קוד:פונקציות רציפות

\begin{definition} אומרים ש- $f:A\to \mathbb{R} $ רציפה בנקודה $a$ אם קיים $\lim_{x\to a} f(x) $ והוא שווה ל- $f(a)$ . האינטואיציה מאחורי זה היא שאפשר לצייר את גרף הפונקציה בלי להרים את העט מהדף. בהגדרת הגבול של קושי ההגבלה $0<|x-a|<\delta $ מתחלף ב- $|x-a|<\delta $ (כי מותר ש- $x=a$ ) ובהגדרת הגבול של היינה כל סדרה ששואפת ל-$a$ בסדר, לא רק סדרות שתמיד שונות מ- $a$ \end{definition}

\begin{thm} אריתמטיקה של רציפות: אם $f,g$ רציפות ב- $a$ אזי גם הפונקציות הבאות רציפות ב- $a$: \begin{enumerate} \item $\alpha f + \beta g $ עבור $\alpha,\beta $ קבועים ממשיים. \item $f\cdot g $ \item $ \frac{f}{g} $ בהנתן העובדה ש- $g(a)\neq 0 $ \end{enumerate}

\end{thm}

\begin{proof} נשתמש פשוט באריתמטיקה של גבולות ונקבל את הדרוש \end{proof}

\begin{thm} תהיינה $f:A\to B, g:B\to \mathbb{R} $ ונניח ש- $f(x)$ רציפה ב- $a$ ו- $g(x) $ רציפה ב- $f(a) $ אזי $h=g\circ f $ רציפה ב- $a$ \end{thm}

\begin{proof} נשתמש בעקרון היינה: נניח $x_n\to a $ ולכן $y_n=f(x_n)\to f(a) $ ומכאן ש- $h(x_n)=g(f(x_n))=g(y_n)\to g(f(a))=h(a) $ , ומהגדרת הגבול של היינה נקבל ש- $h$ רציפה ב- $a$ \end{proof}