שינויים
/* מחלקת שקילות של מטריצות המייצגות העתקה */
===מחלקת שקילות של מטריצות המייצגות העתקה===
טענה: יהא <math>V</math> מ"ו מימד סופי <math>B=\{v_1,\dots v_n\}</math> בסיס. תהא <math>A\in \mathbb{F}^{n\times n}</math> הפיכה.
אזי קיים <math>B'</math> בסיס אחר כך ש <math>[I]^{B'}_B= A</math>
(במילים: המטריצה A היא מטריצת מעבר מאיזה שהוא בסיס אחר לבסיס הנתון)
הוכחה:נגדיר <math>B'=\{v'_1,\dots v'_n\}</math> ע"י <math>v'_j=\sum_{i=1}^n A_{i,j}\cdot v_i </math>.
לפי הגדרה מתקיים כי <math>[I]^{B'}_B= A</math>. נותר להוכיח כי אכן <math>B'</math> בסיס.
כיוון ש <math>|B'|=n</math> אזי אם נוכיח כי <math>B'</math> בת"ל אזי הוא בסיס לפי השלישי חינם.
נוכיח כי <math>B'</math> בת"ל
נניח כי <math>\sum_{j=1}^n \alpha_j v'_j =0</math>. צ"ל כי <math>\forall i \alpha_i =0</math>
<math>0=\sum_{j=1}^n \alpha_j v'_j =\sum_{j=1}^n \alpha_j \sum_{i=1}^n A_{i,j}\cdot v_i =\sum_{i=1}^n \big( \sum_{j=1}^n \alpha_j A_{i,j} \big) \cdot v_i </math>
כיוון ש <math>B</math> בת"ל נקבל כי לכל <math>j</math> מתקיים כי <math> \sum_{j=1}^n \alpha_j A_{i,j} =0</math>
'''תרגיל.''' נגדיר יחס על המטריצות הריבועיות: A נמצאת ביחס עם B (או "A מתייחסת ל-B") אם B הינה המטריצה המייצגת של ההעתקה <math>T_Av:=Av</math> ביחס לבסיס כלשהו. הראו שזהו יחס שקילויות, והוכיחו שפונקציית הtrace מוגדרת היטב על חבורת המנה
