהוא כאמור 3), לבין הסדר של החבורה G?

כדי למצוא את סדר החבורה לא מספיק לדעת מה הם הסדרים האפשריים של האיברים. פיסת מידע שאולי תעזור כדי לבדוק את התשובה היא שכעת אתה יודע שסדר החבורה מתחלק ב-3. חוץ מזה, לא ייתכן שהסדר של כל איבר הוא 3, הרי יש את איבר היחידה (ראה את ניסוח השאלה).

סדר החבורה הספציפית הוא מספר המטריצות מן הצורה שבשאלה. כמה כאלו יש? אילו ערכים [math]\displaystyle{ a,b,c }[/math] יכולים לקבל?

אני מניח שיש 27 אפשרויות. לכן סדר החבורה הוא 27. 3 אפשרויות עבור a, 3 עבור b, 3 עבור c.

ציינת שסדר החבורה מתחלק ב-3.

מה הניסוח המדוייק של המשפט שעליו הסתמכת?

התכוונתי ש-3 מחלק את סדר החבורה. מקווה שעכשיו זה יותר ברור. בכיתה (ואולי גם בתרגול) כבר ראינו כי סדר תת־חבורה מחלק את סדר החבורה (אם היא סופית כמובן).

תרגיל 4 שאלה 4 סעיפים 3+4

שאלה 4 סעיף 3: אני רוצה להסביר מדוע החבורה G שבתחילת השאלה, מקיימת :gh)^3=g^3h^3).

ההסבר שלי הוא שבאגף שמאל gh, זה איבר ב-G (מסגירות G). כעת אני מכפיל אותו בעצמו 3 פעמים, ומקבל את מטריצת היחידה (לפי סעיף 2). באגף ימין אקבל אותו דבר כי g^3, יתן את מטריצת היחידה (לפי סעיף 2), כנ"ל לגבי h^3. וכשאכפול את מטריצת היחידה בעצמה פעמיים, אקבל את מטריצת היחידה. כלומר הראיתי ששניי האגפים שווים למטריצת היחידה.

כעת על מנת להסביר ש-G אינה אבלית, אני יכול לומר ש-G היא קבוצה של מטריצות וידוע שכפל מטריצות אינו חילופי? האמת שכאן זה כפל מטריצות מודולו 3...

הדרך הנוחה להראות שאין קומוטטיביות (או במקרה שלנו: אבליות) היא להביא דוגמא נגדית. חיים רוזנר (שיחה) 18:08, 1 בדצמבר 2013 (EST)

עכשיו בקשר לסעיף 4... אין לי ממש כיוון.. אני רוצה להראות ש-gh=hg לכל h,g ב-G.

כיצד אני מתקדם מהנתונים שיש לי??

אני מנוע מלענות לשאלה זו, מכיוון שזו 'חצי תשובה'. אבל אי"ה יפורסם השבוע פתרון ממש יפה. חיים רוזנר (שיחה) 18:08, 1 בדצמבר 2013 (EST)

תרגיל 4 שאלה 5 סעיף 3

התחלתי להוכיח באופן הבא: הנחתי בשלילה ש-[math]\displaystyle{ H,K }[/math] תת-חבורות לא טריוויאליות של [math]\displaystyle{ G }[/math], כך ש- [math]\displaystyle{ G=H\cup K }[/math] לא יתכן ש- [math]\displaystyle{ H\subseteq K }[/math] או ש- [math]\displaystyle{ K\subseteq H }[/math].

שאלה:

אני לא בטוח לגבי ההסבר לכך שזה לא יתכן...הסיבה שזה לא יתכן, זה בגלל שאם בלי הגבלת הכלליות, [math]\displaystyle{ K\subseteq H }[/math], אז מההנחה בשלילה, נובע ש [math]\displaystyle{ G=H\cup K }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ H=K }[/math]. כלומר [math]\displaystyle{ H }[/math] תת חבורה טריוויאלית.

האם ההסבר הזה נכון?

טענה מבדידה: אם [math]\displaystyle{ K\subseteq H }[/math] אז [math]\displaystyle{ H=H\cup K }[/math]. זה אמור לעזור. חיים רוזנר (שיחה) 18:17, 1 בדצמבר 2013 (EST)

אמשיך את ההוכחה:

מכך ש-[math]\displaystyle{ H\subseteq K }[/math] וש [math]\displaystyle{ K\subseteq H }[/math] נובע שנוכל לקחת איבר

[math]\displaystyle{ a\in H-K }[/math] ואיבר [math]\displaystyle{ b\in K-H }[/math].

כעת אני רוצה לטעון שאם [math]\displaystyle{ ab\in H }[/math] אזי [math]\displaystyle{ b\in H }[/math] וכך לקבל סתירה.

מה שאני לא ממש יודע, זה כיצד איך להסביר את הטיעון הזה. מדוע נכון לומר שאם [math]\displaystyle{ ab\in H }[/math] אזי [math]\displaystyle{ b\in H }[/math]?

גם כאן התשובה תתפרסם אי"ה בבהירות בסוף השבוע, עם פתרון התרגיל. חיים רוזנר (שיחה) 18:17, 1 בדצמבר 2013 (EST)

שאלה 5 סעיף 1 (תרגיל 4)

אפשר בבקשה הסבר על סעיף 1 בשאלה 5?

אני לא מבין מה אני צריך לעשות שם.

zz Z2xZ2={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}  zz ?

מה הכוונה למצוא את כל התת חבורות הציקליות של הקבוצה שכתבתי הרגע...? ואיך עושים את זה בדיוק?

תודה מראש וחג שמח.

חוזרים להגדרה של חבורה ציקלית, ומחפשים בידיים, בכוח גדול וביד חזקה. חיים רוזנר (שיחה) 18:20, 1 בדצמבר 2013 (EST)

קוסטים

בכיתה דובר על כך שאם G חבורה ו-H תת-חבורה של G, אז מגדירים יחס g1~g2 (עבור כל שניי איברים ב-G) אם קיים h ב-H כך ש-g2=hg1 .

אני מבין כיצד מוכיחים שזה יחס שקילות.

אבל לא ברור לי מהן מחלקות השקילות.

אפשר בבקשה הסבר? אם אפשר דוגמה שתמחיש את העניין זה יועיל.

תודה רבה וחג שמח.

בגדול, מחלקות שקילות הן קבוצות האיברים שמתייחסים זה לזה על ידי יחס השקילות. אחת התכונות של יחס שקילות היא שניתן בעזרתו לחלק את הקבוצה הגדולה לקבוצות של איברים המתייחסים זה לזה. החלוקה הזו היא זרה, כלומר כל שתי מחלקות הן שוות או זרות זו לזו. פירוט טוב יותר, עם דוגמאות, ניתן למצוא כרגיל בויקיפדיה. חיים רוזנר (שיחה) 18:26, 1 בדצמבר 2013 (EST)

תרגיל 5 שאלה 1 א'

על מנת למצוא את כל המחלקות הימניות של H ב-G, עליי לקחת את האיבר הראשון ב-G, ולכפול אותו בכל איברי H. זו תיהיה מחלקה ראשונה.

לאחר מכן, לקחת את האיבר השני ב-G ולכפול אותו בכל איברי H. זו תיהיה המחלקה השנייה.

לאחר מכן, לקחת את האיבר השלישי ב-G ולכפול אותו בכל איברי H. זו תיהיה המחלקה השלישית.

וכו'...

במידה וכך עושים את זה, אז במקרה של סעיף א', יהיו 20 מחלקות??

אמורים לרשום את כל המחלקות? אין דרך קצרה לעשות את זה?

הרי בסעיף ב' או ו' לא אסיים לפתור את השאלה בדרך שהצעתי כאן...יש אינסוף איברים גם ב-G וגם ב-H.

בסעיף א' שתיי החבורות סופיות.

כידוע, בדרך כלל יש יותר מדרך אחת לרשום מחלקת שקילות (אלא אם H היא החבורה הטריוויאלית). המטרה כאן היא לרשום את כולן, על ידי מציאת קבוצת הנציגים שלהן. אם יש אינסוף מחלקות שקילות, כנראה שיש דרך נחמדה לרשום את כולן; אם יש מספר סופי אז יש מקום לעבודה קשה, עד לכיסוי של כל המחלקות השונות. חיים רוזנר (שיחה) 18:32, 1 בדצמבר 2013 (EST)

סדרים

איך מוכיחים את הטענה הבאה:

[math]\displaystyle{ G }[/math] חבורה.

[math]\displaystyle{ g\in G }[/math].

מניחים כי [math]\displaystyle{ o(g) }[/math] סופי.

צריך להוכיח:

[math]\displaystyle{ \left |\lt g\gt \right |=o(g) }[/math].

שאלה:

איך יתכן שמספר האיברים ב [math]\displaystyle{ \left |\lt g\gt \right| }[/math] הוא סופי?

הרי [math]\displaystyle{ \lt g\gt }[/math] מוגדרת להיות :

[math]\displaystyle{ \lt g\gt ={g^0,g^1,g^2,g^3,g^4,......g^{-1},g^{-2},g^{-3},g^{-4},....} }[/math].

כלומר זו קבוצה בעלת אינסוף איברים.

איך יתכן, ש-מספר האיברים ב [math]\displaystyle{ \left |\lt g\gt \right| }[/math] הוא סופי?..הרי הרגע הראיתי שזו קבוצה עם אינסוף איברים ע"פ הגדרתה.

יכול להיות שרשמת כאן איבר אחד יותר מפעם אחת, כפי שברציונליים מתקיים [math]\displaystyle{ \frac 1 2 =\frac 2 4 }[/math]. חיים רוזנר (שיחה) 18:34, 1 בדצמבר 2013 (EST)

עזרה בהוכחת המשפט הבא:

אם [math]\displaystyle{ G }[/math] סופית, אז לכל [math]\displaystyle{ g\in G }[/math] מתקיים ש-[math]\displaystyle{ o(g) }[/math] סופי.

ראיתי את תחילת ההוכחה ואת ההמשך לא הבנתי.

הוכחה:

נתבונן בסדרה: [math]\displaystyle{ g,g^2,g^3,g^4,.... }[/math].

מכיוון ש- [math]\displaystyle{ G }[/math] סופית, בשלב כלשהו קיימים [math]\displaystyle{ a,b\gt 0 }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ g^a=g^b }[/math] .

בלי הגבלת הכלליות נניח ש-a<b , אז: [math]\displaystyle{ g^b=g^ag^{b-a} }[/math].

איך אני ממשיך מפה ומסיים את ההוכחה???

בהמשך אתה מציב את שתי הנוסחאות האחרונות שמצאת זו בזו. נזכיר כאן שהטענה שסדר של איבר g הוא סופי היא שקולה לטענה שקיים מספר טבעי n כך ש-[math]\displaystyle{ g^n=e }[/math], כי אז יש n מינימלי כנדרש. חיים רוזנר (שיחה) 18:41, 1 בדצמבר 2013 (EST)

לגראנז'

אם G חבורה סופית, ו-H<=G תת חבורה אז |H|/|G| . זה מה שאומר המשפט.

משהו בהוכחה לא מובן לי...

ההוכחה הולכת כך:

נניח שיש m קוסטים משמאל. לכל קוסט יש |H| איברים.

מה שלא ברור לי, זה למה |G| לא שווה ל-m

(m זה כאמור מספר הקוסטים)

הרי מה זה קוסט? לוקחים איבר ב-G, וכופלים אותו בכל איברי H. מתקבלת קבוצה שמהווה קוסט אחד.

לוקחים איבר שני ב-G, כופלים אותו בכל איברי H. מתקבלת קבוצה שמהווה קוסט שני.

לוקחים איבר שלישי ב-G, כופלים אותו בכל איברי H. מתקבלת קבוצה שמהווה קוסט שלישי. . . . לוקחים איבר n ב-G, כופלים אותו בכל איברי H. מתקבלת קבוצה שמהווה את הקוסט ה-n.

. . . מספר הקוסטים באופן הזה, יוצא כמספר איברי G.

יש לבדוק האם לא מנית כאן את אותה המחלקה יותר מפעם אחת. חיים רוזנר (שיחה) 18:54, 1 בדצמבר 2013 (EST)

טעות בתרגיל 5 שאלה 2

נכתב שם שצריך להוכיח:

[math]\displaystyle{ \forall h\in H, \forall g\in G, ghg^{-1}\in H \Leftrightarrow H\triangleleft G }[/math]

המשפט הזה נכון רק בכיוון הזה [math]\displaystyle{ \Leftarrow }[/math], הכיוון השני לא נכון. כלומר בהינתן ש [math]\displaystyle{ \forall h\in H,\forall g\in G, ghg^{-1}\in H }[/math] זה לא אומר ש-H היא תת חבורה נורמלית. אלא אם כן נתון מראש ש-H חבורה ולא סתם תת קבוצה של G.

לכן המשפט אמור להיות:

[math]\displaystyle{ H\leq G\wedge \forall h\in H, \forall g\in G, ghg^{-1}\in H \Leftrightarrow H\triangleleft G }[/math]

נכון, דהיינו יש להוסיף בתחילת השאלה "נניח H ת"ח של G. הוכיחו כי..." חיים רוזנר (שיחה) 18:54, 1 בדצמבר 2013 (EST)

טעות בתרגיל 5 שאלה 6 סעיף ב'

צריך שם להראות: אם [math]\displaystyle{ H\lt G }[/math] כך ש: [math]\displaystyle{ S\lt H }[/math] אזי [math]\displaystyle{ H\triangleleft G }[/math]

כדוגמא נגדית אפשר לקחת למשל את [math]\displaystyle{ S_5 }[/math], להגדיר את [math]\displaystyle{ H=\left \{(23),(32),(1)\right \} }[/math] למשל כתת חבורה. עכשיו [math]\displaystyle{ S\lt H }[/math] אבל [math]\displaystyle{ H }[/math] לא תת"ח נורמלית.

האם חשבת את S, כל הקומוטטורים? לדעתי במקרה שלך לא מתקיים [math]\displaystyle{ S\lt H }[/math]. מעבר לכך, למיטב הבנתי רשמת ב-H את אותו האיבר פעמים (כי [math]\displaystyle{ (23)=(32) }[/math] בכתיב מחזורים). אולי לא הבנתי את דבריך כראוי, ואינך משתמש בכתיב מחזורים. אינני מבין את הסתירה כהוגן. חיים רוזנר (שיחה) 18:54, 1 בדצמבר 2013 (EST)

טוב, עכשיו אני לא בטוח שהבנתי את הדרישה, תקן אותי אם אני טועה: צריך להוכיח שאם יש לי חבורה G ולה יש תת חבורה H, אז אם S היא תת חבורה של H, זה גורר ש-H נורמלית ב-G.

אם אכן ניסחתי נכון את הדרישה - אז אני לא מבין איך טענה כזאת יכולה להיות נכונה?

נגזר מהטענה הזאת שכל תת חבורה היא נורמלית.

הרי תת חבורת הקומוטטורים זו תת חבורה שאני יכול להגדיר על כל חבורה/תת חבורה. (אני פשוט לוקח כל שני איברים [math]\displaystyle{ x,y }[/math] בתת"ח נתונה H, ומגדיר איבר חדש [math]\displaystyle{ x^{-1} y^{-1}xy }[/math]). במקרה הכי גרוע שבו החבורה המקורית שלי אבלית - אני אקבל ש-S טריוויאלית (אבל אז ברור ש-H נורמלית).

אז מה, כל תתי החבורות הן נורמליות?

יש לשים לב לניסוח השאלה. נתונה חבורה [math]\displaystyle{ G }[/math] ומגדירים תת־חבורה ספציפית שלה [math]\displaystyle{ S }[/math] (שבמקרה יש לה גם שם מיוחד, תת־חבורת הקומוטטור). כעת נמשיך לפי מה שאמרת: "אם [math]\displaystyle{ S }[/math] היא תת חבורה של [math]\displaystyle{ H }[/math], זה גורר ש-[math]\displaystyle{ H }[/math] נורמלית ב-[math]\displaystyle{ G }[/math]".

כנראה מה שצריך לשים לב שמגדירים את [math]\displaystyle{ S }[/math] לפי [math]\displaystyle{ G }[/math]. למשל, כפי שכתבת במקרה הכי גרוע (יש כאלו שיאמרו הכי טוב) שבה [math]\displaystyle{ G }[/math] היא חבורה אבלית, אזי [math]\displaystyle{ S }[/math] טריוויאלית ואז כל תת־חבורה [math]\displaystyle{ H }[/math] של [math]\displaystyle{ G }[/math] היא נורמלית. אכן, הערנו בכיתה כי כל תת־החבורות של חבורה אבלית הן נורמליות.

אולי כדאי לנסות לבדוק מי היא [math]\displaystyle{ S }[/math] במקרה של חבורה לא אבלית קטנה שכבר מכירים, נאמר [math]\displaystyle{ G=D_3 }[/math]. לחבורה הזאת יש תת־חבורות לא נורמליות, אזי בהכרח [math]\displaystyle{ S }[/math] אינה תת־חבורה של אותן תת־חבורות.

תודה על התשובה המפורטת.

שני דברים: קודם כל, בשאלה מסומן [math]\displaystyle{ S\lt H }[/math] ולא [math]\displaystyle{ S\lt G }[/math]. כלומר [math]\displaystyle{ S }[/math] תת"ח של [math]\displaystyle{ H }[/math] ולא תת"ח של [math]\displaystyle{ G }[/math], כפי שציינת כאן.

דבר שני - ואולי זה מה שגורם אצלי לבלבול - רשמת "בהכרח [math]\displaystyle{ S }[/math] אינה תת־חבורה של אותן תת־חבורות." והרי איך יתכן ש-S אינה תת חבורה? S היא מהגדרתה תת חבורה.

