שינויים

האם כל מ״מ '''גם מההגדרה ה"מקורית" של קומפקטיות- שלכל כיסוי פתוח יש תת-כיסוי סופי- אפשר לראות שמרחב סופי הוא גם קומפקטי ?באופן טריוויאלי משהו (לכל נקודה במרחב אפשר לקחת קבוצה שמכילה אותה מהכיסוי, והרי לנו תת-כיסוי סופי, פשוט כי מספר הנקודות הוא סופי). ''''''

כי קיימת הגדרה שקולה לקומפקטיות שאומרת שמ״מ הוא קומפקטי אם לכל תת קבוצה אינסופית יש נקודת הצטברות וטענה זומתקיימת במקרה שלנו (מ״מ סופיאני מקווה שהבנו נכון :) באופן ריק, לא ?

תודה.!

'''אני לא מתרגלת אבל למיטב הבנתי == שאלה לגבי שפה ==בתרגול בשבוע שעבר נשאלתי אם ניתן להגדיר את השפה של A באופן הבא:חיתוך אוסף נקודות ההצטברות של A עם אוסף נקודות ההצטברות של המשלים של A. התשובה היא כןלא. דוגמה נגדית- השפה של כל נקודון בממשיים (עם המטריקה האוקלידית) היא הנקודון עצמו (בדקו!) בעוד שהתוצאה של החיתוך הנ"ל שהוזכר היא קבוצה ריקה.--[[משתמש:מני ש.|מני]] ([[שיחת משתמש:מני ש.|שיחה]]) 16:07, 7 במאי 2014 (EDT)

