קוד:מיון נק' אי רציפות: הבדלים בין גרסאות בדף
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) (יצירת דף עם התוכן "\begin{definition} נניח $f:A\to \mathbb{R} $ לא רציפה ב-$a$ (במקרה הזה נהוג להגיד ש- $a$ נק' אי רציפות) ואז לא נכ...") |
מ (2 גרסאות יובאו) |
||
| (גרסת ביניים אחת של משתמש אחר אחד אינה מוצגת) | |||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
\begin{definition} | \begin{definition} | ||
נניח $f:A\to \mathbb{R} $ לא רציפה ב-$a$ (במקרה הזה נהוג להגיד ש- $a$ נק' אי רציפות) ואז לא נכון לומר שקיים $\lim_{x\to a} f(x) $ ששווה ל- $f(a)$ . במקרה הזה קיימות 3 אפשרויות: | נניח $f:A\to \mathbb{R} $ לא רציפה ב-$a$ (במקרה הזה נהוג להגיד ש- $a$ נק' אי רציפות) ואז לא נכון לומר שקיים $\lim_{x\to a} f(x) $ ששווה ל- $f(a)$ .\\ | ||
במקרה הזה קיימות 3 אפשרויות: | |||
\begin{enumerate} | |||
\item קיים הגבול $\lim_{x\to a} f(x) $ (ובפרט קיימים הגבולות החד צדדיים והם שווים) אבל הוא שונה מ-$f(a)$ . במקרה זה אומרים ש-$a$ נק' אי רציפות סליקה (או "סוג אפס"). | |||
\item לא קיים הגבול, אבל קיימים הגבולות החד צדדיים $\lim_{x\to a^+} f(x) , \lim_{x\to a^-} f(x) $ (ואז זה אומר שהם שונים). במקרה הזה אומרים ש- $a$ נק' אי רציפות מסוג ראשון. | |||
\item לפחות אחד הגבולות החד צדדיים לא קיים. במקרה זה אומרים ש- $a$ נק' אי רציפות מסוג שני | |||
\end{enumerate} | |||
\end{definition} | \end{definition} | ||
\begin{ | \begin{thm} | ||
לפונקציה מונוטונית $f:(a,b)\to \mathbb{R} $ יכולות להיות נק' אי רציפות מסוג ראשון בלבד | לפונקציה מונוטונית $f:(a,b)\to \mathbb{R} $ יכולות להיות נק' אי רציפות מסוג ראשון בלבד | ||
\end{ | \end{thm} | ||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
נניח בה"כ ש- $f$ מונוטונית עולה ונראה כי $\lim_{x\to x_0^-} f(x) = \sup_{x\in (a,x_0)} f(x)\leq f(x_0) , \lim_{x\to x_0^+} f(x)=\inf_{x\in (x_0,b)}\geq f(x_0)$ ולכן הגבולות החד צדדיים קיימים. | נניח בה"כ ש- $f$ מונוטונית עולה ונראה כי | ||
$$\lim_{x\to x_0^-} f(x) = \sup_{x\in (a,x_0)} f(x)\leq f(x_0) , \lim_{x\to x_0^+} f(x)=\inf_{x\in (x_0,b)}\geq f(x_0)$$ | |||
ולכן הגבולות החד צדדיים קיימים. | |||
אבל אם הם שווים ושונים מ- $f(x_0)$ נגיע לסתירה משום שאם נניח בה"כ ש- $\lim_{x\to x_0} f(x) > f(x_0) $ אז קיים $\delta $ כך ש- $\forall x : 0<x_0-x<\delta $ מתקיים ש- $(\lim_{x\to x_0} f(x)) - f(x) \leq (\lim_{x\to x_0} f(x))-f(x_0) \Rightarrow f(x_0)\leq f(x) $ למרות ש- $x<x_0$ וזה בסתירה למונוטוניות של $f$ | אבל אם הם שווים ושונים מ- $f(x_0)$ נגיע לסתירה משום שאם נניח בה"כ ש-\\ | ||
$\lim_{x\to x_0} f(x) > f(x_0) $ אז קיים $\delta $ כך ש- $\forall x : 0<x_0-x<\delta $ מתקיים ש- | |||
$$\left (\lim_{x\to x_0} f(x)\right ) - f(x) \leq \left (\lim_{x\to x_0} f(x)\right )-f(x_0) \Rightarrow f(x_0)\leq f(x) $$ | |||
למרות ש- $x<x_0$ וזה בסתירה למונוטוניות של $f$ | |||
\end{proof} | \end{proof} | ||
גרסה אחרונה מ־20:16, 4 באוקטובר 2014
\begin{definition} נניח $f:A\to \mathbb{R} $ לא רציפה ב-$a$ (במקרה הזה נהוג להגיד ש- $a$ נק' אי רציפות) ואז לא נכון לומר שקיים $\lim_{x\to a} f(x) $ ששווה ל- $f(a)$ .\\ במקרה הזה קיימות 3 אפשרויות: \begin{enumerate} \item קיים הגבול $\lim_{x\to a} f(x) $ (ובפרט קיימים הגבולות החד צדדיים והם שווים) אבל הוא שונה מ-$f(a)$ . במקרה זה אומרים ש-$a$ נק' אי רציפות סליקה (או "סוג אפס"). \item לא קיים הגבול, אבל קיימים הגבולות החד צדדיים $\lim_{x\to a^+} f(x) , \lim_{x\to a^-} f(x) $ (ואז זה אומר שהם שונים). במקרה הזה אומרים ש- $a$ נק' אי רציפות מסוג ראשון. \item לפחות אחד הגבולות החד צדדיים לא קיים. במקרה זה אומרים ש- $a$ נק' אי רציפות מסוג שני \end{enumerate} \end{definition}
\begin{thm} לפונקציה מונוטונית $f:(a,b)\to \mathbb{R} $ יכולות להיות נק' אי רציפות מסוג ראשון בלבד \end{thm}
\begin{proof} נניח בה"כ ש- $f$ מונוטונית עולה ונראה כי $$\lim_{x\to x_0^-} f(x) = \sup_{x\in (a,x_0)} f(x)\leq f(x_0) , \lim_{x\to x_0^+} f(x)=\inf_{x\in (x_0,b)}\geq f(x_0)$$ ולכן הגבולות החד צדדיים קיימים.
אבל אם הם שווים ושונים מ- $f(x_0)$ נגיע לסתירה משום שאם נניח בה"כ ש-\\ $\lim_{x\to x_0} f(x) > f(x_0) $ אז קיים $\delta $ כך ש- $\forall x : 0<x_0-x<\delta $ מתקיים ש- $$\left (\lim_{x\to x_0} f(x)\right ) - f(x) \leq \left (\lim_{x\to x_0} f(x)\right )-f(x_0) \Rightarrow f(x_0)\leq f(x) $$ למרות ש- $x<x_0$ וזה בסתירה למונוטוניות של $f$ \end{proof}