קוד:מבחן ההשוואה הראשון לטורים

\begin{thm} יהיו שני טורים עם איברים חיוביים $\sum_{n=1}^\infty a_n , \sum_{n=1}^\infty b_n $ כך ש- $\exists_{n_0} \forall_{n>n_0} a_n\leq b_n $ אזי \begin{enumerate} \item אם $\sum_{n=1}^\infty b_n$ מתכנס אז גם $\sum_{n=1}^\infty a_n$ מתכנס

\item אם $ \sum_{n=1}^\infty a_n $ מתבדר אז גם $ \sum_{n=1}^\infty b_n $ מתבדר

\end{enumerate} \end{thm}

\begin{remark} משפט 2 שקול לוגית למשפט 1 משום שמתקיים $$p\rightarrow q \Leftrightarrow \lnot q \rightarrow \lnot p $$ לכן מספיק להוכיח רק את 1 \end{remark}

\begin{remark} אפשר "לזרוק" את כל האיברים שבאים לפני $n_0 $ ואז אם $\sum_{n=n_0}^\infty a_n $ מתכנס, בוודאי גם $$a_1+a_2+\cdots + a_{n_0 - 1} + \sum_{n=n_0}^\infty a_n = \sum_{n=1}^\infty a_n $$ לכן בהוכחה נניח ש- $n_0=1 $ \end{remark}

\begin{proof} נניח שהטור $\sum_{n=1}^\infty b_n $ מתכנס, אזי סדרת הסכומים החלקיים $B_n $ חסומה (נקרא לחסם מלעיל שלה $M$). כעת נסתכל על סדרת הסכומים החלקיים $$A_n=\sum_{k=1}^n a_k \leq \sum_{k=1}^n b_k = B_n \leq M $$ ולכן $A_n $ חסומה ומכאן ש- $\sum_{n=1}^\infty a_n $ מתכנס. \end{proof} \begin{example} הטור $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}} $ מתבדר או מתכנס? נראה כי $\sqrt{n}\leq n\Rightarrow \frac{1}{n}\leq \frac{1}{\sqrt{n}} $ וכיוון שהטור ההרמוני $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} $ מתבדר אז לפי מבחן ההשוואה הראשון גם הטור שלנו מתבדר. \end{example}