== תרגיל 5 שאלה 1 - סעיף ג == חשבתי שאם מטריקות שקולות אזי היותה של אחת חסומה גורר חסימה של השניה, לא?אפשר להסביר שוב את התשובה שלכם?תודה* בתרגיל 4 שאלה 6 אתם מוכיחים שכל מטריקה שקולה למטריקה חסומה ובפרט גם מטריקה לא חסומה שקולה לחסומה ולכן חסימות היא תכונה שלא נשמרת בהכרח במעבר בין מטריקות שקולות.* מקרה פרטי של מטריקות שקולות הוא מטריקות המושרות מנורמות שקולות. יש הגדרה מיחדת לנורמות שקולות שמופיעה בתרגיל 5.* חסימות כן נשמרת במעבר בין '''נורמות שקולות'''. כלומר אם נתונות שתי מטריקות שמושרות מנורמות שקולות אז חסימות של קבוצה לפי מטריקה אחת תגרור חסימות לפי האחרת. זה לא בגלל שהמטריקות היו שקולות אלא בגלל שהנורמות היו שקולות שזה תנאי חזק אפילו יותר.--[[משתמש:מני ש.|מני]] ([[שיחת משתמש:מני ש.|שיחה]]) 03:48, 29 במאי 2014 (EDT) == תרגיל 7 שאלה 2א ==  1. כתוב בתשובות שהנקודון {1} הוא סביבה של 1. מאיפה הנתון הזה? אין לנו מידע על קבוצות פתוחות במרחב {0,1} 2. מופיע במקרה השני שV היא הסביבה של x, ובגלל שהיא לא יכולה להיות כולה בסגור (כי היא פתוחה בלי חיתוך עם A) גם מההגדרה ה"מקורית" x לא בסגור. לא יכול להיות שV היא קבוצה גדולה יותר שלא כולה בסגור, ולכן על אף שיש לה חיתוך זה לא סותר את הימצאות x בסגור? תודה:* לא צויינה טופולוגיה על המרחב {0,1} ולכן לפי סיכום גורף שלנו במהלך הקורס הכוונה לטופולוגיה המושרית מהטופולוגיה הסטנדרטית (אוקלידית) של <math>\mathbb{R}</math>. לא קשה לראות שהטופולוגיה המושרית היא הדיסקרטית.* אנו משתמשים בטענה <math>x\in cl(A)</math> אם ורק אם כל סביבה של <math>x</math> חותכת את <math>A</math>. מצאנו סביבה של <math>x</math> שלא חותכת את <math>A</math> ולכן לפי הטענה <math>x\notin cl(A)</math>.--[[משתמש:מני ש.|מני]] ([[שיחת משתמש:מני ש.|שיחה]]) 11:15, 12 ביוני 2014 (EDT) == תרגיל 7 שאלה 6 == בניסיון לבנות סדרה נעשה שימוש ב-1/n, בהנחה שהמרחב הנורמי מכיל ביטויים כאלה. מכיוון שלא כתוב יתכן שהוא לדוג Z5 ואז זה שימוש לא נכון, לא?תודה:: הגדרנו מרחב נורמי כמרחב וקטורי מעל הממשיים או המרוכבים עם נורמה לכן הביטויים שהוזכרו מוגדרים. --[[משתמש:מני ש.|מני]] ([[שיחת משתמש:מני ש.|שיחה]]) 10:00, 18 ביוני 2014 (EDT) == שאלה לגבי הוכחה שאם מרחב המכפלה האוסדורף אז כל מרחב x הוא האוסדורף == בהוכחה מסתמכים על כך שהומיאומורפיזם שומר על תכונת האוסדורף. מצד שני, להבנתי, לא למדנו שום משפט שמדבר על כך.  כל המשפטים שקישרו בין האוסדורף להומיאומורפיזם דרשו קומפקטיותשל התחום. ציטוט מההוכחה: הוכחה: בהינתן β∈I נראה שX_β האוסדורף. כיוון שהנחנו שX_α≠ϕ לכל α אנו יכולים לבנות תת מרחב Y_β⊆Π_(α∈I) X_α כפי שעשינו בטענה האחרונה. כיוון שΠ_(α∈I) X_α האוסדורף, נקבל שY_β האוסדורף (תת מרחב של האוסדורף הוא האוסדורף) וכיוון שX_β≅Y_β גם X_β האוסדורף.  הקביעה האחרונה לא ברורה.::* הטענה שהומיאומורפיזם שומר על תכונת האוסדורף נכונה. לגבי האם אתם צריכים לדעת את ההוכחה- שלכל כיסוי פתוח על פניו אם לא הוכחתם בהרצאה אז יכול להיות שהמרצה פשוט מסתפק בכך שתגידו זאת. עדיף למען הסר ספק ששאלה מסוג זה תופנה אליו ולא אלינו המתרגלים.*לעצם הוכחת הטענה. אני אכתוב את הרעיון שהוא די טבעי. אם מרחב הוא האוסדורף ויש ממנו הומיאו' למרחב אחר. אז בהינתן שתי נקודות שונות במרחב השני מכיון שיש הומיאו' אז בפרט יש תתפונקציה שהיא הומיאו' וגם על ולכן יש שני מקורות שונים במרחב הראשון.*כעת משתמשים בכך שהראשון האוסדורף ומבצעים את ההפרדה לסביבות זרות <math>U,V</math>. כעת <math>f</math> הומיאו' ובפרט פתוחה ונקבל ש<math>f(U),f(V)</math> סביבות זרות של הנקודות שהתחלנו איתן. להוכחת הזרות-כיסוי סופי<math>U,V</math> זרות וגם <math>f</math> חח"ע.- -[[משתמש:מני ש.|מני]] ([[שיחת משתמש:מני ש.|שיחה]]) 13:31, 9 ביולי 2014 (EDT) == תרגיל 7 שאלה 2א == יש דרך שחשבתי להוכיח קצרה יותר מכם, הייתי שמחה לדעת אם היא נכונה.Xa רציפה, {1} היא סגוחה, ולכן f-1({1}) סגוחה, ולכן A סגוחה, והסגור והפנים שווים A.