הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:מבחן אבל להתכנסות טורים"
מתוך Math-Wiki
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) (יצירת דף עם התוכן "\underline{משפט:} יהי הטור $\sum_{n=1}^\infty a_n b_n $ ונניח ש- $\sum_{n=1}^\infty a_n $ מתכנס ו- $b_n $ מונוטונית וחסומה,...") |
מ (2 גרסאות יובאו) |
||
(גרסת ביניים אחת של משתמש אחר אחד אינה מוצגת) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
− | \ | + | \begin{thm} |
+ | יהי הטור $\sum_{n=1}^\infty a_n b_n $ ונניח ש- $\sum_{n=1}^\infty a_n $ מתכנס ו- $b_n $ מונוטונית וחסומה, אזי הטור מתכנס. | ||
+ | \end{thm} | ||
− | \ | + | \begin{proof} |
− | + | $b_n$ מונו' וחסומה ולכן מתכנסת לגבול $L$. נניח בה"כ ש- $b_n$ מונוטונית יורדת (ואם היא עולה נעשה באופן דומה) ואז מתקיים | |
− | $\sum a_n b_n = \sum a_n (b_n-L+L) = \sum a_n (b_n-L) + L\sum a_n $ | + | $$\sum a_n b_n = \sum a_n (b_n-L+L) = \sum a_n (b_n-L) + L\sum a_n $$ |
+ | הטור הראשון מתכנס לפי דיריכלה והשני נתון שהוא מתכנס, אז הטור הוא סכום של מתכנסים ולכן מתכנס. | ||
+ | \end{proof} |
גרסה אחרונה מ־20:16, 4 באוקטובר 2014
\begin{thm} יהי הטור $\sum_{n=1}^\infty a_n b_n $ ונניח ש- $\sum_{n=1}^\infty a_n $ מתכנס ו- $b_n $ מונוטונית וחסומה, אזי הטור מתכנס. \end{thm}
\begin{proof} $b_n$ מונו' וחסומה ולכן מתכנסת לגבול $L$. נניח בה"כ ש- $b_n$ מונוטונית יורדת (ואם היא עולה נעשה באופן דומה) ואז מתקיים $$\sum a_n b_n = \sum a_n (b_n-L+L) = \sum a_n (b_n-L) + L\sum a_n $$ הטור הראשון מתכנס לפי דיריכלה והשני נתון שהוא מתכנס, אז הטור הוא סכום של מתכנסים ולכן מתכנס. \end{proof}