הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:מסלול פורש מרחב אינווריאנטי"
(יצירת דף עם התוכן "הראינו כי אנחנו חייבים לחלק את הבסיס שלנו למסלולים, כדי שהמטריצה המייצגת תהיה בצורת ז'ור...") |
|||
שורה 1: | שורה 1: | ||
הראינו כי אנחנו חייבים לחלק את הבסיס שלנו למסלולים, כדי שהמטריצה המייצגת תהיה בצורת ז'ורדן. נותר לבדוק האם תתי-המרחבים הנפרשים על ידם הם אינווריאנטיים. ניעזר בהערה הבאה: | הראינו כי אנחנו חייבים לחלק את הבסיס שלנו למסלולים, כדי שהמטריצה המייצגת תהיה בצורת ז'ורדן. נותר לבדוק האם תתי-המרחבים הנפרשים על ידם הם אינווריאנטיים. ניעזר בהערה הבאה: | ||
− | \ | + | \begin{remark} |
− | $T\left[ | + | $$T\left[\operatorname{Span}\left \{ v_1,\dots,v_k \right \} \right ]=\operatorname{Span}\left \{ T\left(v_1 \right ),\dots,T\left(v_k \right ) \right \}=\operatorname{Span}\left(T\left[\left \{ v_1,\dots,v_k \right \} \right ] \right )$$ |
− | \ | + | \end{remark} |
− | + | \begin{lem} | |
− | \ | + | אם $E=\left \{ T^{m-1}\left(v \right ),\dots,T\left(v \right ),v \right \}$ הוא מסלול מאורך $m$, אזי $\operatorname{Span} E$ הוא אינווריאנטי. |
− | + | \end{lem} | |
− | + | \begin{proof} | |
+ | נתבונן ב-$i=0,\dots,i-2$. אזי | ||
+ | $$T\left(T^i\left(v \right ) \right )=T^{i+1}\left(v \right )\in E\subseteq \operatorname{Span} E$$ | ||
+ | עבור $i=m-1$, | ||
+ | $$T\left(T^{m-1}\left(v \right ) \right )=T^m\left(v \right )=0\in \operatorname{Span} E$$ | ||
לפי ההערה הקודמת, קיבלנו את מה שרצינו להוכיח. | לפי ההערה הקודמת, קיבלנו את מה שרצינו להוכיח. | ||
+ | |||
+ | \end{proof} |
גרסה מ־12:55, 3 בספטמבר 2014
הראינו כי אנחנו חייבים לחלק את הבסיס שלנו למסלולים, כדי שהמטריצה המייצגת תהיה בצורת ז'ורדן. נותר לבדוק האם תתי-המרחבים הנפרשים על ידם הם אינווריאנטיים. ניעזר בהערה הבאה:
\begin{remark}
$$T\left[\operatorname{Span}\left \{ v_1,\dots,v_k \right \} \right ]=\operatorname{Span}\left \{ T\left(v_1 \right ),\dots,T\left(v_k \right ) \right \}=\operatorname{Span}\left(T\left[\left \{ v_1,\dots,v_k \right \} \right ] \right )$$
\end{remark}
\begin{lem}
אם $E=\left \{ T^{m-1}\left(v \right ),\dots,T\left(v \right ),v \right \}$ הוא מסלול מאורך $m$, אזי $\operatorname{Span} E$ הוא אינווריאנטי.
\end{lem}
\begin{proof}
נתבונן ב-$i=0,\dots,i-2$. אזי $$T\left(T^i\left(v \right ) \right )=T^{i+1}\left(v \right )\in E\subseteq \operatorname{Span} E$$ עבור $i=m-1$, $$T\left(T^{m-1}\left(v \right ) \right )=T^m\left(v \right )=0\in \operatorname{Span} E$$ לפי ההערה הקודמת, קיבלנו את מה שרצינו להוכיח.
\end{proof}