הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:ערכים עצמיים של אופרטור נילפוטנטי"
מתוך Math-Wiki
(יצירת דף עם התוכן "\textbf{למה:} אם $T:V\rightarrow V$ אופרטור נילפוטנטי, $n=\dim V$, אזי הפולינום האופייני של $T$ הוא $p_T\left(x\rig...") |
|||
| שורה 5: | שורה 5: | ||
\textit{הוכחה:} | \textit{הוכחה:} | ||
| − | $T^s=0$, ולכן $x^s$ הוא פולינום מאפס ל-$T$. לכן, $m_T\left(x\right)|x^s$, ז"א $m_T\left(x\right)=x^k$. אבל $p_T\left(x\right)|\left[m_T\left(x\right)\ | + | $T^s=0$, ולכן $x^s$ הוא פולינום מאפס ל-$T$. לכן, $m_T\left(x\right)|x^s$, ז"א $m_T\left(x\right)=x^k$. אבל $p_T\left(x\right)|\left[m_T\left(x\right)\right]^n$, ולכן $p_T\left(x\right)|x^{kn}$, ובנוסף $\deg\left(p_T\right)=n$. לכן, $p_T\left(x\right)=x^n$. |
\textbf{מסקנה:} | \textbf{מסקנה:} | ||
גרסה מ־06:47, 20 באוגוסט 2014
\textbf{למה:}
אם $T:V\rightarrow V$ אופרטור נילפוטנטי, $n=\dim V$, אזי הפולינום האופייני של $T$ הוא $p_T\left(x\right)=x^n$.
\textit{הוכחה:}
$T^s=0$, ולכן $x^s$ הוא פולינום מאפס ל-$T$. לכן, $m_T\left(x\right)|x^s$, ז"א $m_T\left(x\right)=x^k$. אבל $p_T\left(x\right)|\left[m_T\left(x\right)\right]^n$, ולכן $p_T\left(x\right)|x^{kn}$, ובנוסף $\deg\left(p_T\right)=n$. לכן, $p_T\left(x\right)=x^n$.
\textbf{מסקנה:}
$\lambda=0$ הוא ערך עצמי יחיד של כל אופרטור נילפוטנטי.
שימו לב שאת המסקנה האחרונה ניתן להוכיח גם ללא המשפט, והמשפט ינבע ממנה )נסו להוכיח לבד!(.
