קוד:חסמים

\begin{definition} תהי קבוצה $A\subseteq \mathbb{R}$, אזי: \begin{enumerate} \item $M$ נקרא חסם מלעיל של A אם $\forall a\in A:a\leq M$ (כלומר שגדול/שווה מכל איברי הקבוצה)

\item $m$ נקרא חסם מלרע של A אם $\forall a\in A:a\geq m$

\item חסם מלעיל של A נקרא מקסימום אם הוא שייך לקבוצה A (בעצם המקסימום זה איבר בקבוצה שגדול או שווה לכל איברי הקבוצה)

\item חסם מלרע של A נקרא מינימום אם הוא שייך לקבוצה A

\item חסם מלעיל של A נקרא החסם העליון של A אם אין ל-A חסם מלעיל קטן ממש ממנו, מסמנים אותו $\sup A $ (מהמילה $\text{superior}$ )

\item חסם מלרע של A נקרא החסם התחתון של A אם אין ל-A חסם מלרע גדול ממש ממנו, מסמנים אותו $\inf A $ (מהמילה $\text{inferior}$)

\end{enumerate}

\end{definition}

\begin{example} ניקח לדוגמה את $$A=\{1,2,3,-5,463\} $$ $1000$ חסם מלעיל של $A$ משום שגדול או שווה לכל איברי הקבוצה.\\ גם $683$ חסם מלעיל של $A$, מאותה סיבה. \\ $463$ הוא חסם מלעיל מיוחד, הוא המקסימום, הוא חסם מלעיל שנמצא בתוך $A$ עצמה, ובעצם גם החסם העליון משום שאם היה חסם מלעיל קטן ממנו, אז הוא היה קטן מ- $463\in A $ , כלומר קטן ממש מאיבר בקבוצה (בעצם כל מקסימום הוא חסם עליון).\\ מצד שני\\ $-5.5 $ חסם מלרע של $A$ משום שקטן או שווה לכל איברי הקבוצה.\\ $-5 $ גם הוא חסם מלרע של $A$, אך הפעם זהו מינימום משום שזהו חסם מלרע בתוך הקבוצה $A$. באופן דומה למקסימום, בתור מינימום, הוא גם חסם תחתון. \end{example}

\begin{example} ניקח את $$B=\left \{\left ( \frac{1}{10} \right )^n : n\in \mathbb{N} \right \} = \left \{0.1,0.01,0.001,\cdots\right \} $$ נשים לב ש-$0.1$ חסם מלעיל של הקבוצה, ומשום גם נמצא בתוך הקבוצה הוא מקסימום שלה ומכאן גם חסם עליון.\\ מה המינימום שלה? נראה שאין כזה ע"י כך שנמצא את החסם התחתון של $B$ ונראה שהוא לא בקבוצה, למרות שמינימום הוא תמיד גם בקבוצה וגם חסם תחתון.\\ $0$ חסם תחתון של $B$ משום שחסם מלרע וגם אם קיים חסם מלרע גדול יותר, $\varepsilon$ אז מתקיים $$\forall n :\varepsilon\leq \left ( \frac{1}{10} \right )^n =\frac{1}{10^n}\Rightarrow$$ $$\forall n : 10^n \leq \frac{1}{\varepsilon} $$ אבל החלק הימני קבוע והחלק השמאלי יכול להיות גדול כרצוננו (עבור בחירת $n$ מספיק גדול) ולכן קיבלנו שמשהו שגדול כרצוננו קטן ממשהו קבוע וזוהי כמובן סתירה, ומכאן ש-$0$ הוא חסם המלרע הכי גדול.\\ מצד שני $0\not\in B $ , ולכן אין מינימום. \end{example}

שימו לב לשלילות הבאות:

$M$ אינו חסם מלעיל אם"ם קיים איבר $a>M$

$m$ אינו חסם מלרע אם"ם קיים איבר $a<M$

$M$ אינו חסם עליון אם"ם הוא אינו חסם מלעיל או שקיים חסם מלעיל הקטן ממש ממנו.