כלומר קבוצת כל הקומוטטורים של חבורה תמיד יוצרים תת חבורה.

בבקשה. סעיף א' הוא להוכיח כי [math]\displaystyle{ S }[/math] היא תת־חבורה של [math]\displaystyle{ G }[/math]. זה נכון לכל חבורה. בסעיף ב' מדברים מה קורה אם בנוסף [math]\displaystyle{ S }[/math] היא לא רק תת־חבורה של [math]\displaystyle{ G }[/math], אלא גם תת־חבורה של [math]\displaystyle{ H }[/math]. כלומר ש-[math]\displaystyle{ S }[/math] היא תת־חבורה של תת־חבורה של [math]\displaystyle{ G }[/math].

בנוגע לדבר השני, שוב אדגיש כי [math]\displaystyle{ S }[/math] היא "אובייקט" שמוגדר לפי [math]\displaystyle{ G }[/math], וכמו שראית בקישור לויקיפדיה, כדי לוודא שזה המצב, הסימון המקובל של [math]\displaystyle{ S }[/math] הוא [math]\displaystyle{ G' }[/math], ממש כמו הסימון לנגזרת. כשכתבתי "אזי בהכרח [math]\displaystyle{ S }[/math] אינה תת־חבורה של אותן תת־חבורות" הכוונה היא לא ש-[math]\displaystyle{ S }[/math] אינה תת־חבורה של [math]\displaystyle{ G }[/math] (כי כמו שאמרת, זו ההגדרה), אלא שהיא אינה תת־חבורה של [math]\displaystyle{ H }[/math], אם [math]\displaystyle{ H \le G }[/math] לא נורמלית.

תרגיל 5 שאלה 1ב'

ראיתי ש [math]\displaystyle{ [\mathbb{Z}:n\mathbb{Z}]=n }[/math]. האם בכלליות [math]\displaystyle{ [m\mathbb{Z}:n\mathbb{Z}]=\frac{m}{n} }[/math]?

זה תרגיל יפה. אולי ניתן אותו בתרגיל בית 6? עד אז אני יכול לומר שצריך כמובן לוודא שאנו עוסקים כאן בת"ח, ולכן לא כל m ו-n יקיימו זאת. חיים רוזנר (שיחה) 18:54, 1 בדצמבר 2013 (EST)

אפשר בבקשה הסבר מדוע

[math]\displaystyle{ Z_4{}\nsubseteq Z_8{} }[/math]?

הרי [math]\displaystyle{ Z_8=\left \{ 0,1,2,3,4,5,6,7 \right \} }[/math] ו- [math]\displaystyle{ Z_4=\left \{ 0,1,2,3 \right \} }[/math].

כנראה יש כאן משהו שאני לא מבין. אשמח להסבר ברור.

תודה!

לא מדובר באותם איברים, ולכן אין הכלה. הסימן [math]\displaystyle{ 3 }[/math] משמש בחבורה [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_8 }[/math] כקיצור לאיבר שהוא קבוצת כל המספרים השלמים שמשאירים שארית [math]\displaystyle{ 3 }[/math] בחלוקה ב-[math]\displaystyle{ 8 }[/math] (שים לב שהאיבר בחבורה הוא קבוצה). האיבר "המקביל" בחבורה [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_4 }[/math] הוא כתיבה מקוצרת לאיבר שהוא קבוצת כל המספרים השלמים שמשאירים שארית [math]\displaystyle{ 3 }[/math] בחלוקה ב-[math]\displaystyle{ 4 }[/math].

האיבר [math]\displaystyle{ 3 \in \mathbb{Z}_4 }[/math] פשוט לא נמצא בחבורה [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_8 }[/math]. כמובן ש-[math]\displaystyle{ 3 }[/math] הוא רק דוגמה ספיצפית, וזה נכון גם לגבי שאר האיברים.

תוספת שכדאי לקרוא אחרי שמבינים את הפסקאות הקודמות: החבורה [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_8 }[/math] מכילה תת־חבורה שאיזומורפית ל-[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_4 }[/math]. האם אתה יכול למצוא אותה?

כמה שאלות כדי לוודא אם הבנתי נכון מה שכתבת:

1. איברי [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{4} }[/math] הם בעצם קבוצות?

2. כלומר ב- [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{4} }[/math] יש 4 קבוצות, שהן המחלקות [math]\displaystyle{ [i] }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ i=0,1,2,3 }[/math], וכל מחלקה מכילה בתוכה את האיברים ב-[math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math] שמשאירים שארית [math]\displaystyle{ i }[/math] בחלוקה ב-4?

3. ואז למשל עבור [math]\displaystyle{ i=3 }[/math], מתקיים שקבוצת האיברים ב-[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{4} }[/math] שמשאירה שארית 3 בחלוקה ב-4, שונה מקבוצת האיברים ב-[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{8} }[/math] שמשאירה שארית 3 בחלוקה ל8.

התשובות לשלוש שאלות אלו היא חיובית. חיים רוזנר (שיחה) 16:37, 7 בדצמבר 2013 (EST)

4. איך אני יודע שקבוצת האיברים ב-[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{4} }[/math] שמשאירה שארית 3 בחלוקה ב-4, לא שווה לאף אחת מ-6 המחלקות שמשאריות שארית [math]\displaystyle{ i }[/math] בחלוקה ב-8, (כאשר [math]\displaystyle{ i }[/math] בין 0 ל-7, ושונה מ-3) ?????

זה חישוב. ב-[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{4} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ [3]=\{3+4k:k \in \mathbb{Z}\} }[/math], ובכלל זאת 3 ו-7. בשארית בחלוקה בשמונה מקבלי קבוצה שונה, ואין מחלקה מודולו 8 המכילה את 3 ואת 7. חיים רוזנר (שיחה) 16:37, 7 בדצמבר 2013 (EST)

5. לפי מה שאתה אומרת, אז אני מבין שבכלל לא הבנתי עד עכשיו מי זו הקבוצה [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{n} }[/math]. לפי מה שאתה אומר, זו לא קבוצת המספרים :[math]\displaystyle{ 0,1,2,3,...,n-1 }[/math] , אלא זו קבוצה בת [math]\displaystyle{ n-1 }[/math] האיברים:

[math]\displaystyle{ [i], i=0,1,2,...,n-1 }[/math], שהם למעשה קבוצות, שכל אחת מהן היא קבוצת המספרים השלמים שמשאירים שארית [math]\displaystyle{ i }[/math]

בחלוקה ב-[math]\displaystyle{ n }[/math]?

הבנתי נכון?

אני בכיתה הגדרתי את הקבוצה [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{n} }[/math] בדיוק בצורה הראשונה שאתה הבאת כאן. לכן התשובה שלי שאלה ששאלת בהתחלה היא שהפעולה ב-[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{4} }[/math] שונה מהפעולה ב-[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{8} }[/math]: זה חיבור מודולו 4 וזה חיבור מודולו 8. לכן זו איננה ת"ח. ניתן להגדיר גם בצורה שהובאה לעיל, ואני מתכוון לעשות זאת בשיעור שלי כשנגיע לחבורות מנה. ההגדרה המתמטית יותר היא זו שהובאה כאן, אלא שיש לשים לב שיש שם כמובן [math]\displaystyle{ n }[/math] איברים ולא [math]\displaystyle{ n-1 }[/math]. ניתן, אפוא, לנסח את ההגדרה במספר אופנים, אך בכל מקרה התשובה לשאלה המקורית שלך נשארת שלילית. חיים רוזנר (שיחה) 16:37, 7 בדצמבר 2013 (EST)

6. בנוגע לשאלה ששאלת. תוכל להגדיר לי מה הפירוש של "חבורה איזומורפית לחבורה אחרת". מה הניסוח המדוייק של ההגדרה?

חלק מקבוצות התרגיל טרם הגיעו למושג זה. הוא אמור להיות מוצג בכיתה. בינתיים אתה יכול לחפש חומר באינטרנט על איזומורפיזם של חבורות. חיים רוזנר (שיחה) 16:37, 7 בדצמבר 2013 (EST)

טענה שאני לא מצליח להוכיח. צריך בבקשה עזרה

הטענה אומר שבהינתן תת חבורה H של חבורה G מתקיים:

e הוא איבר היחידה של G אם"ם e הוא איבר היחידה של H.

תודה מראש על העזרה.

האם הכיוון [math]\displaystyle{ \left( \Leftarrow \right) }[/math] ברור? היזכר בהגדרה של איבר יחידה. אם [math]\displaystyle{ e }[/math] הוא איבר היחידה של [math]\displaystyle{ G }[/math] הוא בפרט איבר היחידה של [math]\displaystyle{ H }[/math] (האם ברור כי [math]\displaystyle{ e \in H }[/math]?).

הכיוון [math]\displaystyle{ \left( \Rightarrow \right) }[/math] לא הרבה יותר מסובך. תת־החבורה [math]\displaystyle{ H }[/math] מכילה את איבר היחידה של החבורה [math]\displaystyle{ G }[/math], ומהיחידות של איבר היחידה ב-[math]\displaystyle{ H }[/math] אם [math]\displaystyle{ e }[/math] הוא איבר היחידה ב-[math]\displaystyle{ H }[/math], אז הוא שווה לאיבר היחידה מ-[math]\displaystyle{ G }[/math].

שתיי שאלות על הכיוון: ==>

[math]\displaystyle{ e }[/math] איבר יחידה של [math]\displaystyle{ G }[/math]. לכן : [math]\displaystyle{ \forall g\in G:ge=eg=g }[/math]. וזה נכון גם עבור [math]\displaystyle{ g }[/math]-ים ששייכים ל-[math]\displaystyle{ H }[/math] . לכן לכל [math]\displaystyle{ g\in H }[/math] מתקיים: [math]\displaystyle{ ge=eg=g }[/math].

מה שלא מובן כאן, זה למה איבר היחידה [math]\displaystyle{ e }[/math] של [math]\displaystyle{ G }[/math], שייך גם ל-[math]\displaystyle{ H }[/math]?

נסמן את איבר היחידה של H על ידי [math]\displaystyle{ e_H }[/math]. מתקיים, ביחס לפעולה של החבורה G, שהיא אותה הפעולה של H, [math]\displaystyle{ e_H e_H = e_H }[/math]. מכיוון שאיבר היחידה בחבורה G הוא יחיד (ראה התשובה הבאה), אז מתקיים [math]\displaystyle{ e=e_H }[/math]. חיים רוזנר (שיחה) 07:51, 8 בדצמבר 2013 (EST)

והדבר השני שלא מובן, זה למה הוא יחיד

איבר היחידה הוא יחיד בכל מונואיד: מתקיים [math]\displaystyle{ e_1=e_1e_2=e_2 }[/math], לכל שני איברי יחידה במונואיד. חיים רוזנר (שיחה) 07:51, 8 בדצמבר 2013 (EST)

שתיי שאלות על הכיוון: <==

כתבת "תת חבורה [math]\displaystyle{ H }[/math] מכילה את איבר היחידה של החבורה [math]\displaystyle{ G }[/math]. למה הטענה הזו נכונה?

לפי הכיוון ההפוך. חיים רוזנר (שיחה) 07:51, 8 בדצמבר 2013 (EST)

כתבת גם "שאיבר היחידה ב- [math]\displaystyle{ H }[/math] הוא יחיד. הסיבה שהוא יחיד, היא בגלל ש-[math]\displaystyle{ H }[/math] בעצמה היא חבורה ולכן איבר היחידה שלה הוא יחיד?

לפי הכיוון ההפוך. חיים רוזנר (שיחה) 07:51, 8 בדצמבר 2013 (EST)

ניסיון הוכחה של הטענה הבאה:

יהי [math]\displaystyle{ a }[/math] איבר בחבורה [math]\displaystyle{ G }[/math].

טענה: [math]\displaystyle{ o(a)=o(a^{-1}) }[/math].

יתכנו שניי מקרים: 1. הסדר של [math]\displaystyle{ a }[/math] סופי 2. הסדר של [math]\displaystyle{ a }[/math] אינסופי.

מקרה 1:

כיוון א': נניח שקיים [math]\displaystyle{ k\in \mathbb{N} }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ o(a)=k }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ a^k=e }[/math].

ואז [math]\displaystyle{ \left (a^{-1} \right )^k=(a^{k})^{-1}=e^{-1}=e }[/math].

אבל לא ידוע האם [math]\displaystyle{ k }[/math] הוא החזקה המינימלית של [math]\displaystyle{ a^{-1} }[/math], שכאשר מעלים בה את [math]\displaystyle{ a^{-1} }[/math], מקבלים [math]\displaystyle{ e }[/math].

לכן [math]\displaystyle{ o(a^{-1})\leq o(a)=k }[/math].

ההמשך כאן הוא בשל הטענה הסימטרית. מתקיים [math]\displaystyle{ (a^{-1})^{-1}=a }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ o(a)\leq o(a^{-1}) }[/math]. כך משיגים שויון. חיים רוזנר (שיחה) 07:56, 8 בדצמבר 2013 (EST)

עכשיו אם רוצים להראות שהאי שיוויון ההפוך מתקיים, אפשר שוב להשתמש באותו [math]\displaystyle{ k }[/math] ממקודם???

ואז להוכיח באופן הבא:

[math]\displaystyle{ o(a^{-1})=k }[/math] לכן [math]\displaystyle{ (a^{-1})^{}k=e }[/math].

ואז [math]\displaystyle{ \left (a^{k} \right )^{-1}=\left (a^{-1} \right )^{k}=e }[/math].

האמת שנראה לי שכאן התבלבלתי קצת...אפשר בקשה לעשות לי סדר בהוכחה, ולהסביר לי למה אפשר לקחת שוב את אותו k???

איך אני מוכיח את הטענה במקרה שמדובר בסדר אינסופי?

סדר של איבר הוא אינסוף כאשר אין פתרון למשוואה [math]\displaystyle{ a^k=e }[/math]. אתה מראה שבמקרה זה אין פתרון גם למשוואה [math]\displaystyle{ (a^{-1})^k=e }[/math], ולכן הסדר של [math]\displaystyle{ a^{-1} }[/math] הוא אינסוף. חיים רוזנר (שיחה) 07:56, 8 בדצמבר 2013 (EST)

צריך עזרה בשאלה הבאה:

[math]\displaystyle{ G }[/math] חבורה סופית. יהיו [math]\displaystyle{ a,b \in G }[/math]. צריך להראות שמתקיים: [math]\displaystyle{ o(ab)=o(ba) }[/math] .

אינטואיטיבית...למה זה נכון? למה כשמחשבים סדר של מכפלה של שניי איברים ב-G, אז אין חשיבות לסדר ההכפלה? אילו היה מדובר בחבורה אבלית, זה היה נשמע לי יותר סביר...אבל אם זו חבורה לא אבלית, למה זה נכון?

ואיך פותרים את זה באופן פורמלי?

תודה.

באמת זה לא אינטואיטיבי. פורמלית יש כאן תעלול אריתמטי: אם [math]\displaystyle{ (ab)^n=1 }[/math] אז ניתן להכפיל ב-a מימין ולקבל [math]\displaystyle{ ababab \cdots ba = a }[/math]. נכנס כעת את האיברים מימין, ונקבל [math]\displaystyle{ a(ba)^n=a }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ (ba)^n=1 }[/math]. זה אכן תעלול אריתמטי, ולי אין אינטואיציה לטענה הזו. חיים רוזנר (שיחה) 18:32, 17 בדצמבר 2013 (EST)

כשאתה כותב 1, הכוונה היא לאיבר היחידה?

ועוד שאלה:

המעבר [math]\displaystyle{ a(ba)^n=a ==\gt (ba)^n=1 }[/math] נובע מהכפלה של שניי האגפים ב-[math]\displaystyle{ a^{-1} }[/math] משמאל?

כן.

שאלה

[math]\displaystyle{ G }[/math] חבורה. [math]\displaystyle{ g \in G }[/math]. [math]\displaystyle{ o(g)=n }[/math].

צריך להוכיח ש:

[math]\displaystyle{ a\equiv b(mod n) }[/math] אם"ם [math]\displaystyle{ g^a=g^b }[/math].

איך עושים את זה? ואם אפשר בקשה להזכיר, מה הפירוש במילים של השיוויון : [math]\displaystyle{ a\equiv b(mod n) }[/math]?

פירוש המילים [math]\displaystyle{ a\equiv b(mod n) }[/math] הוא [math]\displaystyle{ n \mid a-b }[/math]. זאת אומרת שקיים k שלם כך ש-[math]\displaystyle{ a-b=nk }[/math] או [math]\displaystyle{ a=b+nk }[/math]. זה אמור להספיק לדעתי. חיים רוזנר (שיחה) 18:39, 17 בדצמבר 2013 (EST)

שאלה על חבורת אוילר

חבורת אוילר [math]\displaystyle{ U_{n} }[/math] היא קבוצת כל האיברים ההפיכים במונואיד [math]\displaystyle{ Z_{n} }[/math].

זו ההגדרה של חבורת אוילר? או שזה משפט שאומר שקבוצת האיברים ההפיכים במונואיד [math]\displaystyle{ Z_{n} }[/math], היא חבורה שנקראת "חבורת אוילר"?

יש משפט הקובע כי קבוצת האיברים ההפיכים במונואיד היא חבורה. לפי משפט זה, קבוצת האיברים ההפיכים במונואיד [math]\displaystyle{ Z_{n} }[/math] היא אכן חבורה, ואנו קוראים לחבורה זו חבורת אוילר, ומסמנים זאת על ידי [math]\displaystyle{ U_{n} }[/math]. חיים רוזנר (שיחה) 04:08, 18 בדצמבר 2013 (EST)

שאלה שניה:

למה קבוצת האיברים ההפיכים במונואיד [math]\displaystyle{ Z_{n} }[/math] , היא קבוצת המספרים במונואיד [math]\displaystyle{ Z_{n} }[/math], שזרים ל-n?

