קוד:נגזרת של פונקציה הפוכה

\begin{thm} נניח $f:(a,b)\to (c,d) $ הפיכה, כלומר קיימת $f^{-1}:(c,d)\to (a,b) $ . נניח ש- $f$ גזירה ב- $x_0 $ אזי $f^{-1} $ גזירה ב- $f(x_0)$ ומתקיים $f^{-1} ' (f(x_0))=\frac{1}{f'(x_0)} $ \end{thm}

\begin{proof} $(f^{-1}(f(x)))'=x'=1 \Rightarrow f^{-1}'(f(x_0))\cdot f'(x_0)=1 \Rightarrow f^{-1} ' (f(x_0))=\frac{1}{f'(x_0)} $ \end{proof}

דוגמה לשימוש:

$\sin $ באופן כללי לא חח"ע אבל צמצום הפונקציה אל $[-frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] יביא פונקציה חח"ע שהיא על $[-1,1] $ ואז ניתן להגדיר פונקציה הפוכה $\arcsin : [-1,1]\to [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] $ . מה הנגזרת שלה?

$$\arcsin'(\sin(x))=\frac{1}{\cos x} \Rightarrow \arcsin'(x)=\frac{1}{\cos \arcsin(x)} =\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 (\arcsin(x))}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $$