קוד:מבחן העיבוי לטורים

\begin{thm} נתון טור $\sum_{n=1}^\infty a_n $ כך ש- $\forall n : 0\leq a_{n+1}\leq a_n $ (כלומר $a_n$ מונוטונית יורדת).\\ אזי הטור הזה והטור $\sum_{k=0}^\infty a_{2^k} \cdot 2^k $ חברים. \end{thm}

\begin{example} הטור ההרמוני הוא טור שאיבריו מהווים סדרה מונוטונית יורדת, ולכן חבר של הטור $$\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{2^k}\cdot 2^k = \sum_{k=1}^\infty 1 $$ וברור שהטור הזה מתבדר. האמת שאפשר עם מבחן העיבוי להגיע לתוצאה יותר כללית עכשיו:

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p} $ מתכנס אם ורק אם $\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2^k)^p} \cdot 2^k $ מתכנס, אבל האיבר הכללי של הטור הוא בעצם $(2^{1-p})^k $ , כלומר סדרה הנדסית.\\ טור הנדסי מתכנס אם ורק אם היחס בין איבריו הוא בין $-1$ ל- $1$ , ומכאן שצריך להתקיים $2^{1-p}<1=2^0 $ . זה קורה אם ורק אם $1-p<0 $ וזה קורה אם ורק אם $p>1$ \end{example}

\begin{proof}

לשם הפשטות נקרא לסס"ח של $\sum_{n=1}^\infty a_n $ בשם $A_n$ ולסס"ח של $\sum_{n=0}^\infty a_{2^n} \cdot 2^n $ בשם $S_n$. כעת, מצד אחד: $$S_n=a_1+2a_2+4a_4+\cdots=a_1+(a_2+a_2)+(a_4+a_4+a_4+a_4)\geq$$ $$a_1+(a_2+a_3)+(a_4+a_5+a_6+a_7)=A_{2^n - 1} $$ (השתמשנו בעובדה שהסדרה מונו' יורדת)

ומצד שני $$S_n=a_1+2\cdot \sum_{k=1}^n a_{2^k} \cdot 2^{k-1}=a_1+2[a_2+(a_4+a_4)+(a_8+a_8+a_8+a_8)+\cdots]\leq$$ $$a_1+2[a_2+(a_3+a_4)+(a_5+a_6+a_7+a_8)+\cdots]=2A_{2^n} - a_1 $$ (גם פה השתמשנו בעובדה שהסדרה מונו' יורדת)

לסיכום: $A_{2^n - 1} \leq S_n \leq 2A_{2^n} - a_1 $

אם $A_n$ סדרה מתכנסת ל- $C$ אז נקבל (מכך שהסדרה $A_n$ מונוטונית עולה) ש-\\ $S_n \leq 2C- a_1 $, כלומר חסומה מלעיל, ולכן מתכנסת. מאי השיוויון שקיבלנו אפשר לקבל את הכיוון בשני של הטענה באופן דומה. \end{proof}

\begin{remark} אם הסדרה לא מונו' יורדת, המשפט לא יתקיים. דוגמה די מאולצת היא הסדרה $$x_n=0,0,\frac{1}{3},0,\frac{1}{5},\frac{1}{6},\frac{1}{7},0,\frac{1}{9},\cdots $$ במקרה הזה $S_n=0 $ ולכן ברור שהטור "המתאים" שלה מתכנס, אבל הטור לא מתכנס. כי אם נגדיר $$y_n=1,\frac{1}{2},0,\frac{1}{4},0,0,0,\frac{1}{8},0,\cdots $$ אז $\sum y_n $ הוא בעצם טור הנדסי (מלבד הרבה אפסים שדחפו "באמצע") ולכן מתכנס. כעת נראה ש- $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = \sum_{n=1}^\infty x_n + \sum_{n=1}^\infty y_n $$ ואז אם $\sum x_n $ מתכנס גם הטור ההרמוני יתכנס ופה הסתירה. \end{remark}