הראנו זאת בכיתה באחד משני השיעורים הראשונים. בגדול, ניתן להראות כי אם מספר זר ל-n אז ניתן למצוא לו הפיך, ואם מספר איננו זר לו אז לא ניתן למצוא לו הפיך. חיים רוזנר (שיחה) 04:08, 18 בדצמבר 2013 (EST)

החבורה [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{10}\times\mathbb{Z}_{10} }[/math]

השאלה היא מפה: http://math-wiki.com/images/c/c7/Hw2solAA2013.pdf

איך מוכיחים שהחבורה [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{10}\times\mathbb{Z}_{10} }[/math] היא ציקלית?

ובאותו הקשר, למה בכלל זו חבורה? על איזה פעולה מדובר כאן? אם מדובר על כפל, אז זה כפל מודולו? מודולו מה?

אם אפשר הסבר מפורט על מה בדיוק שואלים כאן ואיך פותרים את השאלה הזו, זה יעזור!

החבורה [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{10}\times\mathbb{Z}_{10} }[/math] היא המכפלה הישרה החיצונית של החבורה [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{10} }[/math] עם עצמה. מכפלת חבורות ישרה הוצגה בפניכם בתרגיל בית 2, שאלה 3ב. כקבוצה, היא מכפלה ישרה של קבוצות, דהיינו קבוצת זוגות סדורים שהראשון שבהם מהחבורה הראשונה, והשני מהשניה. הפעולה במכפלת חבורות היא רכיב-רכיב, קרי מפעילים את הפעולה של החבורה הראשונה על הרכיב הראשון, ואת פעולת החבורה השניה על הרכיב השני. במקרה שלנו, הפעולה ברכיב הראשון היא חיבור מודולו 10, וזו עצמה גם הפעולה ברכיב השני. [math]\displaystyle{ ׂ(a,b)+(c,d)=(a+_{10}c,b+_{10}d) }[/math].

כעת, סדר החבורה הוא [math]\displaystyle{ 10\cdot 10=100 }[/math]. כדי שהיא תהיה ציקלית אנחנו צריכים למצוא איבר שיוצר את החבורה, דהיינו איבר שמקיים, לכל n קטן מ-100 [math]\displaystyle{ n\cdot (a,b)\neq(0,0) }[/math]. אבל לכל איבר בחבורה זו מתקיים [math]\displaystyle{ 10\cdot(a,b)=(0,0) }[/math], ולכן אין איבר יוצר שכזה. המסקנה היא שהחבורה איננה ציקלית. חיים רוזנר (שיחה) 04:26, 18 בדצמבר 2013 (EST)

למה להגיד "למצוא איבר שיוצר את החבורה", שקול ללהגיד "למצוא איבר שמקיים: לכל n קטן מ-100, [math]\displaystyle{ n\cdot (a,b)\neq(0,0) }[/math] "

????????????????????????????????????????????????????????????????

סדרי איברים בחבורת אוילר

נתונה החבורה [math]\displaystyle{ U_{20}= \left \{ 1,3,7,9,11,13,17,19 \right \} }[/math] שעוצמתה 8.

כיצד אני בודק האם קיים בה איבר מסדר 8? אפשר בבקשה להדגים את הבדיקה על איבר אחד או שניים מתוך הקבוצה הזו?

יש שתי דרכים להראות שאיבר g בחבורה G איננו מסדר n. הדרך הראשונה היא להראות ש-[math]\displaystyle{ g^n\neq 1 }[/math], והדרך השניה היא למצוא [math]\displaystyle{ m\lt n }[/math] המקיים [math]\displaystyle{ g^m=1 }[/math]. במקרה שלנו ברור שלכל איבר בחבורה מתקיים, לפי לגרנז', [math]\displaystyle{ g^8=1 }[/math], ולכן כנראה עלנו ללכת בדרך השניה. ניתן להראות כי כל איבר בחבורה מקיים, עבור [math]\displaystyle{ 4\lt 8 }[/math], [math]\displaystyle{ g^4=1 }[/math]. לדוגמא, [math]\displaystyle{ 3^4=81\equiv_{20}1 }[/math]. לכן הסדר של האיבר [math]\displaystyle{ 3 }[/math] איננו [math]\displaystyle{ 8 }[/math]. בחלק מהמקרים אפשר להראות זאת גם עבור [math]\displaystyle{ g^2 }[/math] או [math]\displaystyle{ g^6 }[/math], ובמקרה מסויים גם עבור [math]\displaystyle{ g^1 }[/math]. חיים רוזנר (שיחה) 04:41, 18 בדצמבר 2013 (EST)

שאלה שנייה:

אם לא קיים בחבורה איבר מסדר 8, מדוע נובע מכך שהחבורה אינה ציקלית?

ההגדרה של חבורה ציקלית היא חבורה שאיבר מאיבריה יוצר אותה לבדו. סדר של איבר הוא סדר החבורה הציקלית שהוא יוצר. אם g היה יוצר חבורה ציקלית מסדר 8 אז הסדר שלו כאיבר היה 8; לכן, מכך שהסדר שלו איננו 8 נובע שהוא איננו יוצר חבורה מסדר זה. חיים רוזנר (שיחה) 04:41, 18 בדצמבר 2013 (EST)

אני רוצה להוכיח ש Z10XZ15 לא ציקלית

ראיתי פתרון שכתוב בו שהיא לא ציקלית בגלל שאין בה איבר מסדר 150.

שאלה 1: מה הסיבה שאין בה איבר מסדר 150 ?

שאלה 2: למה העובדה שאין בה איבר מסדר 150, גוררת שהיא לא ציקלית?

שאלה 3:

למה הטענה הבאה נכונה:

לכל [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] ב- [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{10}X\mathbb{Z}_{15} }[/math], מתקיים:

[math]\displaystyle{ 30(a,b)=(0,0) }[/math] .

שאלה 4:

למה מהטענה האחרונה נובע שאין בחבורה איבר מסדר 150?

מה היא ההגדרה של סדר של איבר? שים לב שהטיעון האחרון שלך מראה שאין איבר מסדר גבוה מ-30 בחבורה זו.

מה ההוכחה לכך שסדר של איבר, הוא סדר החבורה הציקלית שאותה הוא יוצר?

לא מצאתי את זה בתרגול, וזה חשוב בשביל איזשהי שאלה.

תודה!

מה היא השאלה? אולי היא תעניין אחרים.

הראנו בתרגול שאם הסדר של איבר הוא אינסופי, אז כל החזקות שלו שונות. מה זה אומר על הסדר של תת־החבורה שהוא יוצר? אם הסדר הוא סופי, נניח [math]\displaystyle{ n }[/math], כמה חזקות שונות יש לאיבר? למה במקרה זה הסדר של תת־החבורה לא יכול להיות גדול מ-[math]\displaystyle{ n }[/math]? למה הוא לא יכול להיות קטן מ-[math]\displaystyle{ n }[/math]?

מה האינטואיציה מאחורי הטענה הבאה:

בהינתן שתיי מחלקות [math]\displaystyle{ aH,bH }[/math], מתקיים רק אחד מבין השניים הבאים:

א'. [math]\displaystyle{ aH=bH }[/math]

ב'. [math]\displaystyle{ aH\cap bH=\varnothing }[/math]

למה שתיי מחלקות חייבות לקיים שהן או שוות, או זרות? למה לא יתכן שיהיה להן איבר משותף ושהן לא יהיו שוות?

אחת מן הטענות בתרגול בעצם הראתה כי אפשר להגדיר יחס שקילות על האיברים של [math]\displaystyle{ G }[/math] שמוגדר כך שאיברים [math]\displaystyle{ a,b }[/math] שקולים אם הם נמצאים באותה מחלקה שמאלית של [math]\displaystyle{ H }[/math]. מחלקות השקילות תחת יחס השקילות הזה הן בדיוק המחלקות השמאליות.

HH=H

אני רוצה להוכיח את הטענה שאומרת שבהינתן תת-קבוצה [math]\displaystyle{ H }[/math] סופית ולא ריקה בחבורה [math]\displaystyle{ G }[/math] מתקיים:

[math]\displaystyle{ H }[/math] תת חבורה של [math]\displaystyle{ G }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ HH=H }[/math].

(הערה לטובת הקוראים: להלן יופיעו שתי הוכחות לטענה [math]\displaystyle{ H\leq G \Rightarrow HH=H }[/math].)

האם שתיי ההוכחות הבאות מדוייקות?

הוכחה ראשונה: (של הכיוון מימין לשמאל)

נניח [math]\displaystyle{ H }[/math] ת"ח של [math]\displaystyle{ G }[/math].

צריך להוכיח: [math]\displaystyle{ HH=H }[/math].

נוכיח זאת ע"י הכלה דו כיוונית:

1. נוכיח כי [math]\displaystyle{ H\subseteq HH }[/math].

יהי [math]\displaystyle{ h \in H }[/math] .

נשים לב כי: [math]\displaystyle{ h=he }[/math]

כיוון ש- [math]\displaystyle{ h\in H , e\in H }[/math] אז מהגדרת כפל של קבוצות, נובע ש- [math]\displaystyle{ h=he\in HH }[/math] זאת אומרת: [math]\displaystyle{ h\in HH }[/math].

לכן [math]\displaystyle{ H\subseteq HH }[/math].

הצד הזה נראה לי נכון. חיים רוזנר 04:21, 22 בדצמבר 2013 (EST)

2. נוכיח כי [math]\displaystyle{ HH\subseteq H }[/math].

יהי [math]\displaystyle{ h\in HH }[/math].

ניסוח שכזה איננו מתבקש. ההגדרה של HH היא של מכפלות מהצורה [math]\displaystyle{ h_1\cdot h_2 }[/math], ולכן היה מתבקש כאן לומר 'יהי [math]\displaystyle{ h_1 \cdot h_2 \in HH }[/math]'.

[math]\displaystyle{ h\in H , e\in H }[/math] ומסגירות של [math]\displaystyle{ H }[/math] נובע כי [math]\displaystyle{ he\in H }[/math].

כאן כבר יש טעות נגררת. לא ניתן להניח כי [math]\displaystyle{ h \in H }[/math], סתם כך מהנתון [math]\displaystyle{ h\in HH }[/math]. חיים רוזנר 04:21, 22 בדצמבר 2013 (EST)

אבל [math]\displaystyle{ h=he }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ h\in H }[/math].

לכן [math]\displaystyle{ HH\subseteq H }[/math].

עד כאן ההוכחה הראשונה.

הוכחה שנייה (לאותו דבר בדיוק):

נניח כי [math]\displaystyle{ H }[/math] תת חבורה.

מסגירות של [math]\displaystyle{ H }[/math] נקבל:

[math]\displaystyle{ HH=\left \{ h_1h_2|h_1,h_2\in H \right \}\subseteq H }[/math].

מצד שני, [math]\displaystyle{ H=eH\subseteq HH }[/math].

ומשתיי ההכלות נובע השיוויון [math]\displaystyle{ H=HH }[/math]

שאלה: למה [math]\displaystyle{ eH\subseteq HH }[/math]?

בעזרת ההגדרה [math]\displaystyle{ AB=\{ab\colon a\in A, b\in B\} }[/math], מתקיים השויון [math]\displaystyle{ gH=\{g\}H }[/math]. חיים רוזנר 04:40, 22 בדצמבר 2013 (EST)

ועוד שאלה: האם שתיי ההוכחות נכונות? (שתיי ההוכחות הן של הכיוון מימין לשמאל)

בכיוון 2 של הראשונה מצאתי טעות. בשאר ההוכחות לא. חיים רוזנר 04:40, 22 בדצמבר 2013 (EST)

איך מוכיחים את הטענה הזו...אמורה להיות פשוטה..

תהי [math]\displaystyle{ S }[/math] ת"ח בחבורה [math]\displaystyle{ G }[/math].

צריך להוכיח: [math]\displaystyle{ S^{-1}=S }[/math]

כאשר : [math]\displaystyle{ S^{-1}=\left \{ s^{-1}|s\in S \right \} }[/math].

פתרון

[math]\displaystyle{ S }[/math] ת"ח.

נוכיח כי [math]\displaystyle{ S^{-1}\sqsubseteq S }[/math].

יהי [math]\displaystyle{ s\in S^{-1} }[/math].

איך מתקדמים???

תת־חבורה היא חבורה בעצמה. לכל איבר [math]\displaystyle{ g \in G }[/math] בחבורה נמצא גם ההופכי שלו [math]\displaystyle{ g^{-1} \in G }[/math]. ידוע לנו שמתקיים [math]\displaystyle{ \left(g^{-1}\right)^{-1}=g }[/math] לכל איבר. זה כמעט מסיים את ההוכחה.

HK חבורה אםם HK=KH

זו הטענה:

תהיינה [math]\displaystyle{ H,K }[/math] תת חבורות בחבורה [math]\displaystyle{ G }[/math]. צריך להראות : [math]\displaystyle{ HK }[/math] תת חבורה ב-[math]\displaystyle{ G }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ HK=KH }[/math].

כיוון א'-

נניח [math]\displaystyle{ HK }[/math] תת חבורה ב-G. נוכיח : [math]\displaystyle{ HK=KH }[/math].

ידוע ש: [math]\displaystyle{ (HK)^{-1}=HK }[/math].

מנין זה ידוע? וודא שיש לך הוכחה ראויה לטענה זו. חיים רוזנר 04:55, 22 בדצמבר 2013 (EST)

יהא [math]\displaystyle{ g\in HK }[/math] לכן [math]\displaystyle{ g=hk }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ h\in H , k\in K }[/math].

לכן [math]\displaystyle{ g^{-1}=k^{-1}h^{-1}\in KH }[/math] לכל [math]\displaystyle{ g\in HK }[/math]

איך מגיעים לכך ש- [math]\displaystyle{ g\in KH }[/math]?

(יצאנו מ-[math]\displaystyle{ g\in HK }[/math] לכן צריך להראות ש- [math]\displaystyle{ g\in KH }[/math]).

האם יש דרך אחרת להוכיח את הכיוון הזה?

אני הייתי מתחיל 'יהי [math]\displaystyle{ g\in HK }[/math], אזי גם [math]\displaystyle{ g^{-1}\in HK }[/math].' הייתי מנסה להמשיך משם. חיים רוזנר 04:55, 22 בדצמבר 2013 (EST)

גם בהוכחה ש- [math]\displaystyle{ HK=KH }[/math] גורר [math]\displaystyle{ HK }[/math] תת חבורה, יש לי בעיה...

סגירות:

יהיו [math]\displaystyle{ g_1,g_2\in HK }[/math].

לכן [math]\displaystyle{ g_1=h_1k_1 , h_1\in H , k_1\in K }[/math].

כמו כן,

[math]\displaystyle{ g_2=h_2k_2 , h_2\in H , k_2\in K }[/math].

מקבלים [math]\displaystyle{ g_1g_2=(h_1k_1)(h_2k_2)=h_1(k_1h_2)k_2 }[/math]

אני הייתי מנסה להראות כאן ש-[math]\displaystyle{ k_1h_2\in HK }[/math]. חיים רוזנר 04:55, 22 בדצמבר 2013 (EST)

מתקיים ש [math]\displaystyle{ k_1=k_1e }[/math] ו- [math]\displaystyle{ h_2=eh_2 }[/math] ומכאן ש [math]\displaystyle{ k_1,h_2\in KH }[/math].

למה הטיעון הבא נכון:

[math]\displaystyle{ HK=KH }[/math] לכן קיימים [math]\displaystyle{ k_3\in K , h_3\in H }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ k_1h_2=h_3k_3 }[/math]?

נראה לי שעשו שם עוד מעבר בלי לציין. אפשר הסבר מפורט יותר???

אני לא מבין טיעון זה בעצמי. אולי הם ניסו להוכיח [math]\displaystyle{ k_1h_2\in HK }[/math] איכשהו? חיים רוזנר 04:55, 22 בדצמבר 2013 (EST)

ושאלה אחרונה, כמו קודם, האם גם את ההוכחה האחרונה אפשר להוכיח בדרך אחרת?

אני הייתי מתחיל 'יהי [math]\displaystyle{ g_1\in HK }[/math], ויהי [math]\displaystyle{ g_2\in KH }[/math]'. ומנסה להתקדם משם. חיים רוזנר 04:55, 22 בדצמבר 2013 (EST)

כמה שאלות חשובות על מעברים בהוכחה של משפט לגראנז' שלא מובנים לי

משפט לגראנז' אומר כך:

תהי [math]\displaystyle{ G }[/math] חבורה סופית, ו-[math]\displaystyle{ H }[/math] תת חבורה של G.

אזי הסדר של [math]\displaystyle{ H }[/math] מחלק את הסדר של [math]\displaystyle{ G }[/math].

הוכחה

תהי [math]\displaystyle{ G }[/math] חבורה סופית. לכן העוצמה שלה היא איזשהו מספר טבעי [math]\displaystyle{ n }[/math]. כלומר [math]\displaystyle{ o(G)=n }[/math].

[math]\displaystyle{ H }[/math] תת חבורה של G ולכן עוצמתה קטנה או שווה לעוצמת G, לכן הסדר של H הוא [math]\displaystyle{ o(H)=m }[/math].

