הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:פולינום אופייני ומינימלי של מטריצה אלכסונית בלוקים"
| שורה 9: | שורה 9: | ||
\item $p_A\left(x \right )=p_{A_1}\left(x \right )\dots p_{A_k}\left(x \right )$. | \item $p_A\left(x \right )=p_{A_1}\left(x \right )\dots p_{A_k}\left(x \right )$. | ||
| − | \item $m_A\left(x \right )= | + | \item $m_A\left(x \right )=lcm \left \{m_{A_1}\left(x \right ),\dots, m_{A_k}\left(x \right ) \right \}$. |
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
| שורה 16: | שורה 16: | ||
למספרים טבעיים, | למספרים טבעיים, | ||
| − | $\ | + | $\lcm \left \{a_1,\dots,a_k \right \}=\min\left\{M\mid a_1|M,\dots,a_k|M\right\}$. |
לפולינומים, זהו הפולינום המתוקן מהמעלה הקטנה ביותר מהקבוצה | לפולינומים, זהו הפולינום המתוקן מהמעלה הקטנה ביותר מהקבוצה | ||
| שורה 36: | שורה 36: | ||
m_k\left(x \right )|p_k\left(x \right )|\left[m_k\left(x \right ) \right ]^n$. | m_k\left(x \right )|p_k\left(x \right )|\left[m_k\left(x \right ) \right ]^n$. | ||
| − | נסמן $g\left(x \right )= | + | נסמן $g\left(x \right )=lcm \left \{m_{A_1}\left(x \right ),\dots, m_{A_k}\left(x \right ) \right \}$. נוכיח $m_A=g$ לפי השלבים הבאים: |
\begin{enumerate} | \begin{enumerate} | ||
| שורה 81: | שורה 81: | ||
$m_A=q\cdot m_i+r$, כאשר $\deg\left(r\right)<\deg\left(m_i\right)$ או $r=0$. נציב $A_i$, ונקבל $m_A\left ( A_i \right )=q\left ( A_i \right )\cdot m_i\left ( A_i \right )+r\left ( A_i \right )$, כלומר $0=q\left ( A_i \right )\cdot 0+r\left ( A_i \right )$, ומכאן $r\left ( A_i \right )=0$. לכן, אם $\deg\left(r\right)<\deg\left(m_i\right)$, נקבל סתירה למינימליות של $m_i$, כלומר $r=0$. | $m_A=q\cdot m_i+r$, כאשר $\deg\left(r\right)<\deg\left(m_i\right)$ או $r=0$. נציב $A_i$, ונקבל $m_A\left ( A_i \right )=q\left ( A_i \right )\cdot m_i\left ( A_i \right )+r\left ( A_i \right )$, כלומר $0=q\left ( A_i \right )\cdot 0+r\left ( A_i \right )$, ומכאן $r\left ( A_i \right )=0$. לכן, אם $\deg\left(r\right)<\deg\left(m_i\right)$, נקבל סתירה למינימליות של $m_i$, כלומר $r=0$. | ||
| − | \item אם כן, $g|m_A$, כי $g$ הוא $\ | + | \item אם כן, $g|m_A$, כי $g$ הוא $\lcm$. |
\item עם זאת, $g\left ( A_i \right )=0$ לכל $i=1,\dots,k$, כי לכל $i$, מתקיים $m_i\left(A_i\right)=0$, וכן ידוע $m_i|g$. | \item עם זאת, $g\left ( A_i \right )=0$ לכל $i=1,\dots,k$, כי לכל $i$, מתקיים $m_i\left(A_i\right)=0$, וכן ידוע $m_i|g$. | ||
גרסה מ־07:02, 19 באוגוסט 2014
הגדרנו מטריצות אלכסוניות בלוקים, וכעת ננסה לראות האם נוכל למצוא לה פולינום אופייני ומינימלי מבלי להתחיל לחשב אותם בכל פעם מחדש.
\textbf{טענה:}
תהי $A$ מטריצה אלכסונית בלוקים. אזי:
\begin{enumerate}
\item $p_A\left(x \right )=p_{A_1}\left(x \right )\dots p_{A_k}\left(x \right )$.