$m$ אינו חסם תחתון אם"ם הוא אינו חסם מלרע או שקיים חסם מלרע הגדול ממש ממנו.

\begin{remark} תהי $A\subseteq \mathbb{R} $ ונגדיר $B=\{-a : a\in A\} $. אזי $M $ חסם מלעיל של $A$ אם ורק אם $-M$ חסם מלרע של $B$ ובנוסף $M$ חסם עליון של $A$ אם ורק אם $-M$ חסם תחתון של $B$. \end{remark}

\begin{proof} \begin{enumerate} \item $-M$ חסם מלרע של $B$ $\Leftrightarrow$\\ $\forall b \in B : -M\leq b $ $\Leftrightarrow$\\ $\forall a\in A : -M\leq -a $ $\Leftrightarrow$\\ $\forall a\in A : a\leq M $ $\Leftrightarrow$\\ $M$ חסם מלעיל של $A$ \item נניח $M$ חסם עליון של $A$, בפרט הוא חסם מלעיל ולכן $-M$ חסם מלרע של $B$. כעת נניח בשלילה שקיים חסם מלרע $m\geq -M $, ולכן $-m\leq M $ חסם מלעיל של $A$ בסתירה לכך ש- $M$ חסם המלעיל הכי קטן שלו, ולכן אין חסם מלרע גדול מ- $-M$ ואז הוא חסם תחתון. את הכיוון השני מוכיחים באופן דומה. \end{enumerate} \end{proof}

\begin{remark} מאחת ההגדרות של $\mathbb{R} $ מקבלים שלכל $\phi \neq A\subseteq\mathbb{R}$ חסומה מלעיל קיים חסם עליון. \end{remark}

\begin{thm} אם $\phi \neq A\subseteq\mathbb{R}$ חסומה מלרע אזי קיים חסם תחתון. \end{thm}

\begin{proof} תהי $A$ לא ריקה חסומה מלרע. אם נגדיר את $B$ כמו במשפט האחרון נקבל שהיא חסומה מלעיל לפי המשפט, ומההערה יש לה חסם עליון $M$. מאותו המשפט, נקבל ש- $-M$ חסם תחתון של $A$ ולכן הוכחנו שיש לה חסם תחתון. (מצאנו אותו) \end{proof}

\begin{thm} תהי $A\subseteq\mathbb{R}$ חסומה מלעיל אזי:

M חסם עליון של A אם"ם M חסם מלעיל של A וגם לכל $0<\epsilon\in\mathbb{R}$ קיים $a\in A$ כך ש $a>M-\epsilon$

m חסם תחתון של A אם"ם m חסם מלרע של A וגם לכל $0<\epsilon\in\mathbb{R}$ קיים $a\in A$ כך ש $a<m+\epsilon$

\end{thm} במילים: M חסם עליון אם הוא חסם מלעיל וגם אין חסם מלעיל הקטן ממנו. כלומר, כל מספר הקטן ממנו אינו חסם מלעיל. כלומר, אם נקטין את M בגודל כלשהו שאינו אפס נקבל מספר שאינו חסם מלעיל. מספר אינו חסם מלעיל אם"ם יש איבר בקבוצה הגדול ממנו. (ניסוח דומה עבור החסם התחתון.)

\begin{proof} נוכיח עבור חסם עליון, ועבור חסם תחתון אפשר להוכיח באופן דומה.\\ \boxed{\Leftarrow}\\ נניח M חסם עליון. מתוך ההגדרה של חסם עליון נובע בפרט ש-M חסם מלעיל. נותר להוכיח כי $$\forall\epsilon >0\exists a\in A:a>M-\epsilon$$ נניח בשלילה כי קיים $\epsilon >0$ כל שלכל האיברים $a\in A$ מתקיים $a\leq M-\epsilon$.\\ לכן, לפי ההגדרה, $M-\epsilon$ הוא חסם מלעיל של הקבוצה. מכיוון שאפסילון גדול מאפס, $M-\epsilon$ הוא חסם מלעיל קטן ממש מהחסם העליון $M$, בסתירה לכך שהוא חסם המלעיל הקטן ביותר.\\ \boxed{\Rightarrow} נניח בשלילה ש- $M$ לא חסם עליון. לפי הנתון הוא חסם מלעיל ולכן מההנחה בשלילה מסיקים שיש חסם מלעיל קטן ממנו, נסמנו $m$. נסתכל על $\varepsilon=M-m $ , ונראה ש- $M-\varepsilon=m $ , שגדול או שווה לכל איברי הקבוצה, ולכן אין איבר ב-$A$ שגדול מ-$M-\varepsilon$, בסתירה לנתון. \end{proof}