[math]\displaystyle{ H }[/math] מחלקת את החבורה [math]\displaystyle{ G }[/math] למחלקות זרות שכל אחת מהן מכילה [math]\displaystyle{ o(H) }[/math] איברים, ומספר המחלקות הוא בהכרח סופי.

בשורה האחרונה כתובות 3 טענות. אין לי את ההוכחות שלהן.

אפשר בבקשה להראות בצורה ברורה, כיצד מוכיחים כל אחת משלוש הטענות האלו?

הטענה הראשונה אומרת:

[math]\displaystyle{ H }[/math] מחלקת את החבורה [math]\displaystyle{ G }[/math] למחלקות זרות

הטענה השנייה אומרת:

כל אחת מהן מכילה [math]\displaystyle{ o(H) }[/math] איברים

הטענה השלישית אומרת:

מספר המחלקות הוא בהכרח סופי

השלב האחרון בהוכחה שגם כן לא מובן לי, אומר ש

אם מספר המחלקות הוא [math]\displaystyle{ j }[/math], אזי [math]\displaystyle{ o(G)=o(H)\cdot j }[/math].

אפשר בקשה הסבר גם על המעבר הזה?

תודה רבה על העזרה

ננסח את הטענות בצורה אחרת. הטענה הראשונה היא 'החלוקה של G למחלקות שמאליות של H היא חלוקה למחלקות זרות', דהיינו שתי מחלקות שמאליות הן שוות זו לזו או זרות זו לזו. הטענה השנייה היא 'עוצמת כל מחלקה שמאלית gH שווה לעוצמת H', [math]\displaystyle{ |gH|=|H| }[/math]. הוכחות לשתי הטענות האלו הופיעו בשיעור התרגיל, בתחילת הנושא 'מחלקות שמאליות'. הוכחת הטענה השלישית היא שאין יותר מחלקות לא ריקות של החבורה G מאשר איברי החבורה G, ובפרט מספר זה הוא סופי.

השלב האחרון הוא נסיון לחשב את מספר האיברים ב-G בשתי דרכים: דרך ראשונה היא לפי הסדר של G. אפשרות שנייה היא לפי סכום של מספר האיברים בכל מחלקה. מספר זה הוא קבוע לכל מחלקה, לפי הטענה השנייה, וזה מיושם כאן במובלע.

נעיר כאן בשולי הדברים כי [math]\displaystyle{ o(G) }[/math] הוא סימון אחר לסדר של G, וכי [math]\displaystyle{ o(g) }[/math] הוא סימון אחר לסדר של g. חיים רוזנר 05:09, 22 בדצמבר 2013 (EST)

מספר המחלקות השמאליות

אם [math]\displaystyle{ G }[/math] חבורה ו-[math]\displaystyle{ H }[/math] תת חבורה של [math]\displaystyle{ G }[/math].

אז [math]\displaystyle{ gH }[/math] עבור כל [math]\displaystyle{ g\in G }[/math] זה יהיה אוסף המחלקות השמאליות של [math]\displaystyle{ H }[/math] ב-[math]\displaystyle{ G }[/math].

כמה מחלקות כאלה קיימות?

עבור ה-[math]\displaystyle{ g }[/math]-ים ששייכים ל- [math]\displaystyle{ G-H }[/math], נקבל שמספר המחלקות הוא כמספר האיברים בקבוצה [math]\displaystyle{ G-H }[/math], כלומר:

[math]\displaystyle{ |G-H| }[/math]

עבור ה-[math]\displaystyle{ g }[/math]-ים ששייכים ל-H, נכפול את כל אחד מהם, בכל איברי H. מספר המחלקות שמתקבלות באופן הזה, הוא כמספר האיברים של

[math]\displaystyle{ H }[/math] (כי מחלקה תתקבל ע"י כפל של איברי [math]\displaystyle{ H }[/math] ב-[math]\displaystyle{ H }[/math]. אבל מספר האיברים ב-H הוא [math]\displaystyle{ |H| }[/math]

לכן מספר המחלקות של תת חבורה [math]\displaystyle{ H }[/math] של [math]\displaystyle{ G }[/math] הוא: [math]\displaystyle{ |G-H|+|H|=|G| }[/math] ?

הטענה איננה נכונה. הליקוי בטיעון הוא שיש מקרים בהם [math]\displaystyle{ g_1\neq g_2 }[/math], ועדיין [math]\displaystyle{ g_1H=g_2H }[/math], ולכן ספרת כאן [math]\displaystyle{ |G| }[/math] צורות רישום שונות, אבל יש יותר מצורת רישום אחת למחלקה. הדוגמא הנגדית היא [math]\displaystyle{ 2\mathbb Z \le \mathbb Z }[/math]. מתקיים [math]\displaystyle{ 0+2\mathbb Z=2+2\mathbb Z }[/math], ולכן יש כאן יותר צורות רישום מאשר מחלקות. חיים רוזנר 05:18, 22 בדצמבר 2013 (EST)

מחלקות של תת חבורה

[math]\displaystyle{ G }[/math] חבורה בעלת אינסוף איברים.

[math]\displaystyle{ H }[/math] תת חבורה של G.

מספר המחלקות של [math]\displaystyle{ H }[/math] הוא אינסופי?

(לא מתרגל)

לא.

קח/י את החבורה [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math], קח/י את תת החבורה [math]\displaystyle{ 2\mathbb{Z} }[/math], מספר המחלקות של [math]\displaystyle{ 2\mathbb{Z} }[/math] ב-[math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math] הוא 2.

תודה רבה ללא מתרגל. חיים רוזנר 05:23, 22 בדצמבר 2013 (EST)

סדר

שתיי שאלות...

G חבורה מסדר n. האם אפשר להסיק שכל איבר ב-G הוא מסדר n?

(לא מתרגל)

לא.

החבורה הדיהדרלית למשל (לאף אחד מאיבריה אין סדר ששווה לסדר החבורה), ולמעשה כל חבורה שאינה ציקלית (אין לה יוצר, ובפרט אין לה איברים שהסדר שלהם הוא כסדר החבורה).

תודה רבה ללא מתרגל. חיים רוזנר 05:26, 22 בדצמבר 2013 (EST)

משפט אוילר. ..אפשר בקשה הסבר לשלב האחרון בהוכחה?

משפט אוילר:

יהיו [math]\displaystyle{ n,m }[/math] מספרים טבעיים זרים, אז [math]\displaystyle{ m^{\phi (n)}\equiv 1\pmod n }[/math],

כאשר [math]\displaystyle{ \phi (n) }[/math] היא פונקציית אוילר, המחזירה את מספר המספרים הטבעיים שזרים ל-n וקטנים ממש מ-n.

הוכחה

קבוצת המספרים הטבעיים שקטנים מ-[math]\displaystyle{ n }[/math] וזרים ל-[math]\displaystyle{ n }[/math] הם חבורה [math]\displaystyle{ U_n }[/math] ביחס לכפל מודולו [math]\displaystyle{ n }[/math].

סדר חבורה זו הוא [math]\displaystyle{ \phi (n) }[/math].

[math]\displaystyle{ U_n }[/math] חבורה סופית מסדר [math]\displaystyle{ \phi (n) }[/math] ולכן בחבורה זו מתקיים:

[math]\displaystyle{ g^{\phi (n)}=e }[/math] לכל [math]\displaystyle{ g\in U_n }[/math].

בחבורה זו איבר היחידה הוא 1.

כל השלב הבא, לא מובן לי לחלוטין:

לכן לכל [math]\displaystyle{ m }[/math] שזר ל-[math]\displaystyle{ n }[/math] קיים [math]\displaystyle{ 0\lt m_1\lt n }[/math] כך ש

[math]\displaystyle{ m^{\phi (m)}\equiv m_1^{\phi (m)}\equiv 1 \pmod n }[/math].

מישהו יכול להסביר את השלב הזה. כל השלב הזה לא מובן לי מתחילתו ועד סופו.

(בוצעו תיקוני לאטך, וקראתי לחבורת הזרים ל-n הקטנים ממנו בשמה, [math]\displaystyle{ U_n }[/math]). עד לשלב זה הוּכְחָה הטענה לכל [math]\displaystyle{ m\in U_n }[/math], דהיינו לכל m זר ל-n וקטן ממנו. אנו רוצים להרחיב את ההוכחה גם ל-m זר ל-n אבל גדול ממנו. הטענה היא שלכל [math]\displaystyle{ m }[/math] שכזה קיים [math]\displaystyle{ m_1\in U_n }[/math] שתואם לו, דהיינו מקיים [math]\displaystyle{ m \equiv m_1 \pmod n }[/math]. חיים רוזנר 05:36, 22 בדצמבר 2013 (EST)

כתבת ש"הטענה היא שלכל...." למה הטענה הזו נכונה?

לפי משפט החילוק, לכל [math]\displaystyle{ m }[/math] שלם קיימים [math]\displaystyle{ m_1 }[/math] ו-[math]\displaystyle{ q }[/math] שלמים כך ש- [math]\displaystyle{ m=qn+m_1 }[/math]. [math]\displaystyle{ m_1 }[/math] ו-[math]\displaystyle{ q }[/math] האלה הם יחידים אם קובעים [math]\displaystyle{ 0\le m_1 \lt n }[/math]. כעת, עלינו להראות כי אם [math]\displaystyle{ m }[/math] זר ל-[math]\displaystyle{ n }[/math], אז גם [math]\displaystyle{ m_1 }[/math] זר ל-[math]\displaystyle{ n }[/math]. וזה נובע מכך שההפרש ביניהם הוא כפולה של [math]\displaystyle{ n }[/math], ולכן השארית שלהם ב-[math]\displaystyle{ n }[/math] היא שווה. שארית זו, הלוא היא [math]\displaystyle{ m_1 }[/math] בעצמה, זרה ל-[math]\displaystyle{ n }[/math]. לסיכום, מצאנו כי [math]\displaystyle{ m_1 \in U_n }[/math]. חיים רוזנר 04:59, 5 בינואר 2014 (EST)

טעות בהגדרת מושגים בתרגיל 7?

בשורה האחרונה של תזכורות ומושגים נכתב: "משפט האיזומורפיזם הראשון: יהי [math]\displaystyle{ f: G\rightarrow H }[/math] אפימורפיזם. אזי ההעתקה המושרית [math]\displaystyle{ \hat{f}:G/kerf\rightarrow H }[/math] היא איזומורפיזם.

לשון אחר: יהי [math]\displaystyle{ f: G\rightarrow H }[/math] מונומרפיזם. אזי ההעתקה המושרית [math]\displaystyle{ \hat{f}:G/kerf\rightarrow Imf }[/math] היא איזומורפיזם."

בנוגע לשורה השניה: בהרצאה הניסוח היה אחר: אם [math]\displaystyle{ f: G\rightarrow H }[/math] הומומורפיזם. אזי ההעתקה [math]\displaystyle{ \hat{f}:G/kerf\rightarrow Imf }[/math] היא איזומורפיזם. כלומר מספיק ש-[math]\displaystyle{ f }[/math] היא הומו', היא לא צריכה להיות גם מונו'.

תודה על התיקון. העליתי נוסח מתוקן, בהתאם. חיים רוזנר 05:43, 22 בדצמבר 2013 (EST)

מה הדרך הנכונה להפעיל פרמוטציה אחת על השניה?

נניח שיש לי הרכבה של שתי פרמוטציות: [math]\displaystyle{ \alpha =(234), \beta=(351) }[/math] ואני רוצה לחשב את [math]\displaystyle{ \alpha\beta=(234)(351) }[/math]. את מי אני מפעיל קודם, את [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] או את [math]\displaystyle{ \beta }[/math]? כי אני מקבל תוצאות שונות בשני המקרים...

פרמוטציות, או תמורות, הן פונקציות. הפעולה שלהן היא הרכבה, וכמו כל הרכבה אנו מפרשים אותה מימין לשמאל. דהיינו, במקרה הכללי, [math]\displaystyle{ f \circ g (x)=f(g(x)) }[/math]. אם כן, גם את התמורות מפעילים מימין לשמאל. בדוגמא שלעיל, מפעילים קודם את [math]\displaystyle{ \beta }[/math] ואחריה את [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]. כך, לדוגמא, [math]\displaystyle{ \beta }[/math] מעבירה את [math]\displaystyle{ 1 }[/math] ל-[math]\displaystyle{ 3 }[/math], ואחריה [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] מעבירה את [math]\displaystyle{ 3 }[/math] ל-[math]\displaystyle{ 4 }[/math]. לכן ההרכבה מעבירה את [math]\displaystyle{ 1 }[/math] ל-[math]\displaystyle{ 4 }[/math]. ובנוסחא, [math]\displaystyle{ \alpha\circ\beta(1)=\alpha(\beta(1))=\alpha(3)=4 }[/math]. חיים רוזנר

תודה.

הרכבה של שתי פרמוטציות.

האם זה נכון שהרכבה של שתי פרמוטציות מאותה צורה (כלומר יש להם את אותו מבנה של מחזורים זרים) גם תיתן פרמוטציה מאותה הצורה? למשל: [math]\displaystyle{ \sigma_1=(a_1a_2a_3)(a_4a_5) }[/math] ו-[math]\displaystyle{ \sigma_2=(a_5a_6a_4)(a_8a_7) }[/math] (המחזורים זרים). האם [math]\displaystyle{ \sigma_1\sigma_2 }[/math] גם יהיה מהצורה הנ"ל (כלומר שני מחזורים באורך 2 ו-3 שזרים זה לזה)? אם כן, האם אפשר להשתמש בזה בתרגיל? (ואיפה אפשר למצוא לזה הוכחה?)

בדוק את המקרה [math]\displaystyle{ \sigma_1=(12),\sigma_2=(13) }[/math]. אנחנו אמרנו בשיעור התרגיל שעבור תמורה [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] נתונה, ועבור תמורה נוספת [math]\displaystyle{ \tau }[/math] כלשהי, לתמורות [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] ו-[math]\displaystyle{ \tau\sigma\tau^{-1} }[/math] אותו מבנה מחזורים. חיים רוזנר

תודה.

תאריך הגשה לתרגיל 8?

לא ציינתם למתי להגיש את תרגיל 8.

פורסם. תודה. חיים רוזנר 05:12, 6 בינואר 2014 (EST)

טעות בתרגיל 8, שאלה 8 סעיף ג.

נדרשנו להוכיח: יהי [math]\displaystyle{ \alpha=(a_1a_2...a_r) }[/math] מחזור, [math]\displaystyle{ r }[/math] ראשוני. אזי כל חזקה של [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] היא מחזור.

הטענה הזאת לא נכונה. עבור כל חזקה שהיא כפולה של [math]\displaystyle{ r }[/math], נקבל את פרמוטציית הזהות, והיא לא מחזור.

תמורת הזהות היא מחזור מאורך 1: היא מסובבת את האיבר(ים) בסדרה (1), ומשאירה במקומם את כל שאר האיברים בקבוצה. כך אנו מתייחסים אליה, ולכן היא מחזור. חיים רוזנר 05:53, 14 בינואר 2014 (EST)

טעות בתרגיל 8, שאלה 11?

צ"ל [math]\displaystyle{ D_n\cong S_{2n} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\geq 3 }[/math] ולא [math]\displaystyle{ D_n\cong S_{n} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\geq 3 }[/math]

יש לשים לב מבקשים להוכיח כי [math]\displaystyle{ D_n }[/math] איזומורפית לת"ח של [math]\displaystyle{ S_n }[/math], לא כי היא איזומורפית ל-[math]\displaystyle{ S_n }[/math]. שני האיזומורפיזמים שרשמת אינם נכונים עבור [math]\displaystyle{ n \ge 4 }[/math].

התכוונתי שזה אמור להיות [math]\displaystyle{ D_n }[/math] איזומורפית לתת"ח של [math]\displaystyle{ S_{2n} }[/math] ולא [math]\displaystyle{ D_n }[/math] איזומורפית לתת"ח של [math]\displaystyle{ S_n }[/math], כי ב-[math]\displaystyle{ D_n }[/math] יש [math]\displaystyle{ 2n }[/math] איברים.

ובכן, אמת. לפי משפט קיילי ניתן לטעון ש-[math]\displaystyle{ D_n }[/math] משוכנת ב-[math]\displaystyle{ S_{2n} }[/math], אבל השאלה בתרגיל היא כנראה לפי טענה אחרת, שמראה ש-[math]\displaystyle{ D_n }[/math] משוכנת גם ב-[math]\displaystyle{ S_n }[/math]. לטענתך, אינני סבור כי יש טעות בתרגיל זה. נראה לי שלמעשה יש קונצנזוס של שלושת המתרגלים בעניין. :( חיים רוזנר 06:06, 14 בינואר 2014 (EST)

שאלה על תרגיל בית 7 שאלה 2 סעיף 1

שואלים האם החבורות הבאות איזומורפיות: [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{11}X\mathbb{Z}_{11} }[/math] ו- [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{121} }[/math].

כמה שאלות כלליות לפני השאלה הספציפית הזו:

א'. מהם הדרכים להוכיח שחבורות הן איזומורפיות זו לזו?

ב'. מהם הדרכים להוכיח שחבורות אינן איזומורפיות זו לזו?

הדרך האולטימטיבית להראות ששתי חבורות איזומורפיות זו לזו היא למצוא איזומורפיזם ביניהן.

כעצה להגדרת הומומורפיזם, אם ידועה קבוצה יוצרת של אחת החבורות, מספיק להגדיר את הפונקציה על הקבוצה היוצרת, ולוודא שניתן להרחיב זאת להומומורפיזם. לאחר מכן, יש לבדוק שזה אכן חח"ע ועל, ואז הוא איזומורפיזם. כמובן, הפונקציה הזו צריכה לשמור על סדרי האיברים, ולכן אין טעם לבדוק הומומורפיזם שלוקח איבר מהקבוצה היוצרת לאיבר מסדר שונה, וכן הלאה.

