קוד:ערך מוחלט ואי שיוויונים

\begin{definition} באופן אינטואיטיבי, הערך המוחלט של מספר ממשי הוא המרחק שלו מ-$0$. לדוגמא: $|7|=|-7|=7$\\ ההגדרה המדוייקת של הערך המוחלט היא: $$|x|=\begin{cases}x & x\geq 0 \\ -x & x<0\end{cases}=\sqrt{x^2}$$ \end{definition}

\begin{remark}[תכונות בסיסיות של ערך מוחלט] $\\$ \begin{enumerate} \item $\forall x : |x|=|-x|$ \item $\forall x : |x|\geq 0 $ \item $x=0 \Leftrightarrow |x|=0$ \item $\forall x,y: |x\cdot y| = |x|\cdot |y|$ \item $\forall x: x\leq |x|$ \end{enumerate} \end{remark}

\begin{remark} המרחק בין $x$ ל-$y$ הוא $|x-y|$. נשים לב שזה כמובן כמו המרחק בין $y$ ל-$x$, שלפי ההגדרה הזו הוא $|y-x| $. \end{remark}

\begin{thm}[אי שיוויון המשולש] $$\forall x,y: |x+y|\leq |x|+|y| , ||x|-|y||\leq |x-y|$$ \end{thm}

\begin{remark}[תכונות בסיסיות של אי שיוויונים] $\\$ \begin{enumerate} \item $ x\leq y \Leftrightarrow -x\geq -y $ \item נניח $0\leq x,y$ אזי $x\leq y$ אם ורק אם $ x^2\leq y^2 $ \item נניח $0< x,y$ אזי $x\leq y$ אם ורק אם $\frac{1}{x} \geq \frac{1}{y}$ \end{enumerate}

\end{remark}

\begin{remark}[ערך מוחלט ואי שיוויונים] נניח $L\geq 0$ אזי

\begin{enumerate} \item $|x|\leq L \Leftrightarrow -L<x<L$ \item $|x|\geq L \Leftrightarrow x\geq L \text{ or } x\leq -L $ \end{enumerate} \end{remark}