מה הטעות..?:)::ההוכחה שלך טובה רק שהיא מוכיחה את 2 ב ולא את 2 א וכמו כן מוכיחה רק את הכיוון שרציפות הפונקציה האופיינית גוררת שA סגוחה ולא ההיפך. אם כי בשביל הכיוון ההפוך לא צריך לעבוד הרבה ואפשר להפעיל רעיונות שקשורים לפתרון שהצעת. אנחנו רצינו להוכיח את ב באמצעות א אבל אפשר לראות שמרחב סופי הוא קומפקטי באופן טריוויאלי משהו להוכיח את ב ישירות ובלי סעיף א למשל בדרך שלך. --[[משתמש:מני ש.|מני]] ([[שיחת משתמש:מני ש.|שיחה]]) 06:45, 1 בספטמבר 2014 (EDT) באמת לא הבנתי את ההבדל. אם x שייך לX וx לא שייך לשפה זה פשוט אומר שהשפה ריקה, לא? מה ההבדל בין השניים?::* כל העניין בסעיף א הוא נקודתי ולא גלובלי. * עבור איקס מסוים ששייך ל<math>X</math> הוא יכול להיות לא שייך לשפה של <math>A</math> ועדיין השפה לא ריקה. *אם יודעים ש'''לכל נקודה במרחב אפשר לקחת קבוצה שמכילה אותה מהכיסוי''' איקס ששייך ל<math>X</math> מתקיים שאיקס לא שייך לשפה של <math>A</math> אז באמת השפה ריקה.* דוגמה קונקרטית : למשל <math>X=\mathbb R</math> המרחב הממשי הסטנדרטי. <math>A=(2, והרי לנו תת4)</math> אז השפה של <math>A</math> '''אינה ריקה''' והיא בדיוק הקבוצה הבאה בת שתי נקודות <math>\{2,4\}</math>. אם ניקח <math>x=3\in X</math> אז יתקיים ש<math>x</math> לא בשפה של <math>A</math> ואז לפי סעיף א הפונקציה האופיינית <math>\chi_A</math> כן רציפה בנקודה <math>x=3</math> וכאמור השפה אינה ריקה אלא בת שתי נקודות.-כיסוי סופי-[[משתמש:מני ש.|מני]] ([[שיחת משתמש:מני ש.|שיחה]]) 11:08, 1 בספטמבר 2014 (EDT) בעצם בסעיף א ביקשתם להוכיח עבור כל איקס בנפרד, ומשם מסיקים שהשפה ריקה? אם סעיף א יהיה במבחן, ההוכחה שלי תתקבל?תודה::* לגבי השאלה הראשונה- כן הבנת נכון. * אני לא בטוח שהבנתי את השאלה השניה. השאלה שלך היא שאם במבחן יופיע גם סעיף א אז אם ניתן להוכיח את סעיף ב בדרך שלך וללא שימוש בסעיף א? אם כן התשובה חיובית (אלא אם כן נאמר במפורש הוכיחו רק באמצעות סעיף א). --[[משתמש:מני ש.|מני]] ([[שיחת משתמש:מני ש.|שיחה]]) 17:58, 1 בספטמבר 2014 (EDT) שאלתי האם להוכיח את ההוכחה שלי לא מספיקה גם ל-א, פשוט כי מספר אם השפה ריקה לכל x אז לכל x בX הוא ל אבשפה. למה זה לא מספיק..? מקווה שאני לא חוזרת על עצמי כי לא לגמרי הבנתי...:: לפי דעתי אי אפשר להוכיח את א בדרך שציינת אלא רק את ב. במצב שיש רציפות בנקודה מסוימת אבל אין רציפות בכל הנקודות . למשל בדוגמה שציינתי קודם יש רציפות בנקודה 3 ואין רציפות בנקודה 2 ששייכת לשפה. ההוכחה שלך שמשתמשת ברציפות גלובלית (תמונה הפוכה של סגוחה היא סגוחה) לא תעבוד לסעיף א או לפחות אני לא רואה איך.--[[משתמש:מני ש.|מני]] ([[שיחת משתמש:מני ש.|שיחה]]) 12:15, 2 בספטמבר 2014 (EDT) == תרגיל 10 שאלה 3א == סביר שיש לי טעות, אבל אני מוצאת דוגמא נגדית למה שצריך להוכיח ב3.נניח נבחר את X להיות R על הטופולוגיה הקו-סופית. אז הנקודון x הוא סגור (קו-סופיזה T1)ובגלל שמה שהוכחנו ב2א גם x*x סגור בX*X. אבל X אינו האוסדורף.איפה הטעות שלי?כמו כן, בתשובה לתרגיל הזה כתוב 'מדוע?''שלא הצלחתי להסביר לעצמי, כך שלא הבנתי את ההוכחה שלכם.תודה.::* מכפלת הנקודונים <math>\{x\}\times\{x\}</math> היא בעצם הנקודון <math>\{(x,x)\}</math> ב<math>\mathbb R^2</math> ואכן כל נקודון מהסוג הזה סגור ב<math>\mathbb R^2</math> עם הטופולוגיה שציינת מהסיבה שאמרת. זה לא אומר שהאלכסון סגור שכן האלכסון הוא '''איחוד של כל הנקודונים האלו''' ואיחוד אינסופי של סגורות אינו סגור בהכרח. המרחב באמת אינו האוסדורף והאלכסון לא סגור וזה לא סותר את זה שכל הנקודונים הנ"ל כן סגורים.* לגבי השאלה השניה-<math>\exists x\in U\cap V</math> שכן החיתוך לא ריק ולכן <math>(x,x)\in (U\times V) \cap \Delta</math> ומכאן שהחיתוך האחרון לא ריק --[[משתמש:מני ש.|מני]] ([[שיחת משתמש:מני ש.|שיחה]]) 14:01, 2 בספטמבר 2014 (EDT) הבנתי. תודה.