הדרך להראות כי שתי חבורות אינן איזומורפיות זו לזו היא לשלול קיומו של איזומורפיזם שכזה.

יש מספר עצום של דרכים לוודא זאת. דרך אחת היא להראות שמספר האיברים מסדר x בחבורה זו שונה ממספרם בחבורה השנייה. דרך אחרת היא להראות שהאחת אבלית והשנייה לא. דרך שלישית היא להראות שמרכזי החבורות אינן איזומורפיים. וכן הלאה.

בגדול, כל מושג בקורס שהגדרתו התחילה במילים 'תהי G חבורה' צריך להישמר תחת איזומורפיזם, ולכן די למצוא מושג אחד כזה שבו יש שוני, ושללנו קיום איזומורפיזם. חיים רוזנר 06:47, 14 בינואר 2014 (EST)

ובנוגע לשאלה הספציפית הזו:

1. באיזו פעולה מדובר כאן?

2. בתשובות כתוב שב- [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{11}\times\mathbb{Z}_{11} }[/math] אין איבר מסדר 121. איך אני מראה שאין שם איבר מסדר 121?

3. למה מהעובדה ש-1 איבר יוצר של [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{121} }[/math], ומכך שב- [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{11}\times\mathbb{Z}_{11} }[/math] אין איבר מסדר 121, נובע שהחבורות אינן איזומורפיות?

אם אפשר בבקשה תשובות מפורטות. לא ברור לי הדברים האלה.

תודה!

1. שני הרכיבים של [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{11}\times\mathbb{Z}_{11} }[/math] כמו גם [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{121} }[/math] הן חבורות חיבוריות. ראה עוד פירוט לעיל בדף השיחה, לגבי החבורה Z10 X Z10.
2. אתה מראה שלכל איבר בחבורה קיים n קטן מ-121 כך שיתקיים [math]\displaystyle{ (a,b)^n=(e,e) }[/math].
3. אילו היה איזומורפיזם כזה, הוא היה שולח את 1, היוצר, לאיבר מאותו סדר ב-[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{11}\times\mathbb{Z}_{11} }[/math]. אבל אין איבר מאותו סדר ב-[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{11}\times\mathbb{Z}_{11} }[/math], ולכן אין איזומורפיזם כזה. חיים רוזנר 06:47, 14 בינואר 2014 (EST)

תרגיל 7 שאלה 2 סעיף 2

מראים שם מדוע החבורות [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{21} }[/math] ו-[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{7} }[/math] הן איזומורפיות.

אשמח להסבר מפורט על השאלות הבאות: (אין טעם להפנות אותי לתרגולים/הרצאות כי כבר קראתי שם וזה לא עוזר לי בשום אופן כאן).

1. איך מוכיחים של-[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{21} }[/math] יש יוצר יחיד? 1 הוא יוצר...בסדר. למה אבל 1 הוא היחיד?

התכוונתי לומר שהקבוצה [math]\displaystyle{ \{1\} }[/math] היא קבוצה יוצרת. מכיוון שיש קבוצה יוצרת בת איבר יחיד, החבורה הזו ציקלית. כמובן, יש עוד יוצרים לחבורה הזו.

2. למה היוצר של [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{7} }[/math] הוא (1,1)? הרי החבורה היא [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{7}=\left \{ 0,1,2 \right \}\times\left \{ 0,1,2,3,4,5,6 \right \} }[/math]. אפשר בבקשה להדגים לי איך בדיוק האיבר (0,2) למשל, נוצר ע"י (1,1)? או איך למשל האיבר (2,5) נוצר ע"י (1,1)?

ראשית, נראה כי (1,1) הוא יוצר: הוא איבר בחבורה מסדר 21, ולכן סדרו מחלק את 21. האפשרויות הן 1, 3, 7 ו-21. חישוב קל פוסל את שלוש האפשרויות הראשונות, ולכן הסדר הוא 21.

דרך אחרת היא לחפש פתרון למשוואה [math]\displaystyle{ n(1,1)=(a,b) }[/math], לכל a ו-b מתאימים. אם נפרק את הטענה לשני הרכיבים של מכפלת החבורות [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{7} }[/math], ונעבור לרישום מודולו, ונקבל את שתי המשוואות להלן: [math]\displaystyle{ n\equiv b \pmod 7 }[/math], [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{7} }[/math]. לפי משפט השאריות הסיני, משוואה זו פתירה.

בפרט, [math]\displaystyle{ 9(1,1)=(9,9)=(0,2) }[/math], וכן [math]\displaystyle{ 5(1,1)=(5,5)=(2,5) }[/math]. לסיכום, אם m ו-n זרים, אז החבורה [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{m}\times\mathbb{Z}_{n} }[/math] היא ציקלית, ולפי משפט השאריות הסיני, [math]\displaystyle{ (1,1) }[/math] הוא יוצר שלה.

3. למה (1,1) הוא יוצר יחיד של החבורה [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{7} }[/math]? איך מוכיחים שאין עוד?

התשובה לשאלה 1 יפה כוחה גם כאן.

4. האיזומורפיזם שהגדירו בתשובה לא מובן.

מה המשמעות של [math]\displaystyle{ [1]-\gt (1,1) }[/math] מה זה בדיוק [math]\displaystyle{ [1] }[/math]? זו הקבוצה שנוצרת ע"י 1? אם כן, עדיין לא ברור לי מה זה האיזומורפיזם הזה וכיצד הוא מוגדר. איזומורפיזם אמור להיות מוגדר כך שלכל איבר ב- Z21 מותאם ערך כלשהו.

הכוונה בסימון היא לאיבר 1 בחבורה [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{21} }[/math]. ניתן להתעלם מהסוגריים המרובעים. הם מציינים כאן שקילות מודולו 21, דהיינו [math]\displaystyle{ [22]=[1] }[/math], אבל זה עלול לסבך יותר מאשר לעזור.

האיזומורפיזם הוא זה שלוקח את 1 ל-[math]\displaystyle{ (1,1) }[/math]. מכיוון שהגדרנו אותו על קבוצת יוצרים, ניתן להרחיב העתקה זו להומומורפיזם לכל היותר באופן יחיד. במקרה שלנו, ההומומורפיזם הוא [math]\displaystyle{ f(n)=(n,n) }[/math]. אם לוקחים את התמונה תחת מודולו, בהתאם לרכיב, הרי שמתקבל הומומורפיזם. ניתן להראות כי הוא הפיך, לפי הטענה ש-(1,1) יוצר את [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{7} }[/math], ולכן זהו איזומורפיזם. חיים רוזנר 07:47, 14 בינואר 2014 (EST)

אם אפשר בבקשה הסברים מפורטים, זה יעזור המון.

ותודה.

שאלה על קוסטים וחבורות מנה

מגדירים העתקה כזו:

[math]\displaystyle{ f:G\rightarrow G/H }[/math] כך ש:

[math]\displaystyle{ f(g)=Hg }[/math].

[math]\displaystyle{ G }[/math] היא קבוצת המטריצות ההפיכות.

[math]\displaystyle{ H }[/math] היא קבוצת המטריצות עם דטרמיננטה 1

למה מטריצה בקבוצה [math]\displaystyle{ G }[/math] בעלת דטרמיננטה 3, תישלח לקוסט שמכיל מטריצות עם דטרמיננטה 3? לא ממש רואה את זה..אפשר הסבר?

נניח A מטריצה עם דטרמיננטה 3. אז יתקיים [math]\displaystyle{ f(A)=HA=\{BA\colon\det B =1\} }[/math]. הדטרמיננטה של מטריצה בקבוצה זו היא לפיכך [math]\displaystyle{ \det(BA)=\det(B)\det(A)=1\cdot 3=3 }[/math]. לכן התמונה היא כל המטריצות עם דטרמיננטה 3. חיים רוזנר 08:46, 14 בינואר 2014 (EST)

ושאלה נוספת..

אם אני מפעיל את f על איבריו של קוסט כלשהו, כלומר אני מקבל

[math]\displaystyle{ f(ha)=f(h)f(a)=?? }[/math]

כפי שברור מהנתון, H נמצאת בגרעין של f, ולכן לכל איבר [math]\displaystyle{ ha\in Ha }[/math] יתקיים [math]\displaystyle{ f(ha)=f(h)f(a)=Hh\cdot Ha=Ha }[/math]. חיים רוזנר 08:46, 14 בינואר 2014 (EST)

שאלה על תרגיל 7 שאלה 5

http://math-wiki.com/images/7/70/74as7a.pdf

ממשפט האיזומורפיזם הראשון, מתקיים ש [math]\displaystyle{ G/ker(f)\cong Imf }[/math]. (*)

מהאיזומורפיזם שמסומן ב-*, אפשר להסיק שמספר הקוסטים של [math]\displaystyle{ kerf }[/math] ב-[math]\displaystyle{ G }[/math] הוא כמספר איברי [math]\displaystyle{ Imf }[/math].

אבל למה אפשר להגיד ש- [math]\displaystyle{ \frac{|G|}{|kerf|}=|Imf| }[/math]? איך בדיוק זה נובע מלגראנז'?

ממה שידוע לי, מה שנובע מלגראנז, זה רק שהסדר של [math]\displaystyle{ kerf }[/math], מעצם היותה תת חבורה של [math]\displaystyle{ G }[/math], מחלק את הסדר של

[math]\displaystyle{ G }[/math].

למה בכלל נכון לומר ש- [math]\displaystyle{ \frac{|G|}{|kerf|}=\left | G/kerf \right | }[/math]?

המספר שמימין, מציין את מספר הקוסטים של הגרעין ב-[math]\displaystyle{ G }[/math], בעוד שהמספר משמאל מציין את מספר האיברים ב-[math]\displaystyle{ G }[/math]

חלקי מספר האיברים בגרעין. אלו לא שניי דברים שונים?

באופן כללי אם [math]\displaystyle{ N \vartriangleleft G }[/math] תת־חבורה נורמלית של חבורה סופית [math]\displaystyle{ G }[/math], אז [math]\displaystyle{ \left| G/N \right| = \frac{|G|}{|N|} }[/math]. אפשר לראות את ההוכחה של זה כשהצגנו את [math]\displaystyle{ G }[/math] בתור איחוד זר של קוסטים של [math]\displaystyle{ N }[/math], שהם שווים בגודלם.

תרגיל 7 שאלה 6.

http://math-wiki.com/images/7/70/74as7a.pdf

קודם כל בשאלה 6, סעיף 1.

ע"פ שאלה 5, הסדר של [math]\displaystyle{ \textrm{Im}f }[/math] מחלק את 3.

שאלה ראשונה:

בפתרון כתוב ש [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{18} }[/math] היא חבורה ציקלית ולכן יש לה תת חבורה יחידה מכל סדר.

לא ברור לי המשפט הזה. למה זה שהיא ציקלית, זה אומר שיש לה תת חבורה יחידה מכל סדר? זה שהיא ציקלית, זה אומר שקיים בה איבר

שיוצר את החבורה.

הכוונה במשפט "יש לה תת־חבורה יחידה מכל סדר" הוא שיש לחבורה ציקלית מסדר [math]\displaystyle{ n }[/math] תת־חבורה יחידה מכל סדר שמחלק את [math]\displaystyle{ n }[/math]. לכן אם גילו שיש לנו תת־חבורה מסדר 3 בחבורה ציקלית מסדר 18, אנחנו יודעים מי היא בדיוק.

שאלה שנייה

דבר שני שלא ברור לי, זה למה המידע הזה נחוץ עבור פתרון השאלה.

פתרון השאלה דרש לדעת מה היא התמונה, שהיא הרי תת־חבורה של החבורה בטווח.

שאלה שלישית

למה [math]\displaystyle{ \textrm{Im}f=\{0,6,12\} }[/math]?

ראינו בתרגול בהנתן חבורה ציקלית מסדר [math]\displaystyle{ n }[/math], איך למצוא תת־חבורה שלה מסדר [math]\displaystyle{ m }[/math] (כמובן כאשר [math]\displaystyle{ m|n }[/math]). במקרה הזה אחרי שרואים את התשובה, רואים כי [math]\displaystyle{ \{0,6,12\} }[/math] היא תת־חבורה, ושהיא מסדר 3. לפי השאלה הראשונה, היא תת־החבורה היחידה מסדר 3 של [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{18} }[/math].

שאלה רביעית

ביקשו למצוא את כל הת"ח של [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{18} }[/math] מסדר 3. למה אין חבורות כאלה?

ראה לעיל, שאכן יש בדיוק אחת כזו.

כתיבת תמורה כמכפלה של מחזורים זרים.

האם כל רכיב בתמורה המקורית, חייב להופיע כשכותבים אותה כמכפלה של מחזורים זרים, גם אם בתמורה המקורית הוא עובר לעצמו?

לדוגמה, אם נתונה התמורה:

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 \\ 3 &7 &5 &4 &1 &10 &9 &2 &8 &6 \end{pmatrix} }[/math]

4 עובר לעצמו.

אני רוצה לרשום אותה כמפלה של מחזורים זרים. החלק שקצת פחות ברור לי, זה איך לטפל ב-4. האם שתיי התשובות הבאות נכונות, או רק אחת מהן?

תשובה 1:

[math]\displaystyle{ (135)(2798)(4)(6 10) }[/math]

תשובה 2:

[math]\displaystyle{ (135)(2798)(6 10) }[/math]

כלומר בתשובה הראשונה כתבתי את ה-4 לבד בתוך סוגריים.

בתשובה השנייה התעלמתי ממנו, כי הוא עובר לעצמו.

תודה על העזרה.

שתי התשובות נכונות, אבל תשובה 2 היא יותר מקובלת. כמו שראינו בכיתה, נהוג להשמיט "מחזורים מאורך 1" בכתיב של מחזורים זרים. זו אחת הסיבות שהוא יותר חסכוני מהכתיב של המטריצה למעלה.

(הערה טכנית: אם אתה מדפיס תמורות, כדאי לשמור על רווחים בין האיברים בכל מחזור, למשל [math]\displaystyle{ (6\ 10) }[/math], או להוסיף פסיקים.)

שאלה על תמורות

נתונה החבורה

{[math]\displaystyle{ {{Id,(12)(34),(13)(24),(14)(23)}} }[/math]}

האם החבורה הזו אבלית? אם כן, מדוע?

היא אבלית, וראינו אותה בכיתה בשם חבורת קליין (עוד בויקיפדיה: חבורת הארבעה של קליין).

יש כאן איזהו משפט שאפשר להסתמך עליו? אם כן, מה הניסוח המדויק שלו?

ועוד שתיי שאלות נוספות:

יש דרך להראות שהחבורה סגורה לפעולת ההרכבה מבלי להראות זאת על כל זוג איברים?

ידוע שהרכבה עם הזהות תשאיר אותנו בחבורה. לשאר האיברים אפשר לשים לב שכולם מסדר 2, ולכן מכפלה של איבר עם עצמו תתן את הזהות. מכפלה של שני איברים שונים (שאינם הזהות) תתן את האיבר השלישי [math]\displaystyle{ (x\ y)(z\ w)\cdot(x\ z)(y\ w)=(x\ w)(y\ z) }[/math].

למה זה ששאר האיברים מסדר 2, אומר שאם אכפיל כל שניים מהאיברים מסדר 2, אקבל את הזהות?

אלו שני דברים שונים: אם איבר הוא מסדר 2, אז לפי הגדרה של סדר של איבר, אם תכפיל אותו בעצמו תקבל את איבר היחידה (העתקת הזהות במקרה זה). בנוסף, במקרה הספציפי של החבורה הנ"ל, מכפלה של שני איברים שונים מסדר 2 היא האיבר השלישי מסדר 2 (ולא העתקת הזהות).

איך מראים שקיים הפכי ושהוא שייך לקבוצה?

כל האיברים (פרט ליחידה) הם מסדר 2.

אז למה זה אומר שלכל איבר קיים הפכי ושההפכי שייך לחבורה?

מה הוא האיבר ההופכי של איבר מסדר 2?

שאלה לגבי מיון חבורות אבליות שראינו בתרגול

מהתרגול: תהי G חבורה אבלית מסדר [math]\displaystyle{ 2^2\cdot 5^2=100 }[/math], אז G איזומורפית לאחת מהחבורות הבאות:

[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{4}\times \mathbb{Z}_{25} }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{2}\times \mathbb{Z}_{2}\times \mathbb{Z}_{25} }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{2} \times\mathbb{Z}_{2}\times \mathbb{Z}_{5}\times \mathbb{Z}_{5} }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{4}\times\mathbb{Z}_{5} \times\mathbb{Z}_{5} }[/math]

אבל מה לגבי: [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{2}\times \mathbb{Z}_{10}\times \mathbb{Z}_{5} }[/math] לדוגמא? למה זו לא חבורה נוספת ש-G יכולה להיות איזומורפית אליה?

כמו שהראינו בכיתה: [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{nm} \cong \mathbb{Z}_{n} \times \mathbb{Z}_{m} }[/math] אם [math]\displaystyle{ (n,m)=1 }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{10} \cong \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{5} }[/math], כלומר החבורה שאתה מציע איזומורפית ל-[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{2} \times\mathbb{Z}_{2}\times \mathbb{Z}_{5}\times \mathbb{Z}_{5} }[/math].

חבורת מנה של חבורה אבלית היא אבלית

[math]\displaystyle{ G }[/math] אבלית ו- [math]\displaystyle{ H }[/math] תת חבורה נורמלית של [math]\displaystyle{ G }[/math].

