שינויים
\begin{remark}
תהי $A\subseteq \mathbb{R} $ ונגדיר $B=\{-a : a\in A\} $. אזי $M $ חסם מלעיל של $A$ אם ורק אם $-M$ חסם מלרע של $B$ובנוסף $M$ חסם עליון של $A$ אם ורק אם $-M$ חסם תחתון של $B$.
\end{remark}
\begin{proof}
\begin{enumerate}\item $-M$ חסם מלרע של $B$ אם ורק אם $\forall b \in B : -M\leq b $ אם ורק אם $\forall a\in A : -M\leq -a $ אם ורק אם $\forall a\in A : a\leq M $ אם ורק אם $M$ חסם מלעיל של $A$\item נניח $M$ חסם עליון של $A$, בפרט הוא חסם מלעיל ולכן $-M$ חסם מלרע של $B$. כעת נניח בשלילה שקיים חסם מלרע $m\geq -M $, ולכן $-m\leq M $ חסם מלעיל של $A$ בסתירה לכך ש- $M$ חסם המלעיל הכי קטן שלו, ולכן אין חסם מלרע גדול מ- $-M$ ואז הוא חסם תחתון. את הכיוון השני מוכיחים באופן דומה. \end{enumerate}
\end{proof}
אם $\Phi \neq A\subseteq\mathbb{R}$ חסומה מלרע אזי קיים חסם תחתון.
\end{thm}
\begin{proof}
תהי $A$ לא ריקה חסומה מלרע. אם נגדיר את $B$ כמו במשפט האחרון נקבל שהיא חסומה מלעיל לפי המשפט, ומההערה יש לה חסם עליון $M$. מאותו המשפט, נקבל ש- $-M$ חסם תחתון של $A$ ולכן הוכחנו שיש לה חסם תחתון. (מצאנו אותו)
\end{proof}
\begin{thm}
