'''תרגילהגדרה:יהא <math>V</math> מ"ו מימד סופי <math>n</math>.''' נגדיר יחס על המטריצות הריבועיות תהא <math>T: A נמצאת ביחס עם B (או V\to V</math> ה"A מתייחסת ל-B") אם B הינה המטריצה המייצגת של ההעתקה .<math>T_Av:trace(T)=Avtrace([T]_B)</math> כאשר <math>B</math> ביחס לבסיס כלשהובסיס כלשהוא. הראו שזהו יחס שקילויות, והוכיחו שפונקציית הtrace מוגדרת היטב על חבורת המנה
הערה: ההגדרה לא תלויה בבחירת הבסיס. כלומר עבור 2 בסיסים <math>B,B'</math> מתקיים כי <math>trace([T]_{B''הוכחה})=trace([T]_B)</math>.'''
*רפלקסיביות: A מייצגת את ההעתקה של עצמה ביחס לבסיס הסטנדרטי, שכן למה? לפי הטענה המרכזית קיימת <math>Ae_iP</math> הפיכה כך ש <math>[T]_B=Pֶ^{-1}[T]_{B'}P</math>ואז מתקיים <math>trace([T]_B)=trace(Pֶ^{-1}[T]_{B'}P)=trace(PPֶ^{-1}[T]_{B'})=C_itrace(A[T]_{B'})</math>
*סימטריות: נניח B מייצגת את ההעתקה של A. אזי <math>B=[T_A]^E_E</math>. כפי שהראינו קודם <math>B=[T_B]^S_S</math> נפתח את שני צידי המשוואה לקבל <math>[T_B]^S_S=[I]^S_E[T_A]^S_S[I]^E_S=[I]^S_EA[I]^E_S</math> ומכאן המעבר באמצע נובע מהעובדה כי לכל 2 מטריצות <math>A=[I]^E_S[T_B]^S_S[I]^S_E</math> '''טענה:''' כל מטריצה הפיכה הינה מטריצת מעבר מקבוצת העמודות שלה, לבסיס הסטנדרטי (קל להוכיח). לכן נמשיך, נסמן בF את קבוצת העמודות של המטריצה <math>[I]^S_E</math> וסה"כ נקבל <math>A=[I]^S_F[T_B]^S_S[I]^F_S=[T_B]^F_F</math> כפי שרצינו. *טרנזיטיביות: נניח <math>B=[T_A]^E_E</math> וגם <math>C=[T_B]^F_F</math> לכן ביחד <math>C=[T_B]^F_F=[I]^S_F[T_B]^S_S[I]^F_S=[I]^S_FB[I]^F_S=[I]^S_F[T_A]^E_E[I]^F_S=</math> '''טענה:''' יהי בסיס E. אזי כל מטריצה הפיכה הינה מטריצת מעבר מבסיס כלשהו לבסיס E. ניקח את הצירופים הלינאריים של איברי E עם הסקלרים מעמודות המטריצה ההפיכה. מכיוון שעמודות המטריצה ההפיכה בת"ל, הקואורדינטות בת"ל ולכן גם הצירופים הלינאריים עצמם בת"ל ולכן מהווים בסיס המקיים את הדרוש. נמשיך, <math>C=[I]^E_G[T_A]^E_E[I]^G_E=[T_A]^G_G</math> כפי שרצינו. על מנת להוכיח שפונקצית הtrace מוגדרת היטב יש להראות שהיא שווה על כל שתי מטריצות שקולות. אבל זה קל כיוון ש מתקיים כי <math>tr(BAB)=tr([I]^S_EA[I]^E_S)=tr(A[I]^S_E[I]^E_S)=tr(ABA)</math>
