שיחה:88-222 תשעד סמסטר ב מגרל: הבדלים בין גרסאות בדף
(←תרגיל 4 שאלה 1: פסקה חדשה) |
|||
| שורה 15: | שורה 15: | ||
תהי <math>\{ { a }_{ n }\} \subseteq A;{ a }_{ n }\rightarrow a\in X</math>. אם היא קבועה לבסוף אז ודאי שהגבול בA. אחרת, יש תת סדרה <math>{ \{ { a }_{ { n }_{ k } }\} }_{ k=1 }^{ \infty }\subseteq A\diagdown \left\{ a \right\} </math>. כל תת סדרה של מתכנסת תתכנס גם היא ולאותו גבול, לכן לפי הגדרה <math>a\in A'\subseteq A</math>, לכן <math>a\in A</math>. | תהי <math>\{ { a }_{ n }\} \subseteq A;{ a }_{ n }\rightarrow a\in X</math>. אם היא קבועה לבסוף אז ודאי שהגבול בA. אחרת, יש תת סדרה <math>{ \{ { a }_{ { n }_{ k } }\} }_{ k=1 }^{ \infty }\subseteq A\diagdown \left\{ a \right\} </math>. כל תת סדרה של מתכנסת תתכנס גם היא ולאותו גבול, לכן לפי הגדרה <math>a\in A'\subseteq A</math>, לכן <math>a\in A</math>. | ||
:: ההוכחה נכונה ואלגנטית:)--[[משתמש:מני ש.|מני]] ([[שיחת משתמש:מני ש.|שיחה]]) 13:15, 5 באפריל 2014 (EDT) | |||
גרסה מ־17:15, 5 באפריל 2014
הוספת שאלה חדשה
הוסף שאלה חדשה (רשום כותרת לשאלה, רשום את תוכן השאלה ולחץ על שמירה למטה מימין לסיום).
-עזרה על עיצוב הטקסט וכתיב מתמטי תוכלו למצוא כאן
אם אתם רוצים לשאול שאלה עליכם ליצור חשבון משתמש באתר.
שאלות
הוכחת טענה מהתרגול
בתרגול השלישי נאמר ש- U פתוחה ב-[math]\displaystyle{ \phi \neq A \subseteq X }[/math] אם ורק אם קיימת V פתוחה ב-X כך ש- [math]\displaystyle{ U=A\cap V }[/math]. אפשר בבקשה עזרה בהוכחה מימין לשמאל (אם U פתוחה אז קיימת V...) ?
- (לא מרצה / מתרגל) תהי קבוצה פתוחה [math]\displaystyle{ U }[/math]. לפי ההגדרה, לכל [math]\displaystyle{ a\in U }[/math] קיים [math]\displaystyle{ r_a \gt 0 }[/math] שעבורו [math]\displaystyle{ B_{r_a}(a)\subseteq U }[/math]. ניקח את איחוד כל הכדורים האלו, זאת אומרת את [math]\displaystyle{ V:=\bigcup_{a\in U}B_{r_a}(a) }[/math]. לפי תכונות שהוכחו, זו קבוצה פתוחה ב-[math]\displaystyle{ X }[/math], ואכן מתקיים [math]\displaystyle{ U=A\cap V }[/math]; ההכלה משמאל לימין ברורה, וההכלה מימין לשמאל נובעת מכך שאם [math]\displaystyle{ x\in A\cap V }[/math], בהכרח [math]\displaystyle{ x\in B_{r_a}(a) }[/math] כלשהו וגם [math]\displaystyle{ x\in A }[/math], ולכן, לפי הבחירה של [math]\displaystyle{ r_a }[/math], [math]\displaystyle{ x\in U }[/math] --גיא בלשר (שיחה) 04:24, 4 באפריל 2014 (EDT)
- עקרונית ההוכחה נכונה אבל יש כאן נקודה עדינה שצריך לשים לב אליה. [math]\displaystyle{ U }[/math] פתוחה ב- [math]\displaystyle{ A }[/math] ולכן כאשר אתה אומר לכל [math]\displaystyle{ a\in U }[/math] קיים [math]\displaystyle{ r_a \gt 0 }[/math] שעבורו [math]\displaystyle{ B_{r_a}(a)\subseteq U }[/math]. הכונה היא לכדור ב- [math]\displaystyle{ A }[/math] כלומר [math]\displaystyle{ B_A(a,r_a)\subseteq U }[/math]. בעוד ש [math]\displaystyle{ V:=\bigcup_{a\in U}B_X(a,r_a) }[/math]כלומר איחוד כדורים פתוחים ב[math]\displaystyle{ X }[/math].--מני (שיחה) 04:37, 4 באפריל 2014 (EDT)
תרגיל 4 שאלה 1
אני מצרף ניסיון הוכחה נוסף לטענה [math]\displaystyle{ A'\subseteq A\Rightarrow A\quad is\quad closed }[/math], אשמח אם לדעת האם הוא נכון.
תהי [math]\displaystyle{ \{ { a }_{ n }\} \subseteq A;{ a }_{ n }\rightarrow a\in X }[/math]. אם היא קבועה לבסוף אז ודאי שהגבול בA. אחרת, יש תת סדרה [math]\displaystyle{ { \{ { a }_{ { n }_{ k } }\} }_{ k=1 }^{ \infty }\subseteq A\diagdown \left\{ a \right\} }[/math]. כל תת סדרה של מתכנסת תתכנס גם היא ולאותו גבול, לכן לפי הגדרה [math]\displaystyle{ a\in A'\subseteq A }[/math], לכן [math]\displaystyle{ a\in A }[/math].