האם נכון לומר שחבורת המנה [math]\displaystyle{ G/H }[/math] אבלית?

אם כן למה?

(לא מתרגל)

כן.

תוכל/י למצוא לזה הוכחה כאן: http://www.proofwiki.org/wiki/Quotient_Group_of_Abelian_Group_is_Abelian.

תודה רבה ללא מתרגל. חיים רוזנר 07:06, 20 בינואר 2014 (EST)

זקוק להבהרה ממי שמחבר/בודק את התרגילים

לא ברור לי משהו. מה הטעם ב"שאלות אתגר" ו"שאלות רשות", אם אני לא מקבל עליהן קרדיט נוסף?

מדוע אני צריך להשקיע מהזמן והמרץ שלי בשביל לענות עליהן?

מילא שהן לא נבדקות אם אין לי בכלל שגיאות, אבל אם הופחתו לי נקודות על שגיאות בשאלות החובה - מתוך הגינות בסיסית כלפיי (וכלפי כל מי שעשה אותן) - הייתי מצפה שיבדקו לי גם את שאלות הרשות ויוסיפו לי נקודות בהתאם.

אשמח לתגובה בנושא הזה.

אינך צריך להשקיע זמן ומרץ בפתרון שאלות אלו. מנגד - גם הבודקים אינם צריכים. זה איננה סיבה שלא נאפשר לסטודנטים בקורס קצת ליהנות. חיים רוזנר 07:06, 20 בינואר 2014 (EST)

אפשר תגובה פחות צינית מזאת?

כמו למשל, איך ואיפה אפשר לערער על העניין הזה?

הרכבת תמורות

האם החישובים האלו נכונים?

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 &2 &3 &4 \\ 2 &4 &1 &3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 &2 &3 &4 \\ 2 &3 &4 &1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 &2 &3 &4 \\ 2 &3 &4 &1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 &2 &3 &4 \\ 1 &3 &2 &4 \end{pmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 &2 &3 &4 \\ 2 &4 &1 &3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 &2 &3 &4 \\ 2 &4 &1 &3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 &2 &3 &4 \\ 4 &3 &2 &1 \end{pmatrix} }[/math]

(לא מתרגל)

כן. וכדאי לך להשתמש בכתיב של מחזורים כדי שיהיה לך יותר נוח להפעיל פרמוטציות אחת על השניה.

תודה רבה ללא מתרגל. חיים רוזנר 07:06, 20 בינואר 2014 (EST)

תמורות

למה [math]\displaystyle{ (13)(25)(47968)=(25)(47968)(13) }[/math]?

יש משפט שאומר שברגע שיש לי מכפלה של מעגלים, אז אני יכול לרשום אותם באיזה סדר שאני רוצה?

(לא מתרגל)

כן, רק אם הם זרים.

תוכל/י למצוא לזה הוכחה כאן: http://www.proofwiki.org/wiki/Disjoint_Permutations_Commute

אתה יכול לתת לינק לעמוד הראשי שדרכו אתה רואה את ההוכחות האלה?

כן, www.google.co.il :-)

תודה רבה ללא מתרגל. איך מצאת את הקישור ל-Google? חיים רוזנר 07:06, 20 בינואר 2014 (EST)

תמורות וסימן של תמורות

שלום

כמה שאלות..

א'.

אני רוצה לכתוב את התמורה הבאה כמכפלה של מעגלים זרים: [math]\displaystyle{ sigma=(154)(23)(14879)(13) }[/math].

הגעתי לתשובה הזו: [math]\displaystyle{ (123)(48795) }[/math] . זה נכון?

ב'.

מה הזוגיות של sigma? ואיך מגיעים לתשובה?

זה מה שחשבתי לעשות:

לרשום את sigma, (או את הצורה של sigma כמכפלה של מחזורים זרים), בתור מכפלה של חילופים.

למשל ארשום את sigma כמכפלה של חילופים. (פשוט כל מעגל ב-sigma ארשום כמכפלת חילופים) וזה מה שמתקבל:

[math]\displaystyle{ (14)(15)(23)(19)(17)(18)(14)(13) }[/math]. ישנם 8 חילופים. לכן sigma תמורה זוגית.

בצורה דומה, אם אעשה את אותו דבר, רק שהפעם על הצורה של sigma כמכפלת מחזורים זרים, אקבל:

[math]\displaystyle{ (13)(12)(45)(49)(47)(48) }[/math]. ישנם 6 חילופים. לכן אפשר להסיק על sigma שהיא תמורה זוגית.

מה שכתבתי כאן נכון?

ג'.

ובכלל..באופן כללי..מהן הדרכים לבדוק זוגיות של תמורה? לא ממש הבנתי את זה מהשיעורים.

עד כמה שזכור לי, קיימות מספר דרכים:

דרך אחת, היא לרשום אותה כמכפלה של חילופים, ואז אם מספר החילופים זוגי, אז התמורה זוגית, ואם מספר החילופים אי זוגי, אז התמורה

אי זוגית.

דרך שנייה, זה משהו עם מכפלת הסימנים של כל מחזור או משהו כזה. ממש לא הבנתי את זה. אפשר בקשה לומר מה בדיוק אומר המשפט הזה

ולהסביר אותו על דוגמה מסויימת?

תודה רבה.

(לא מתרגל)

א. כן.

ב. כן.

ג. למיטב הבנתי, הזוגיוּת של פרמוטציה נקבעת על פי מספר האינברסיות (Inversions).

באופן לא פורמלי, אינברסיה היא כל מקום בו מספר מופיע לפני מספר קטן ממנו בפרמוטציה.

אם מספר האינברסיות זוגי, אז הפרמוטציה תיקרא זוגית. אם מספר האינברסיות אי זוגי, הפרמוטציה תיקרא אי זוגית.

לכן, דרך אחת (ומייגעת) למצוא אם פרמוטציה היא זוגית, זה ע"י כתיבת הפרמוטציה בכתיב של מטריצה ומתיחת קווים בין כל שני מספרים זהים שלא נמצאים במקומם "הטבעי", ואז לספור כמה הצטלבויות בין הקווים קיימות.

דרך נוספת היא כמו שאמרת - לפרק לחילופים, אם מספר החילופים זוגי, הפרמוטציה זוגית, אם מספר החילופים אי זוגי, הפרמוטציה אי זוגית.

הדרך הפשוטה ביותר (אם כי קצת מבלבלת) היא להסתמך על אורך המחזור.

אם אורך המחזור זוגי, אז הפרמוטציה אי-זוגית, ואם אורך המחזור אי-זוגי, הפרמוטציה זוגית.

דרך קלה לזכור את זה היא זאת; אם [math]\displaystyle{ \sigma=(a_1,a_2...a_k) }[/math] אז [math]\displaystyle{ sign(\sigma)=(-1)^{k-1} }[/math]

מקווה שזה עזר, ובכל מקרה כדאי לקחת בעירבון מוגבל את מה שכתבתי ולהמתין לתשובה של מתרגל.

אפשר להסביר לי את זה על דוגמה? למשל לתת דוגמה של חישוב זוגיות של תמורה שמורכבת ממחזור אחד, וחישוב זוגיות של תמורה שמורכבת מכמה מחזורים??

דוגמא לחישוב זוגיות של התמורה [math]\displaystyle{ \sigma=(51423) }[/math]:

האורך של המחזור הוא 5, לכן [math]\displaystyle{ sign(\sigma)=(-1)^{5-1}=1 }[/math], לכן התמורה זוגית.

חישוב אחר: [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] בכתיב של טרנספורמציות היא: [math]\displaystyle{ \sigma=(51423)=(53)(52)(54)(51) }[/math], יש 4 חילופים, כלומר 4 אינברסיות, כלומר מספר זוגי של אינברסיות, ולכן התמורה זוגית.

דוגמא לחישוב זוגיות של התמורה [math]\displaystyle{ \beta=(1234)(567) }[/math]:

כאן יש שני מחזורים זרים, הראינו בתרגול שהמיפוי [math]\displaystyle{ sign }[/math] הוא הומומורפיזם של חבורות, לכן מתקיים:

[math]\displaystyle{ sign(\beta)=sign((1234)(567))=sign(1234)sign(567)=(-1)^{4-1}(-1)^{3-1}=-1 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \beta }[/math] היא תמורה אי זוגית.

חישוב אחר: [math]\displaystyle{ \beta }[/math] בכתיב של טרנספורמציות: [math]\displaystyle{ \beta=(1234)(567)=(14)(13)(12)(57)(56) }[/math], יש 5 טרנספורמציות, כלומר מספר אי זוגי של אינברסיות, ולכן [math]\displaystyle{ \beta }[/math] תמורה אי זוגית.

תודה רבה ללא מתרגל. השיטה שאני מציע להשתמש בה היא לפי מספר המחזורים מאורך זוגי: אם יש מספר זוגי של מחזורים מאורך זוגי, אז התמורה זוגית, אם יש מספר אי זוגי של מחזורים מאורך זוגי אז התמורה אי זוגית. צורת חישוב זו תקפה עבור כל הצגה של תמורה כמכפלת מחזורים, אין צורך שהם יהיו זרים. מחזורים מאורך אי זוגי אינם מעלים ואינם מורידים. חיים רוזנר 07:06, 20 בינואר 2014 (EST)

הרכבת תמורות: מה הטעות שלי?

נתונה תמורה כזו: [math]\displaystyle{ (12)(13) }[/math].

אני רוצה לרשום אותה כמכפלה של מעגלים זרים.

1 עובר ל-3 (בסוגריים הימניים). 3 עובר ל-1 (בסוגריים הימניים), שעובר ל-2 (בסוגריים השמאליים).

לכן סה"כ 1 עובר ל-2.

מה הטעות בחישוב הזה???

(לא מתרגל)

1 עובר ל-3 בפרמוטציה הימנית, אבל בשמאלית - כיוון ש-3 לא מופיע במחזור - 3 נשלח לעצמו.

לכן סה"כ, לאחר הפעלת שתי הפרמטוציות, 1 עובר ל-3.

ואז 3 עובר ל-1 בפרמוטציה הימנית, ובשמאלית, 1 עובר ל-2, וסה"כ 3 עובר ל-2.

לכן ההצגה של הרכבה זו כמחזור היא [math]\displaystyle{ (132) }[/math]

תודה...תראה..בעקרון מובן לי שזה החישוב הנכון...מה שכתבת...מה שלא ברור לי, זה למה החישוב שאני הצעתי לא נכון.

למרות שעכשיו נראה לי שהבנתי מה לא נכון אצלי...ברגע ש-1 עובר ל-3 בפרמוטציה הימנית, אי אפשר לומר ש-3 עובר ל-1 בפרמוטציה הימנית.

כי ברגע שאיבר עובר לאיבר אחר בפרמוטציה הימנית, מה שצריך לבדוק, זה לאן האיבר האחר עובר בשמאלית. ולא לאן הוא עובר בימנית.

בגלל שזו הרכבת פונקציות. הימנית שולחת איבר, לאיבר אחר, ואז צריך לראות לאן השמאלית שולחת את האיבר האחר.

כנראה שזו הטעות שלי.

תודה רבה ללא מתרגל. אכן, כשרושמים הרכבת פונקציות, ובפרט הרכבת תמורות, הכוונה היא להפעיל כל פונקציה פעם אחת. לכן בדוגמא שלפנינו מפעילים את המחזור הימני, 1 עובר ל-3, ואז ממשיכים מחזור אחד שמאלה. חיים רוזנר 07:06, 20 בינואר 2014 (EST)

תמורות

איברים [math]\displaystyle{ a,b \in Sn }[/math] ייקראו צמודים אם קיים [math]\displaystyle{ g \in Sn }[/math] כך ש-

[math]\displaystyle{ gag^{-1}=b }[/math].

היו כמה עובדות שהוזכרו בתרגול שלא ברורות לי בכלל.

דבר ראשון- שתיי תמורות צמודות אם"ם יש להן אותו מבנה מחזורים.

מה זה אומר במילים פשוטות?

מה הניסוח של הטענה הפורמלית?

כל תמורה ניתן לרשום כהרכבה של מחזורים זרים. רישום זה הוא יחיד, עד כדי סדר המחזורים וסדר האיברים במחזור. מבנה המחזורים של תמורה הוא מספר המחזורים שלה מכל אורך. לדוגמא, עיין התשובה הבאה.

דבר שני- נתנו את הדוגמאות הבאות:

[math]\displaystyle{ (15), (125) }[/math] לא צמודות.

[math]\displaystyle{ (34)(25) , (12)(56) }[/math] צמודות.

אפשר בבקשה להראות למה בדוגמה הראשונה התמורות צמודות ובשנייה לא?

כאמור בתשובה לשאלה הקודמת. מבנה המחזורים של התמורה [math]\displaystyle{ (1\;5) }[/math] הוא מחזור אחד מאורך 2. לעומתו, מבנה המחזורים של [math]\displaystyle{ (1\;2\;5) }[/math] הוא מחזור אחד מאורך 3. ניתן לראות כי מספר המחזורים מאורך 3 בשתי התמורות הוא שונה, ומשכך הן אינן צמודות.

נביט כעת הדוגמא השניה. מבנה המחזורים של התמורות האלו הוא זהה: יש לכל אחת שני מחזורים מאורך 2, ואפס מחזורים מאורך גדול יותר. לכן, לכל [math]\displaystyle{ k\gt 1 }[/math], מספר המחזורים מאורך [math]\displaystyle{ k }[/math] הוא זהה בשתי התמורות. נאמר שמבנה המחזורים שלהן הוא זהה, ולכן הן צמודות.

לתשומת לבכם, ניתן להסתפק בכל המחזורים מאורך >1, כי אנחנו רגילים שלא לרשום בכלל מחזורים מאורך 1.

דבר שלישי- הופיע המשפט הזה:

[math]\displaystyle{ \sigma \in Sn }[/math] תמורה. [math]\displaystyle{ \gamma \in Sn }[/math] מחזור. [math]\displaystyle{ \gamma =(a_{1}a_{2}....a_{r}) }[/math].

[math]\displaystyle{ \sigma \gamma\sigma ^{-1}=(\sigma (a_{1})...\sigma (a_{r})) }[/math].

יש איזשהו הסבר אינטואיטיבי למשפט הזה? איך מוכיחים אותו?

ההוכחה למשפט הזה היא באמצעות בחינת התמונה של [math]\displaystyle{ \sigma (a_i) }[/math] תחת התמורה [math]\displaystyle{ \sigma \gamma\sigma ^{-1} }[/math]. נסו לחשוב בעל פה מה קורה כאן.

דבר רביעי- למה המשפט הבא נכון:

אם [math]\displaystyle{ \sigma =\sigma _{1}\sigma _{2}...\sigma _{k} }[/math] אז

[math]\displaystyle{ g\sigma g^{-1}=g\sigma _{1}...\sigma _{k}g^{-1}=(g\sigma _{1}g^{-1})...(g\sigma _{k}g^{-1}) }[/math]

כמו בטור טלסקופי. באגף ימין יש [math]\displaystyle{ k-1 }[/math] זוגות צמודים של [math]\displaystyle{ g^{-1}g }[/math], אבל כידוע ביטוי זה הוא תמורת הזהות, ולכ ניתן לצמצם אותו בכל מופע שלו. שימו לב לכך שהשתמשנו כאן באסוציטיביות. חיים רוזנר 07:21, 20 בינואר 2014 (EST)

תמורות

התמורות [math]\displaystyle{ (12) }[/math] ו- [math]\displaystyle{ (34)(12) }[/math] הן מסדר 2 כי אחת באורך 2 והשנייה היא מכפלה של מחזורים זרים שכל אחד מהם מאורך 2, והכפולה המשותפת המינימלית של 2,2 היא 2.

אבל שתיי התמורות האלה לא צמודות ב-[math]\displaystyle{ S4 }[/math] היא יש להן מבנה מחזורים שונה.

מה זה אומר שיש להן מבנה מחזורים שונה? איך מוכיחים שיש להן מבנה מחזורים שונה? האם הדרך היחידה להראות שתמורות לא צמודות, היא להראות שיש להן מבנה מחזורים שונה?

(לא מתרגל)

"יש להן מבנה מחזורים שונה" זה פחות או יותר מה שאמרת, הראשונה היא מחזור אחד, והשניה היא שני מחזורים זרים (זה כבר מספיק כדי לפסוק שהמבנה שלהן שונה).

ובאופן כללי, שתי תמורות הן מאותו מבנה מחזורי אם יש להן את אותו מספר מחזורים מאותו אורך.

זה שיש לשני איברים את אותו סדר, זה לא אומר שהם צמודים (אבל ההיפך הוא נכון).

תודה רבה ללא מתרגל. הגדרה למושג מבנה מחזורים מופיעה במענה לשאלה הקודמת. חיים רוזנר 07:30, 20 בינואר 2014 (EST)

הבהרה לגבי משפט הבסיס

בס"ד

שלום אשמח לדעת אם הבנתי נכון : בעצם כאשר יש לי G חבורה אבלית והיא מסדר : P^n1*P^n2 אז אני מוצא את כל האפשרויות למכפלות Z1*Z2*Z3 שאולי הם איזומורפיות ל G ורק אחת מהחבורות תהיה איזומורפית לחבורה G שלי . ובנוסף בינם לבין עצמם הם לא איזומורפיות . נכון ? תודה!

לצערי, אינני מבין את הניסוח שלך. אבל כאן אפשר לראות ניסוח מדויק של המשפט. אנחנו דיברנו בכיתה רק על חבורות סופיות, ולכן ניתן לזרוק את [math]\displaystyle{ r }[/math] מהחשבון. אנחנו הצגנו את הגרסא של מחלקים אלמנטריים. הדוגמאות המופיעות בהמשך שם הן די טובות. חיים רוזנר 07:52, 20 בינואר 2014 (EST)

תרגיל 7 שאלה 2 סעיף 3

מה הפעולה ב-[math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] ומה הפעולה ב-[math]\displaystyle{ \mathbb{R}^\ast }[/math]? ומדוע?

