אולי הייתי צריך להדגיש את זה יותר בפתרון.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] ([[שיחת משתמש:איתמר שטיין|שיחה]]) 10:30, 4 בפברואר 2014 (EST)
== אפשר לעבור על השאלות האלו בתרגול חזרה? או במקום לקבל כיוון\פתרון פה יהיה נחמד. ==
http://up403.siz.co.il/up1/zw10mwgimmny.jpg
* אני אשתדל להעלות הנה תשובות לשאלות האלה במהלך היום.
אבל יש לי הצעה יותר טובה. אולי שכמה סטודנטים ייקחו על עצמם להעלות פתרונות לשאלות הלאה (כל אחד שאלה או שתיים)
חלק מהן גם פתרנו בתרגול חזרה.
מה שלא תעשו אני אשתדל להשלים. --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] ([[שיחת משתמש:איתמר שטיין|שיחה]]) 01:37, 6 בפברואר 2014 (EST)
בסוף הספקתי לכתוב תשובות.
להלן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] ([[שיחת משתמש:איתמר שטיין|שיחה]]) 07:18, 6 בפברואר 2014 (EST)
== <math>Ker(T^n)\cap Im(T^n)=0</math> ==
שלב א':
נבחר <math>n = dim V</math>
טענת עזר: אם <math>T^{2n}(y)=0</math> אז <math>T^n(y)=0</math>
במילים אחרות: <math>Ker(T^n)=Ker(T^{2n})</math>
הוכחה:
נשים לב שיש שרשרת עולה של תתי מרחבים
<math>Ker(T)\subseteq Ker(T^2) \subseteq \cdots </math>
אבל המימד שלהם לא יכול לגדול לנצח (כי לכל היותר הוא יהיה <math>n</math>.)
ולכן קיים <math>k</math> עבורו <math>Ker(T^k)=Ker(T^{k+1})</math>
אבל אז אם <math>x\in Ker(T^{k+2})</math> אז <math>T(x)\in Ker(T^{k+1})</math>
ולכן <math>T(x) \in Ker(T^k)</math> ולכן <math>x \in Ker(T^{k+1})</math>
כלומר השויון ממשיך
ויש לנו <math>Ker(T^k)=Ker(T^{k+1})=Ker(T^{k+2})=\cdots</math> וכו'.
נסמן ב <math>k</math> את הפעם הראשונה בשרשרת שבה <math>Ker(T^k)=Ker(T^{k+1})</math>
בהכרח יתקיים <math>k\leq n </math> כי לא יכול להיות שהשרשרת גדלה יותר מ <math>n</math> פעמים. (בכל פעם שהיא גדלה, התווסף לפחות עוד 1 למימד - ובסך הכל המימד הוא <math>n</math>).
ולכן בהכרח <math>Ker(T^n)=Ker(T^{2n})</math>
שלב ב': נניח ש
<math>x\in Im(T^n) \cap \Ker(T^n)</math>
אז <math>T^n(x)=0</math> ו <math>T^n(y)=x</math>
כלומר <math>T^{2n}(y)=0</math> לפי שלב א' <math>x=T^n(y)=0</math> כנדרש.
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] ([[שיחת משתמש:איתמר שטיין|שיחה]]) 07:02, 6 בפברואר 2014 (EST)
==אם <math>\lambda</math> ערך עצמי יחיד ו <math>A^r=I</math> אז <math>A=\lambda I</math>==
אם <math>A^r=I</math> זה אומר ש <math>x^r-1</math> מאפס את <math>A</math>.
כלומר הפולינום המינימלי מחלק את <math>x^r-1</math>. אבל <math>x^r-1</math> מתפצל לגורמים לינאריים שונים
והפולינום המינימלי הוא מהצורה <math>(x-\lambda)^k</math>
ולכן <math>k=1</math> והפולינום המינימלי הוא <math>x-\lambda</math>.
נציב את <math>A</math> ונקבל ש <math>A=\lambda I</math> כנדרש
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] ([[שיחת משתמש:איתמר שטיין|שיחה]]) 07:06, 6 בפברואר 2014 (EST)
==לא קיימת T כך ש <math>T=TT^{\ast}+I</math>==
נניח שקיימת. אז <math>T</math> צמודה לעצמה (כי <math>TT^{\ast}+I</math> צמוד לעצמו).
ולכן כל הערכים העצמיים ממשיים (ויש ל <math>T</math> ערכים עצמיים כי היא ניתנת ללכסון).
אבל <math>T</math> מקיימת גם
<math>T=TT^\ast+I=T^2+I</math>
כלומר <math>T^2-T+I</math>
כלומר הפולינום <math>x^2-x+1</math> מאפס את <math>T</math>
אז הפולינום המינימלי צריך לחלק אותו.
אבל ל <math>TT^{\ast}+I</math> אין שורשים ממשיים. ממילא גם לפולינום המינימלי אין שורשים ממשיים.
אז ערכים עצמיים ממשיים.
בסתירה
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] ([[שיחת משתמש:איתמר שטיין|שיחה]]) 07:12, 6 בפברואר 2014 (EST)
==אם <math>i</math> ע"ע של <math>T</math> אז קיים <math>v</math> כך שלכל <math>u</math> מתקיים <math>v\neq T^2u+u</math>==
או בשפה של בני אדם.
<math>T^2+I</math> היא לא על.
מדובר כאן על מצב ש <math>T:V\rightarrow V</math>
ולכן <math>T</math> על אם ורק אם היא <math>הפיכה</math>
אבל <math>T^2+I=(T-iI)(T+iI)</math>
וההעתקה <math>T-iI</math> לא הפיכה כי <math>i</math> ע"ע.
ולכן גם <math>T^2+I</math> לא הפיכה. כנדרש
==<math>Im(T^\ast)=(Ker(T))^\perp</math>==
ברור שזה שקול לטענה
<math>(Im(T^\ast))^\perp=(Ker(T))</math>
ואת זה נוכיח בקלות
<math>x \in Ker(T)</math> אם ורק אם <math>T(x)=0</math>
אם ורק אם <math>\forall u \quad <T(x),u>=0</math>
אם ורק אם <math>\forall u \quad <x,T^\ast(u)>=0</math>
אם ורק אם <math>x\in (Im(T^\ast))^\perp</math>
כנדרש
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] ([[שיחת משתמש:איתמר שטיין|שיחה]]) 07:17, 6 בפברואר 2014 (EST)
== המבחן ==
תוכלו בבקשה להעלות פתרונות מלאים של המבחן מועד א'?