נראה עכשיו דרך פשוטה להשיג את המרחב הווקטורי הגדול, $V$, כסכום ישר של תתי-מרחבים. הדרך היא באמצעות לקיחת בסיס של $V$ ופירוקו לתתי-קבוצות. כל תת-קבוצה תפרוש מרחב בסכום.
\textbfbegin{למה:lem}
אם בסיס $B$ של $V$ הוא איחוד זר של הקבוצות $B_1,\dots,B_k$, ואם לכל $i=1,\dots,k$,
$U_i=\operatorname{span}\left(B_i\right)$,
אזי $V=U_1\oplus\cdots\oplus U_k$.
\textitend{הוכחה:lem}
נתחיל מלהוכיח ש-$V=U_1+\cdots+U_k$, ז"א שכל $x\in V$ ניתן להצגה כסכום $x=u_1+\cdots+u_k$, כך שלכל $i=1,\dots,k$, $u_i\in U_i$. זה נובע ישירות מההצגה של $x$ כצירוף לינארי של איברי $B$.begin{proof}
נתחיל מלהוכיח ש-$V=U_1+\cdots+U_k$, ז"א שכל $x\in V$ ניתן להצגה כסכום$$x=u_1+\cdots+u_k$$כך שלכל $i=1,\dots,k$, $u_i\in U_i$. זה נובע מההצגה של $x$ כצירוף לינארי של איברי $B$. נעבור להוכיח שהסכום הוא ישר. נתבונן בחיתוך $$W=\underbrace{\left(\left(U_1+U_2 \right )+U_{i-1}\right)}_{\tilde{W}}\cap U_i$$נניח שקיים $x\in \tilde{W}$ ו-$x\in U_i$. לכן, ניתן להציג אותו כצירוף לינארי של איברי הבסיס $B_1\cup\cdots\cup B_{i-1}$, כלומר גם כסכום $x=u_1+\cdots+u_{i-1}$, כאשר לכל $j=1,\dots,i-1$, מתקיים $u_j\in U_j$, והוא צירוף לינארי של איברי $B_j$.
כמו כן, $x$ ניתן להצגה כצירוף לינארי של איברי הבסיס $B_i$, כי $x\in U_i$.
עם זאת, מתקיים $\left(B_1\cup\cdots\cup B_{i-1} \right )\cap B_i=\emptyset$. לכן, מיחידות ההצגה של $x$ כצירוף לינארי של איברי $B$, נובע שכל המקדמים בצירופים הם אפסים, ולכן $x=0$.
\end{proof}