הפעולה ב-[math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] היא חיבור, וב-[math]\displaystyle{ \mathbb{R}^\ast }[/math] כפל.

שאלה שנייה...למה ב-R כל איבר שונה מאפס, הוא מסדר אינסופי?

'העלאה בחזקה' בכתיב חיבורי פירושה הכפלה במספר שלם. לפיכך, אנו מחפשים פתרונות שלמים למשוואה [math]\displaystyle{ n\cdot r=0 }[/math] עבור [math]\displaystyle{ r\in\mathbb{R} }[/math]. חיים רוזנר 07:52, 20 בינואר 2014 (EST)

תרגיל 7 שאלה 2 סעיף 4

מה ההסבר לכך שב- [math]\displaystyle{ S_4 }[/math] אין איבר מסדר 12?

כל איבר הוא מקסימום מסדר 4? למה?

סדר של איבר בחבורת תמורות הוא הכפולה המשותפת המינימלית של אורכי המחזורים שלו, בהצגה על ידי מחזורים זרים. זאת אומרת שאם התמורה מתפרקת למחזורים זרים באורכים [math]\displaystyle{ r_1,r_2,\ldots,r_k }[/math] אז הסדר שלה הוא [math]\displaystyle{ lcm(r_1,r_2,\ldots,r_k }[/math]. כעת, כל שנותר הוא לעבור על כל האפשרויות למבנה מחזורים ב-[math]\displaystyle{ s_4 }[/math], ולמצוא את סדרי האיברים בה. 4 היא התשובה המקסימלית.

הערה: שים לב לכך שדי לבדוק את הסדר לפי מבנה המחזורים של התמורה, ואין צורך לדעת מה התמורה בעצמה. אנחנו הראנו בחבורה זו חמישה מבני מחזורים אפשריים. אילו סדרים מתאימים, אפוא, ליותר ממבנה מחזורים אחד? חיים רוזנר 07:52, 20 בינואר 2014 (EST)

בנוגע לאותו עניין...מספר שאלות:

1.

ב- S4 מבני המחזורים האפשריים הם:

(-)(-)(-)(-) כל איבר ממבנה מחזורים זה, הוא מסדר 1

(-)(-)(--) כל איבר ממבנה מחזורים זה, הוא מסדר 2

(--)(--) כל איבר ממבנה מחזורים זה, הוא מסדר 2

(---)(-) כל איבר ממבנה מחזורים זה, הוא מסדר 3

(----) כל איבר ממבנה מחזורים זה, הוא מסדר 4. ?

כן.

2.

בעצם כל איבר מ-S4, שייך בדיוק לאחד ממבני המחזורים האלו?

כן. ניתן לספור את כולם ולהגיע ל[math]\displaystyle{ 4! }[/math].

3.

האם נכון לומר שכל אחד ממבני המחזורים האלו, מהווה מחלקת שקילות?

למחלקות האלו אנו קוראים מחלקות צמידות, בשל כך שהן מוגדרות על ידי יחס הצמידות. שים לב לא להתבלבל בין מחלקות צמידות למחלקות ימניות או שמאליות, המוגדרות על פי יחס שונה בתכלית. לשאלתך, כל מבנה מחזורים שכזה הוא מחלקת צמידות ב-[math]\displaystyle{ S_4 }[/math].

4.

אם התשובה לשאלה הקודמת חיובית, אז זה אומר שיתכן שיהיו שתיי מחלקות שקילות שונות, שהאיברים בשתיהן, הם מאותו סדר?

למשל במקרה של S4, יש שתיי מחלקות שונות, שהאיברים בשתיהן, הם מסדר 2?

כן. ובכך ענית לשאלה שהופיעה בסוף ההערה: הסדר 2 מתאים לשתי מחלקות צמידות שונות.

5.

אפשר להדגים למשל על שניי המבנים הבאים ב-S4, כיצד מוצאים כמה איברים יש מכל מבנה:

(--)(--) , (---)(-)

בוחרים אילו איברים יהיו במחזור מאורך מסוים, ואז בוחנים כמה אפשרויות יש לסדר איברים אלו במחזור, מתוך הנחה שהנמוך ביותר הוא המופיע ראשון (כי לכל מחזור מאורך r יש r דרכים שקולות כיצד לרשום אותו). ואז עוברים למחזור הבא, וכן הלאה.

אז למשל אם אסתכל על (---)(-), אז ישנם [math]\displaystyle{ \frac{\binom{4}{3}}{3} }[/math] איברים ב-S4 בעלי מבנה מחזורים כזה?

לא. חישבת אל נכון את מספר האפשרויות לבחור שלושה איברים שיופיעו במחזור. זה אכן [math]\displaystyle{ \binom{4}{3} }[/math]. נניח שהאיבר הראשון במחזור זה הוא הקטן ביותר, אז נשארו עוד [math]\displaystyle{ 3-1 }[/math] איברים לקבוע את הסדר שלהם, ולזה יש [math]\displaystyle{ (3-1)! }[/math] אפשרויות. בסך הכל מתקבלות [math]\displaystyle{ \binom{4}{3}(3-1)! }[/math] אפשרויות. כעת צריך לעבור למחזור הבא. אבל הוא מאורך 1, ולכן יש רק אפשרות אחת בשבילו. חיים רוזנר 13:19, 21 בינואר 2014 (EST)

6.

לא ממש הבנתי את השאלה שלך. שאלת איזה מחזורים מתאימים ליותר ממבנה מחזורים אחד. אולי תוכל להדגים על משהו ספציפי?

ענית על זה ב-4.

ותודה רבה על התשובות.

המברך מתברך, ולא הביישן למד. חיים רוזנר 18:52, 20 בינואר 2014 (EST)

תת חבורה הנוצרת על ידי 2 איברים איך עושים את זה ?

בס"ד

נניח אני רוצה למצוא את התת חבורה הנוצרת על ידי (9,10) (2,20) של החבורה Z12*Z40 . איך אני עושה את זה ?

תודה רבה!

בהתחשב בכך שהחבורה אבלית, אז אם היא נוצרת על ידי [math]\displaystyle{ g,h }[/math] הרי שהיא [math]\displaystyle{ \{g^nh^m\colon n,m\in\mathbb{Z}\} }[/math]. אתה יכול גם לנסות לחשב באופן ידני. חיים רוזנר 07:52, 20 בינואר 2014 (EST)

מחלקת צמידות יכולה להיות תת חבורה?

בס"ד שלום רב. אשמח בבקשה לדעת האם מחלקת צמידות יכולה להיות תת חבורה של מחלקת צמידות אחרת או תת חבורה של החבורה כללית אחרת ? אני שואל את זה כי אני חושב שלא מתקיים הפיכות לאיברים ולכן היא לא יכולה להיות תת חבורה. אפשר בבקשה הבהרה בנושא ? תודה רבה :)

תשובה: לא. לכל האיברים במחלקת צמידות יש אותו סדר, כי [math]\displaystyle{ (gag^{-1})^n=ga^ng^{-1} }[/math]. לכן, עבור [math]\displaystyle{ a }[/math] שאיננו היחידה, במחלקה [math]\displaystyle{ [a] }[/math] לא ניתן למצוא את איבר היחידה [math]\displaystyle{ e }[/math]. משכך, כל מחלקת צמידות איננה חבורה, לבד [math]\displaystyle{ [e]=\{e\} }[/math]. זו, כמובן, החבורה הטריוויאלית.

נזכיר כאן שהגדרת תת-חבורה היא חבורה שהיא גם תת-קבוצה של חבורה אחרת, עם אותה הפעולה. לכן, אחרי שהוכחנו שמחלקת צמידות איננה חבורה, היא גם לא תת-חבורה.

יש מקרים שבהם מחלקת צמידות סגורה להופכי, לדוגמא: המחלקה של איבר מסדר 2 בחבורה אבלית. עדיין זו איננה חבורה, בגלל הטיעון הכללי שאמרתי קודם. אבל כדי שזו לא תהיה תת-חבורה, ולפי הקריטריון לת"ח, אנחנו יודעים שהיא לא סגורה לאחת משתי הפעולות: הופכי או הפעולה הבינארית. לדעתי צריכה ליות הוכחה שכל מחלקתצמידות איננה סגורה לפעולה, אבל אני לא מוצא אותה עכשיו.

לתשומת לבכם, עדיין יש להוכיח את הטענה הראשונה בתשובה זו: לכל האיברי במחלקת צמידות יש אותו סדר. גם השויון שהבאתי טעון הוכחה. חיים רוזנר 18:14, 20 בינואר 2014 (EST)

חישוב אקספוננט של [math]\displaystyle{ D_{10} }[/math]

כיצד לחשב את האקספוננט של [math]\displaystyle{ D_{10} }[/math]? יש בה 20 איברים! יש דרך יעילה?

מתוך היכרות עם החבורה הדיהדרלית [math]\displaystyle{ D_n }[/math], אנו יודעים שיש בה שני סוגי איברים: שיקופים וסיבובים. הסיבובים הם ת"ח ציקלית, ולכן התרומה שלהם לאקספוננט היא n. כל השיקופים הם מסדר 2, ולכן הם תורמים את הגורם 2. ביחד קיבלנו [math]\displaystyle{ exp(D_n)=lcm(2,n) }[/math]. אין לי שיטה גנרית לחבורה כללית. חיים רוזנר 13:31, 21 בינואר 2014 (EST)

שלוש שאלות על חבורות ציקליות

1. למה לומר ש- [math]\displaystyle{ C_{n}\times C_{m} }[/math] חבורה ציקלית, שקול ללהגיד ש- [math]\displaystyle{ C_{m}\times C_{n}\cong C_{mn} }[/math]?
2. רוצים להראות שאם [math]\displaystyle{ C_{n}\times C_{m} }[/math] ציקלית, אז [math]\displaystyle{ (m,n)=1 }[/math]. מניחים בשלילה ש-[math]\displaystyle{ (m,n)=d\gt 1 }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ m=dm' }[/math] ו- [math]\displaystyle{ n=dn' }[/math]. למה בהכרח מתקיים גם ש- [math]\displaystyle{ (m',n')=1 }[/math]?
3. אם נתונה חבורה, וצריך לדעת האם היא ציקלית, אז אפשר למשל לבדוק האם קיים איבר מסדר החבורה. נניח מדובר בחבורה בת 5 איברים. אז בודקים את הסדר של כל אחד מהאיברים. שתי שאלות בעניין הזה:
   1. מה יהיה לכל היותר, הסדר של כל איבר בחבורה?
   2. ושאלה שנייה...אם נניח מצאתי שהסדר של איבר כלשהו הוא n, אז אם אמשיך לעלות אותו בחזקות שבאות אחרי n, כלומר בחזקות n+1 n+2...וכו', אז אני אחזור על התוצאות הקודמות? כלומר זה יצא לי כאן משהו מחזורי...? אם כן, אפשר להסביר למה?

תודה!!!

1. כי שתי החבורות האלו ציקליות מאותו סדר, וכל החבורות הציקליות מסדר k כלשהו איזומורפיות זו לזו.
2. כי אם [math]\displaystyle{ (m',n')=k }[/math] אז [math]\displaystyle{ dk }[/math] הוא מחלק משותף של [math]\displaystyle{ m,n }[/math].
3. 1. לפי לגרנז', סדר של איבר מחלק את סדר החבורה. בפרט הוא חסום על ידי סדר החבורה.
   2. אם הסדר הוא n, אז [math]\displaystyle{ g^n=e }[/math]. ולכן בחזקה ה-n+1 אתה חוזר ל-g, וממשיך משם הלאה. זה אכן מחזורי. חשוב, לצורך הדוגמא, על סיבוב ב-[math]\displaystyle{ D_{10} }[/math]. אחרי 11 סיבובים ב-36 מעלות אתה מקבל סיבוב ב-396=36 מעלות. חיים רוזנר 14:17, 21 בינואר 2014 (EST)

מחלקות שמאליות וימניות

נניח G חבורה, H ת"ח. למה מספר המחלקות השמאליות של [math]\displaystyle{ H }[/math] ב- [math]\displaystyle{ G }[/math] שווה למספר המחלקות הימניות של [math]\displaystyle{ H }[/math] ב[math]\displaystyle{ G }[/math].

אפשר בבקשה הסבר אינטואיטיבי והסבר יותר פורמלי...?

יש הבדל בין מקרים בהם מספר המחלקות סופי ובין מקרים בהם מספר המחלקות אינסופי?

ולמה לכל a,b ב-G, מתקיים ש- aH=bH?

כל איבר ב-G ניתן לרשום בצורה [math]\displaystyle{ ah,h\in H }[/math] וגם בצורה [math]\displaystyle{ hb,h\in H }[/math]. אנו מוצאים התאמה בין [math]\displaystyle{ aH }[/math] לבין [math]\displaystyle{ Ha }[/math]. לצערי, בקורס אלגבראי מופשט כמו זה, ההסברים הכי אינטואיטיביים הם ההסברים הפורמליים. :(

ההתאמה הזו היא הפיכה, כמובן, ולכן אין משמעות לשאלה אם יש פה משהו סופי או לא.

הטענה לכל a,b ב-G, מתקיים ש- aH=bH איננה נכונה. חיים רוזנר 14:23, 21 בינואר 2014 (EST)

אפשר עזרה בהוכחת טענה שאמורה להיות פשוטה אבל מסיבה כלשהי לא מצליח לי..

[math]\displaystyle{ G }[/math] חבורה. מסתכלים על איבר [math]\displaystyle{ a }[/math] ב-[math]\displaystyle{ G }[/math].

למה [math]\displaystyle{ |\lt a\gt |=o(a) }[/math]?

עיין לעיל, תשובה לשאלה דומה. חיים רוזנר 13:36, 21 בינואר 2014 (EST)

מיון כל החבורות מסדר קטן או שווה 5

מה המשמעות של למיין את כל החבורות מסדר קטן או שווה ל-5? למיין לפי למה?

מספר החבורות מסדר [math]\displaystyle{ i }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ i }[/math] בין 1 ל-5, הוא לא אינסופי??

מה צריך לעשות בשאלה הזו?

בשאלה זו יש לרשום את כל החבורות מסדר קטן או שווה ל-5 עד כדי איזומורפיזם. כמובן, אם יש לי קבוצה בת n איברים, אז יש מספר סופי של פעולות בינאריות אפשריות. אנו לוקחים רק את הפעולות שנותנות חבורה, ומצמצמים את כל אלו שאיזומורפיות זו לזו, ולכן יש מספר סופי של חבורות מסדר n. ההמלצה שלי היא להתחיל במיון כל החבורות האבליות מסדרים אלו, ואז לנסות למצוא בטיעון מחוכם את כל החבורות הלא אבליות מסדרים אלו. חיים רוזנר 14:33, 21 בינואר 2014 (EST)

תת-חבורה נורמלית

הטיעון הבא נכון? [math]\displaystyle{ N }[/math] נורמלית ב-[math]\displaystyle{ G }[/math] אם ורק אם:

[math]\displaystyle{ \forall g\in G\forall n\in N:g^{-1}ng=n }[/math].

לא. ההגדרה שהובאה כאן היא לתת-חבורה של המֵרְכָּז של G. ההגדרה לנורמליות היא

[math]\displaystyle{ \forall g\in G\forall n\in N:g^{-1}ng\in N }[/math].

ושאלה שניה- אם [math]\displaystyle{ N }[/math] נורמלית ב-[math]\displaystyle{ G }[/math], אז [math]\displaystyle{ N }[/math] אבלית?

לא. לדוגמא, [math]\displaystyle{ A_n\vartriangleleft S_n }[/math] אבל [math]\displaystyle{ A_n }[/math] לא אבלית. חיים רוזנר 14:55, 21 בינואר 2014 (EST)

תודה מראש

מה הדרך להוכיח שחבורה מסדר 4 היא אבלית? איך מגיעים בכלל למסקנה הזו?

יכול להיות משהו עם לגראנז'?

אם היא מסדר 4, אז כל איבר בה מחלק את סדר החבורה.

לכן כל איבר בה הוא מסדר 1 2 או 4.

אם אוכיח שקיים איבר מסדר 4 אז היא ציקלית ולכן אבלית.

אבל למה קיים איבר מסדר 4?

יש עוד דרכים להוכיח את זה??

ציינת שאם יש לה איבר מסדר 4 אז היא אבלית. כעת, השלמת הטיעון אפשרית באחת משתי דרכים: להוכיח שלכל חבורה מסדר 4 יש איבר מסדר 4; או להוכיח שכל חבורה מסדר 4 שאין בה איבר מסדר 4 היא אבלית. חיים רוזנר 14:33, 21 בינואר 2014 (EST)

למה לכל חבורה מסדר 4 יש איבר מסדר 4?

אני הצעתי שתי אפשרויות לעיל. אם אתה לא מצליח להוכיח את אפשרות א', אז אולי כדאי לבדוק את אפשרות ב'; וחוזר חלילה. חיים רוזנר 03:52, 26 בינואר 2014 (EST)

למה כל חבורה מסדר 3 היא ציקלית????

למה כל חבורה מסדר 3 היא ציקלית????

הוכחתם את זה בתרגיל בית 3, ופורסם גם פתרון. באופן כללי יותר, מה אפשר לומר על חבורה מסדר ראשוני (כמו למשל 3)? מהו הוא הסדר האפשרי של האיברים בחבורה מסדר ראשוני?

