קוד:המספר של אוילר e

\subsection{הגדרה} נגדיר את $x_n=(1+\frac{1}{n})^n$ .

\begin{thm} קיים הגבול $\lim_{n\to \infty} x_n $ , לגבול הזה קוראים $e$. \end{thm}

\begin{proof} נוכיח שהסדרה מונוטונית עולה וחסומה מלעיל.

עולה מונוטונית:

$$ \frac{x_n}{x_{n-1}} = \frac{(1+\frac{1}{n})^{n}}{(1+\frac{1}{n-1})^{n-1}}=\frac{(\frac{n+1}{n})^{n}}{(\frac{n}{n-1})^{n-1}}=\frac{(n+1)^n (n-1)^{n-1}}{n^n n^{n-1}}=$$ $$\frac{(n^2-1)^n n}{n^{2n}(n-1)}=(1-\frac{1}{n^2})^n \frac{n}{n-1} $$

לפי אי שיוויון ברנולי, זה גדול או שווה לביטוי הבא: $$ (1+n(-\frac{1}{n^2})) \cdot \frac{n}{n-1} = \frac{(n-1)n}{n(n-1)} = 1 $$ מכאן שזוהי סדרה מונוטונית עולה.

\underline{חסומה מלעיל:}

$x_n=(1+\frac{1}{n})^n$

ואם נפתח את הביטוי לפי הבינום של ניוטון נקבל $$x_n=1+\binom{n}{1} \frac{1}{n} + \binom {n}{2} \frac{1}{n^2} + \cdots + \frac{1}{n^n}$$ איבר טיפוסי בסכום הזה הוא מהצורה $$\binom{n}{k} \frac{1}{n^k} = \frac{n!}{(n-k)! k!} \frac{1}{n^k} \leq \frac{n^n}{n^{n-k} k!} \frac{1}{n^k} = \frac{1}{k!} $$ ולכן $$x_n \leq 2+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots +\frac{1}{n!}\leq 2+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}} $$

כל מה שאחרי ה-2 זה סדרה הנדסית אינסופית שסכומה 1 ולכן נקבל ש- $x_n\leq 3$

אז זוהי סדרה מונוטונית עולה וחסומה מלעיל ולכן מתכנסת.

\end{proof}

\subsection{תכונות של $ e $} \begin{thm} $ \lim_{n\to \infty} \frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots + \frac{1}{n!}=e $ \end{thm} \begin{proof} נגדיר $e_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} $ . צריך להראות ש- $e_n\to e $ . אם נשתמש באותה סדרה $x_n$ שהגדרנו אז ראינו בהוכחה של המשפט הקודם ש- $x_n\leq e_n $. מצד שני אם נכתוב את $x_n$ בצורה מפורשת אפשר גם לראות ש- $$x_n=1+1+\cdots + \frac{1\left ( 1-\frac{1}{n} \right ) \cdots \left ( 1-\frac{n-1}{n} \right )}{n!}$$ ולכן אם נקבע $k$ ספציפי וניקח $n>k $ נקבל ש- $$x_n \geq 1+1+\cdots + \frac{1\left ( 1-\frac{1}{n} \right ) \cdots \left ( 1-\frac{k-1}{n} \right )}{k!}$$ ואם נשאיף את $n\to \infty $ אז נקבל בצד ימין בדיוק את $e_k $ ובצד שמאל את $e$. גבול שומר על אי שיוויון חלש ולכן נקבל $$x_n\leq e_n \leq e$$ ולפי משפט הסנדוויץ' נקבל את הדרוש.

\end{proof}

נשים לב שאם נגדיר $e_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} $ אז אם $N>n$ מתקיים

$$e_N-e_n=\frac{1}{(n+1)!}+\frac{1}{(n+2)!}+\cdots \frac{1}{N!}\leq \frac{1}{(n+1)!}+(\frac{1}{n+2}+\frac{1}{(n+2)^2}+\cdots + \frac{1}{(n+2)^{N-n-1}})=$$ $$\frac{1}{(n+1)!}\cdot \frac{\frac{1}{n+2}((\frac{1}{n+2})^{N-n} - 1)}{\frac{1}{n+2} - 1 } \leq \frac{1}{(n+1)!}\frac{1}{1-\frac{1}{n+2}} = \frac{1}{(n+1)!}\frac{1}{n+1} $ $

כעת נשתמש בזה בשביל להוכיח:

\begin{thm} $e\not\in \mathbb{Q} $ \end{thm}

\begin{proof}

נניח $ e=\frac{p}{q} =1+\cdots +\frac{1}{n!}+\alpha_n $ ומכאן $|\alpha_n|<\frac{1}{(n+1)!}\frac{1}{n+1} $ וע"י כפל של 2 האגפים נקבל $$(n+1)!\frac{p}{q}=(n+1)!(1+\cdots+\frac{1}{n!})+(n+1)!\alpha_n $$ וזה נכון לכל $n$, בפרט ל- $n>q$ . במקרה זה, אגף שמאל שלם ואגף ימין מורכב ממשהו שהוא שלם ועוד $(n+1)!\alpha_n$ אבל החלק האחרון הזה הוא לא שלם משום שקטן מ- $\frac{1}{n+1} $. אגף שמאל, שהוא שלם הוא סכום של משהו שלם ומשהו שהוא לא שלם. סתירה \end{proof}