\item $m_A\left(x \right )=lcm \left \{m_{A_1}\left(x \right ),\dots, m_{A_k}\left(x \right ) \right \}$.
\end{enumerate}
\underline{תזכורת:}
למספרים טבעיים, $\lcm \left \{a_1,\dots,a_k \right \}=\min\left\{M\mid a_1|M,\dots,a_k|M\right\}$.
לפולינומים, זהו הפולינום המתוקן מהמעלה הקטנה ביותר מהקבוצה $\left \{ g\in\mathbb{F}\left[x \right ]\mid f_1|g,\dots,f_k|g \right \}$.
\textit{הוכחה:}
נסמן $p_{A_i}\left(x \right )=p_i\left(x \right )$, $m_{A_i}\left(x \right )=m_i\left(x \right )$.
החלק הראשון על הפולינום האופייני קל לחישוב ישירות, על ידי דטרמיננטה של מטריצת בלוקים. אם כן, נוכיח רק את החלק השני.
לפי משפט קודם,
$\\m_1\left(x \right )|p_1\left(x \right )|\left[m_1\left(x \right ) \right ]^n \\ \vdots \\ m_k\left(x \right )|p_k\left(x \right )|\left[m_k\left(x \right ) \right ]^n$.
נסמן $g\left(x \right )=lcm \left \{m_{A_1}\left(x \right ),\dots, m_{A_k}\left(x \right ) \right \}$. נוכיח $m_A=g$ לפי השלבים הבאים:
\begin{enumerate}
\item אם $f\in\mathbb{F}\left[x\right]$ פולינום כלשהו, אזי $f\left(A \right )=\left(\begin{matrix} f\left(A_1 \right ) & &0 \\
&\ddots & \\
0 & & f\left(A_k \right ) \end{matrix} \right )$.
זה נכון מפני שמתקיים:
\begin{enumerate}
\item $A^\ell=\left(\begin{matrix} A_1^\ell & &0 \\
&\ddots & \\
0 & & A_k^\ell \end{matrix} \right )$
\item $\alpha A=\left(\begin{matrix} \alpha A_1 & &0 \\
&\ddots & \\
0 & & \alpha A_k \end{matrix} \right )$
\item אם $A,\tilde{A}$ שתי מטריצות אלכסוניות בלוקים כשהבלוקים מאותו גודל )מטריצות מאותו מבנה(, אזי
$A+\tilde{A}=\left(\begin{matrix} A_1+\tilde{A}_1 & &0 \\
&\ddots & \\
0 & & A_k+\tilde{A}_k \end{matrix} \right )$
\end{enumerate}
\item אם $f\left(A\right)=0$, אזי $f\left(A_i\right)=0$ לכל $i=1,\dots,k$.
\item $m_A\left(A_i \right )=0$ לכל $i=1,\dots,k$ )לפי השלב הקודם(.
\item לכל $i=1,\dots,k$, מתקיים $m_i|m_A$. נימוק: נשתמש בחילוק עם שארית.
$m_A=q\cdot m_i+r$, כאשר $\deg\left(r\right)<\deg\left(m_i\right)$ או $r=0$. נציב $A_i$, ונקבל $m_A\left ( A_i \right )=q\left ( A_i \right )\cdot m_i\left ( A_i \right )+r\left ( A_i \right )$, כלומר $0=q\left ( A_i \right )\cdot 0+r\left ( A_i \right )$, ומכאן $r\left ( A_i \right )=0$. לכן, אם $\deg\left(r\right)<\deg\left(m_i\right)$, נקבל סתירה למינימליות של $m_i$, כלומר $r=0$.
\item אם כן, $g|m_A$, כי $g$ הוא $\lcm$.
\item עם זאת, $g\left ( A_i \right )=0$ לכל $i=1,\dots,k$, כי לכל $i$, מתקיים $m_i\left(A_i\right)=0$, וכן ידוע $m_i|g$.
\item לכן, $g\left ( A \right )=0$.
\item אם כן, $g|m_A$.
\item מ-5, מ-8 ומהעובדה ששני הפולינומים מתוקנים, נקבל $g=m_A$, כדרוש.
\end{enumerate}
