הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:מטריצת מעבר בין בסיסים אורתונורמליים היא אוניטרית"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
מ (4 גרסאות יובאו)
 
(2 גרסאות ביניים של משתמש אחר אחד אינן מוצגות)
שורה 7: שורה 7:
 
\end{thm}
 
\end{thm}
  
\begin{thm}
+
\begin{proof}
  
 
כזכור, אם $B,B'$ שני בסיסים, אם $G,G'$ מטריצות הגראם של המכפלה הפנימית יחסית ל-$B,B'$ בהתאמה, ואם $C$ היא מטריצת המעבר מ-$B$ ל-$B'$, אזי $G'=C^tG\overline{C}$.
 
כזכור, אם $B,B'$ שני בסיסים, אם $G,G'$ מטריצות הגראם של המכפלה הפנימית יחסית ל-$B,B'$ בהתאמה, ואם $C$ היא מטריצת המעבר מ-$B$ ל-$B'$, אזי $G'=C^tG\overline{C}$.
שורה 17: שורה 17:
 
$\Leftarrow$  
 
$\Leftarrow$  
 
$\overline{C}^tC=I$  
 
$\overline{C}^tC=I$  
$\Leftarrow C^*C=I$  
+
$\Leftarrow$
 +
$C^*C=I$  
 
$\Leftarrow$  
 
$\Leftarrow$  
 
$C$ אוניטרית.
 
$C$ אוניטרית.
  
\end{thm}
+
\end{proof}

גרסה אחרונה מ־20:16, 4 באוקטובר 2014

נציג עוד קשר בין מטריצות אוניטריות לבין בסיסים אורתונורמליים.

\begin{thm}

מטריצת המעבר מבסיס אורתונורמלי לבסיס אורתונורמלי אחר היא מטריצה אוניטרית.

\end{thm}

\begin{proof}

כזכור, אם $B,B'$ שני בסיסים, אם $G,G'$ מטריצות הגראם של המכפלה הפנימית יחסית ל-$B,B'$ בהתאמה, ואם $C$ היא מטריצת המעבר מ-$B$ ל-$B'$, אזי $G'=C^tG\overline{C}$.

נניח ש-$B,B'$ בסיסים אורתונורמלים, אזי $G=G'=I$. לכן מתקיים $I=C^tI\overline{C}$ $\Leftarrow$ $C^t\overline{C}=I$ $\Leftarrow$ $\overline{C}^tC=I$ $\Leftarrow$ $C^*C=I$ $\Leftarrow$ $C$ אוניטרית.

\end{proof}