קוד:מכפלת טורים

<latex2pdf> <tex>קוד:ראש</tex>

יהיו 2 טורים $(B)\sum_{n=0}^\infty b_n , (A) \sum_{n=0}^\infty $ . נגדיר את הטור $(C)\sum_{n=0}^\infty c_n $ כאשר $c_n=\sum_{k=0}^n= a_k b_{n-k} $

\underline{משפט:} נניח שהטורים $A,B$ מתכנסים בהחלט אזי גם $C$ מתכנס בהחלט ו-$C=A\cdot B$

\underline{הוכחה:} קודם נראה ש-$C$ מתכנס בהחלט

$ \sum_{n=0}^m |c_n| = \sum_{n=0}^m |\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}|\leq \sum_{n=0}^m \sum_{k=0}^n |a_k b_{n-k}| \leq \sum_{n=0}^m \sum_{k=0}^m |a_n| |b_k|= \sum_{n=0}^m |a_n| \cdot \sum_{k=0}^m |b_k| \leq A\cdot B$

לכן הסס"ח חסום מלעיל ומכאן שהטור מתכנס בהחלט.

נסמן את הסס"ח של $A$ ב-$A_n$ ובאותו אופן על $B$. מתקיים ש-

$A_n B_n = \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^n a_i b_j $ <tex>קוד:זנב</tex> </latex2pdf>