הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:דוגמאות לערכים עצמיים ווקטורים עצמיים"
מתוך Math-Wiki
| שורה 6: | שורה 6: | ||
ניקח $A=I_n$, ונחפש את $spec\left(A\right)$. נבדוק בשתי שיטות: | ניקח $A=I_n$, ונחפש את $spec\left(A\right)$. נבדוק בשתי שיטות: | ||
| + | |||
| + | \subsubsection{שיטה ראשונה - חישוב ישיר} | ||
| + | |||
| + | נניח ש-$I_n v=\lambda v$. מכאן, $v=\lambda v$, כלומר $\lambda = 1$, כלומר | ||
| + | $spec\left(I_n\right)=\left\{1\right\}$. | ||
| + | |||
| + | \subsubsection{שיטה שנייה - לפי המשפט} | ||
| + | |||
| + | נשים לב כי $\lambda I-A=\left ( \begin{matrix} | ||
| + | \lambda-1 & &0 \\ | ||
| + | & \ddots & \\ | ||
| + | 0 & & \lambda-1 | ||
| + | \end{matrix} \right )$. | ||
| + | לכן, $\det\left ( \lambda I-A \right )=\left ( \lambda-1 \right )^n$ | ||
| + | אם כן, $\lambda=1\Leftrightarrow\left(\lambda-1\right)^n=0$, ולכן $spec\left(I_n\right)=\left\{1\right\}$. | ||
לסיכום, הערך העצמי של מטריצת היחידה הוא $1$, ומהחישוב שבחלק הראשון גילינו שכל הווקטורים הם וקטורים עצמיים שלו. זה אכן מתאים לדברים המוכרים - כל וקטור הכופלים במטריצת היחידה נשאר עצמו, המתיחה היא תמיד פי 1. | לסיכום, הערך העצמי של מטריצת היחידה הוא $1$, ומהחישוב שבחלק הראשון גילינו שכל הווקטורים הם וקטורים עצמיים שלו. זה אכן מתאים לדברים המוכרים - כל וקטור הכופלים במטריצת היחידה נשאר עצמו, המתיחה היא תמיד פי 1. | ||
| שורה 11: | שורה 26: | ||
\subsection{דוגמה 2 - מטריצה אלכסונית כללית} | \subsection{דוגמה 2 - מטריצה אלכסונית כללית} | ||
| − | נסמן $A=D=(\begin{matrix} | + | נסמן $A=D=\left ( \begin{matrix} |
| − | \ | + | \alpha_1 & &0 \\ |
| − | & \ddots | + | & \ddots & \\ |
| − | 0 & & \ | + | 0 & & \alpha_n |
| − | \end{matrix} | + | \end{matrix} \right )$ |
| − | )$ | + | |
| − | נרצה לדעת מהו $spec\left(D\right)$. על פי המשפט, נסתכל על $\lambda I-D$: $\lambda I-D=\begin{ | + | נרצה לדעת מהו $spec\left(D\right)$. על פי המשפט, נסתכל על $\lambda I-D$: |
| + | |||
| + | $\lambda I-D=\left ( \begin{matrix} | ||
\lambda-\alpha_1 & &0 \\ | \lambda-\alpha_1 & &0 \\ | ||
& \ddots & \\ | & \ddots & \\ | ||
| − | 0 & & \lambda-\alpha_n | + | 0 & & \lambda-\alpha_n |
| − | \end{ | + | \end{matrix} \right )$. |
| + | |||
| + | הדטרמיננטה: $\lambda=\alpha_1,\dots,\alpha_n\Leftrightarrow\det\left(\lambda I-A\right)=\prod_{i=1}^{n}\left(\lambda-\alpha_i \right )=0$. | ||
| + | |||
| + | קיבלנו ש-$spec\left ( D \right )=\left \{ \alpha_1,\dots,\alpha_n \right \}$. | ||
| − | + | אכן, גם את התוצאה הזו יכולנו לצפות מראש! מטריצה אלכסונית מותחת בדיוק את וקטורי היחידה, $e_1,\dots,e_n$ פי $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ בהתאמה. | |
<tex>קוד:זנב</tex> | <tex>קוד:זנב</tex> | ||
</latex2pdf> | </latex2pdf> | ||
גרסה מ־13:53, 10 באוגוסט 2014