ממשפט לגראנז', הסדר של כל איבר מחלק את סדר החבורה. לכן אם הסדר של החבורה הוא ראשוני, אז הסדר של כל איבר הוא p, חוץ מאיבר היחידה שהסדר שלו הוא 1.

אם לוקחים איבר בחבורה שהיא מסדר 3, ומסתכלים על התת חבורה הנוצרת על ידו, אז הסדר שלה מחלק את 3, אבל 3 ראשוני, לכן הסדר שלה הוא 3.

לכן קיימת בחבורה מסדר 3 תת חבורה מסדר 3 ולכן התת חבורה מתלכדת עם החבורה.

לכן מצאנו איבר שיוצר תת חבורה שמתלכדת עם החבורה. לכן הוא יוצר את החבורה ולכן החבורה ציקלית?

מ.ש.ל.

שאלה

[math]\displaystyle{ G }[/math] חבורה סופית .

[math]\displaystyle{ p }[/math] ראשוני. צריך להוכיח שהסדר של [math]\displaystyle{ G }[/math] הוא חזקה של [math]\displaystyle{ p }[/math] אם ורק אם הסדר של כל [math]\displaystyle{ g }[/math] ב-[math]\displaystyle{ G }[/math]

הוא חזקה של [math]\displaystyle{ p }[/math].

הכיוון מימין לשמאל הוכחתי. כיצד מוכיחים את הכיוון משמאל לימין?

שילוב של משפט קושי ומשפט לגראנז' (ראה למשל בויקיפדיה: משפט קושי). מה יקרה אם תניח בשלילה כי למרות שסדר כל האיברים של [math]\displaystyle{ G }[/math] הם חזקה של [math]\displaystyle{ p }[/math], אבל הסדר של [math]\displaystyle{ G }[/math] הוא לא חזקה של [math]\displaystyle{ p }[/math]? כלומר שלסדר של [math]\displaystyle{ G }[/math] יש עוד גורם ראשוני?

שאלה 5 ממועד א' שנה שעברה

שלום אשמח לעזרה בשאלה שאני מתקשה בה: תהי G חבורה אבלית ויהי אפימורפיזם f מG לZ (השלמים), הוכח שקיימת ת"ח H האיזומורפית לZ ומתקיים G איזומורפי ל H x kerf . תודה

לשאלה זו שני חלקים. בחלק הראשון יש למצוא ת"ח H של G איזומורפית ל-Z. נזכיר כאן ש-Z היא חבורה ציקלית מסדר אינסוף, דהיינו יש לה יוצר שהוא מסדר אינסוף. לכן צריך למצוא ב-G איבר מסדר אינסוף, ולוודא שהוא יוצר את H כמבוקש. אני ממליץ להשתמש ב-f לשם כך.

החלק השני הוא מציאת איזומורפיזם בין G לבין H x kerf. הרעיון הוא לפרק כל g ב-G לרכיב אחד שהולך לתמונה Z ורכיב שני שנמצא בגרעין. לצורך כך יש להיעזר בתשובה לחלק א.

כמובן, זו סקיצה לפתרון. חיים רוזנר 04:32, 26 בינואר 2014 (EST)

שאלה

אני רוצה להראות ש- [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{8}X\mathbb{Z}_{10}\cong \mathbb{Z}_{2}X\mathbb{Z}_{5}X\mathbb{Z}_{8} }[/math].

ידוע ש: [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{10}\cong \mathbb{Z}_{2}X\mathbb{Z}_{5} }[/math] כי 2,5 זרים.

אפשר מיד להגיד ש- [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{8}X\mathbb{Z}_{10}\cong \mathbb{Z}_{8}X\mathbb{Z}_{2}X\mathbb{Z}_{5} }[/math]?

אם כן, למה? מה הנימוק למעבר הזה?

הנימוק הא שאפשר למצוא איזומורפיזם מפורש. באופן כללי אם [math]\displaystyle{ G \cong G' }[/math], אז [math]\displaystyle{ H \times G \cong H \times G' }[/math].

ושאלה נוספת..

איך מוכיחים ש- [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{5}X\mathbb{Z}_{16} }[/math] ו [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{8}X\mathbb{Z}_{16} }[/math] לא איזומורפיות?

הן לא איזמורפיות מפני שהסדר שלהן שונה. אולי התכוונת למספרים אחרים?

האם מְרַכֵּז [math]\displaystyle{ C(g^n) }[/math] הינו תת חבורה של מְרַכֵּז [math]\displaystyle{ C(g) }[/math] ?

תשובה:

[math]\displaystyle{ C(g^n)=\{x\in G\colon g^nx=xg^n\} }[/math]

[math]\displaystyle{ C(g)=\{x\in G\colon gx=xg\} }[/math]

כעת, אם x מתחלף עם g, אז בפרט גם x מתחלף עם [math]\displaystyle{ g^2 }[/math], כי [math]\displaystyle{ g^2x=g(gx)=g(xg)=(gx)g=xgg=xg^2 }[/math]. הטענה הזו מתקיימת באופן דומה לכל חזקה גבוהה יותר. לכן ההכלה היא הפוכה:

[math]\displaystyle{ C(g)\le C(g^n) }[/math].

הסבר נוסף: אם נעלה את g בחזקה מספיק גבוהה, אנו עלולים להגיע לאיבר היחידה (אם העלנו בכפולה שך הסדר של g). מתקיים [math]\displaystyle{ C(e)=G }[/math], ולכן העלאה בחזקה עלולה להגדיל את המְרַכֵּז, ולא להקטין אותו. חיים רוזנר 04:43, 26 בינואר 2014 (EST)

צריך למצוא את החבורות האבליות מסדר 324 ואקספוננט 18

מה שאני רוצה לעשות, זה דבר ראשון למצוא את כל החבורות האבליות מסדר 24 עד כדי איזומורפיזם.

הפירוק של 324 לכורמים ראשוניים הוא : [math]\displaystyle{ 324=2^{2}3^{4} }[/math].

את המעריך 2 אפשר לרשום בשניי דרכים: 2 או 1+1. לכן מהגורם [math]\displaystyle{ 2^{2} }[/math] נקבל את החבורות:

[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{4} }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{2}\times \mathbb{Z}_{2} }[/math] .

את המעריך 4 אפשר לרשום ב-5 דרכים:

4 או 1+3 או 2+2 או 2+1+1 או 1+1+1+1 . לכן מהגורם [math]\displaystyle{ 3^{4} }[/math] יתקבלו החבורות הבאות:

[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{81} }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{27} }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{9}\times\mathbb{Z}_{9} }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{9}\times\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{3} }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{3} }[/math].

אם עושים עכשיו מכפלה קרטזית בין כל אחת משתיי החבורות שיתקבלו מהגורם הראשון, לבין כל 5 החבורות שיתקבלו מהגורם השני, מקבלים 10 חבורות.

מהמכפלה של [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2} }[/math] עם כל 5 החבורות שיתקבלו מהגורם השני, מקבלים את החבורות:

[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{81} }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{27} }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{9}\times\mathbb{Z}_{9} }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{9}\times\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{3} \cong \mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{18}\times\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{3} }[/math] (*)

[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{3} }[/math]

לחבורה (*) יש אקספוננט 18 ולאחרות אין? החבורה שמסומנת ב-(*) היא התשובה לשאלה?

הפירוק של החבורה שהצגת הוא מדויק, ונותר רק לחשב את האקספוננט של כל פירוק שכזה. אקספוננט של חבורה הוא הכפולה המשותפת הקטנה ביותר של כל סדרי איבריה. במקרה שפרקת את החבורה להצגה קנונית, כפי שעשית כאן, הרי שהחישוב הוא קל: לכל גורם ראשוני p בוחרים את החזקה המקסימלית שלו שמופיעה בפירוק, ומכפילים הכל. במקרה שלנו מתקיים [math]\displaystyle{ 18=2^13^2 }[/math], ולכן אנו מחפשים פירוק שבו החזקה המקסימלית של 2 תהיה 1, ושל 3 תהיה 2. כדי שהחזקה המקסימלית של 2 תהיה 1, עלינו לבחור את [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{2}\times \mathbb{Z}_{2} }[/math], כי האפשרות השניה נותנת חזקה גבוהה יותר, [math]\displaystyle{ 2^2 }[/math]. בדומה, מבין חמש האפשרויות של חבורה אבלית מסדר 81 עלינו לבחור את זו שבה הסדר הגדול ביותר הוא 9, דהיינו אחת משתי האפשרויות [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{9}\times\mathbb{Z}_{9} }[/math] ו-[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{9}\times\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{3} }[/math]. בסך הכל מצאנו שתי תשובות אפשריות: [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{9}\times\mathbb{Z}_{9} }[/math] ו-[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{9}\times\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{3} }[/math]. חיים רוזנר 05:00, 26 בינואר 2014 (EST)

צורה קנונית

מה המשמעות של להביא חבורות לצורה קנונית? ולמה זה טוב לעשות את זה?

אפשר אולי לתת דוגמה מסויימת..?

צורה קנונית של חבורה אבלית סופית G היא הצגה של חבורה איזומופירת ל-G כמכפלה קרטזית של חבורות ציקליות מסדרים שהם חזקת ראשוני: [math]\displaystyle{ G\cong\mathbb{Z}_{p_1^{n_1}}\times\mathbb{Z}_{p_2^{n_2}}\times\cdots\times\mathbb{Z}_{p_k^{n_k}} }[/math], עבור [math]\displaystyle{ p_j }[/math] ראשוניים, לאו דווקא שונים זה מזה, ועבור [math]\displaystyle{ n_j }[/math] טבעיים. לפי משפט המיון לחבורות אבליות סופיות, קיימת הצגה אחת כזו, עד כדי החלפת סדר הגורמים במכפלה הקרטזית ([math]\displaystyle{ \times }[/math]). דוגמא אפשר לראות בשאלה הקודמת; שם גם ניתן לראות כיצד היא מסייעת בפתרון שאלות לגבי חבורות אבליות סופיות. חיים רוזנר 05:08, 26 בינואר 2014 (EST)

שאלה

[math]\displaystyle{ G }[/math] חבורה ו-[math]\displaystyle{ N }[/math] ת"ח נורמלית מאינדקס n.

יהי [math]\displaystyle{ g\in G }[/math] ו-[math]\displaystyle{ t }[/math] המספר החיובי הקטן ביותר כך ש- [math]\displaystyle{ g^{t}\in N }[/math] צריך להוכיח ש-

[math]\displaystyle{ t\mid n }[/math].

יש מעבר אחד בהוכחה של השאלה הזו שלא ברור לי.

למה מהנתון ש [math]\displaystyle{ t }[/math] המספר החיובי הקטן ביותר כך ש- [math]\displaystyle{ g^{t}\in N }[/math] נובע ש-

[math]\displaystyle{ g^{t}N=(gN)^t=N }[/math] ??

באמת נראה לי שרצו לכתוב שם [math]\displaystyle{ (gN)^t=g^tN=N }[/math]. אם כך הוא הדבר, הרי שהמעבר הראשון מוצדק מתכונות של חבורת המנה, דהיינו מכך ש-N נורמלית. המעבר השני מוצדק מכך ש-[math]\displaystyle{ g^{t}\in N }[/math], בלי קשר להיות t הזה מינימלי. חיים רוזנר 05:15, 26 בינואר 2014 (EST)

מספר שאלות

האם נכון להגיד שלכל חבורה בעולם יש תת-חבורה ציקלית?

כן. ראשית, החבורה הטריוויאלית {e} היא ציקלית. בנוסף, אם יש לי איבר g בחבורה, הרי שהוא יוצר איזושהי חבורה ציקלית, והיא ת"ח של G.

בנוסף, האם יש שיטה מהירה לחשב אקספוננט של חבורת אוילר? לדוגמה, מה הEXP של U30?

לא מכיר שיטה כזו. השיטה שלי היא להשתמש במשפט המיון, וזה לא נראה לי האלגוריתם היעיל ביותר.

עוד שאלה, האם הEXP של U12 x U3 הוא פשוט הLCM של 12 ו3? האם הכלל הזה נכון לכל מכפלה קרטזית של שתי חבורות? (תמיד עשינו את זה עבור Z).

לא. [math]\displaystyle{ exp(U_{12}\times U_3)=lcm(exp(U_{12}),exp(U_3)) }[/math], והכלל הזה נכון לכל מכפלה קרטזית: [math]\displaystyle{ exp(G\times H)=lcm(exp(G),exp(H)) }[/math]. אנחנו השתמשנו עד כה רק בעבור חבורות ציקליות, ושם באמת זה הרבה יותר קל. חיים רוזנר 05:33, 26 בינואר 2014 (EST)

תודה.

סדרי האיברים בSn

ראינו בתרגול שלחבורה הסימטרית S4 , הסדרים האפשריים של איברים בה הם רק 1,2,3, ו4.

האם זה נכון תמיד שלכל חבורה Sn, הסדרים האפשריים הם מ1 ועד n?

לא. האיבר (1 2 3)(4 5) הוא איבר מסדר 6 ב-S5. חיים רוזנר 15:52, 22 בפברואר 2014 (EST)

הצגת תמורה כמכפלה של חלופים

בתרגול העברנו תמורה כמכפלה של מחזורים זרים למכפלה של חילופים באופן הבא: (1 2 4) (3 5 6 7) = (1 2)(2 4)(3 5)(5 6)( 6 7)

עם זאת, בתרגיל 8, בשאלה 1, בפתרון שהצעתם, השתמשתם בטכניקה שונה בה לקחתם את האיבר הראשון במחזור כאיבר שמאפשר חילחול בחילופים.

ניסיתי גם שם את הטכניקה הראשונה שראינו בתרגול וקיבלתי 6 חילופים. האם זה משנה באיזו טכניקה אני משתמש? כי החילופים יוצאים שונים... אך מספר החילופים זהה.

שתי הטכניקות טובות. בשתיהן אמור להתקבל אותו מספר חילופים, כי כל מחזור מאורך r מוצג כמכפלה של r-1 חילופים בשתי הטכניקות. בעיקרון, מספר החילופים איננו קריטי; אולם לא יכול להיות שהצגה אחת תהיה על ידי מספר חילופים זוגי והאחרת על ידי מספר חילופים אי-זוגי. חיים רוזנר 15:52, 22 בפברואר 2014 (EST)

גודל המרכז Z והמרכז C

האם נכון לומר שגודל המרכז [math]\displaystyle{ Z(G) }[/math] תמיד לפחות 1 (כי e מתחלף עם כל איברי G)?

כן. אמרנו את זה בכיתה. גם אמרנו שזו חבורה (נורמלית ב-G), ולחבורה יש לפחות איבר אחד.

ולכן גם בכל חבורה יש לפחות מחלקת צמידות אחת (שמכילה את e בלבד)?

כן.

והאם נכון לומר שגודל המרכז [math]\displaystyle{ C_G(a) }[/math] של איבר a הוא תמיד לפחות 2 (כי a מתחלף עם איבר היחידה ועם עצמו)?

אם [math]\displaystyle{ a \neq e }[/math], אז אכן מצאת כאן שני איברים שונים במְרַכֵּז של a. למעשה, ניתן להראות כי במרכז יש לפחות שני איברים גם עבור e, ובתנאי ש-G איננה החבורה הטריוויאלית. חיים רוזנר 15:52, 22 בפברואר 2014 (EST)

תודה.

איזומורפיזם בין Sn לDn

ראינו בתרגול שיש איזומורפיזם בין S3 לD3. האם תמיד קיים איזומורפיזם בין Sn לDn?

לא. מספר האיברים שונה, לכל n גדול מ-3. חיים רוזנר 15:52, 22 בפברואר 2014 (EST)

איזומורפיזם בין מכפלות קרטזיות

האם Z2 X Z2 X Z2 X Z4 איזומורפית ל Z2 X Z4 X Z4?

שתיהן חבורות אבליות מסדר 32, לא ציקליות, ובעלות אקספוננט זהה (4). האם הן איזומורפיות?

לא. שתי הוכחות לכך:

א. מספר האיברים מסדר 2 שונה בשתי החבורות האלו. (חשבו!)

ב. לחבורה מימין יש ת"ח איזומורפית ל- Z2 X Z2 X Z2 X Z2, הלוא היא הת"ח Z2 X Z2 XZ2 X 2Z4. מנגד, לחבורה השמאלית אין ת"ח מסדר 16 ואקספוננט 2.

באופן כללי, הצגה בצורה קנונית היא יחידה, עד כדי סדר הגורמים במכפלה. הצגה קנונית היא הצגה של חבורה אבלית סופית כמכפלה של Zq-ים שונים, כאשר כל q הוא חזקה של ראשוני. תמיד, כאשר מגיעים לנצגה כזו, שתי חבורות עם הצגה שונה אינן איזומורפיות, ונתן להראות זאת כמו שהראיתי לעיל - למנות כמה איברים יש מכל סדר, ולעבור על הת"ח השונות, מתישהו תימצא ת"ח של חבורה אחת שאין לה ת"ח איזומורפית באחרת.חיים רוזנר 15:52, 22 בפברואר 2014 (EST)

תמורות מתחלפות

האם התמורות t = (1 4) (2 5) (3 6) ו q = (1 2 3) (4 5 6) מתחלפות?

ביצעתי הרכבה משני הצדדים, וקיבלתי: (6 2 4 3 5 1)

ולכן הן מתחלפות.

האם אני צודק?

אם חישבת את tq ואת qt, ומצאת את אותה התמורה - אז הן מתחלפות. אינני לוקח אחריות על טעויות חישוב. בהצלחה. חיים רוזנר 15:52, 22 בפברואר 2014 (EST)