שינויים
עד כה הגדרנו רציפות באופן נקודתי ואמרנו שפונקציה רציפה בקטע אם היא רציפה בכל נקודה בקטע בנפרד.
$f$ רבמ"ש ולכן $|f(x_n)-f(y_n)|\to 0 $ אבל גם $g$ רבמ"ש ולכן $|g(f(x_1))-g(f(x_2))|=|h(x_1)-h(x_2)|\to 0 $ . מהשלילה של אחת הטענות הקודמות נקבל ש- $h$ רבמ"ש.
\end{proof}
\begin{thm}אם $f$ רציפה במ"ש על הקטעים $(a,b],[b,c)$ (לאו דווקא קצות סופיים), אזי היא רציפה במ"ש באיחוד $(a,c)$ \end{thm} \begin{proof}יהי $\epsilon>0$. $f$ רציפה במ"ש ב $(a,b]$ ולכן קיים $\delta_1>0$ כך שלכל $x,y\in(a,b]$ המקיימים $|x-y|<tex\delta_1$ מתקיים $|f(x)-f(y)|<\frac{\epsilon}{2}$. $f$ רציפה במ"ש ב $[b,c)$ ולכן קיים $\delta_2>קוד0$ כך שלכל $x,y\in[b,c)$ המקיימים $|x-y|<\delta_2$ מתקיים $|f(x)-f(y)|<\frac{\epsilon}{2}$. יהי $\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}$. אזי $\delta>0$. נראה שלכל $x,y\in(a,c)$ המקיימים $|x-y|<\delta$ מתקיים $|f(x)-f(y)|<\epsilon$.נניח $x,y\in(a,c)$ כך ש $|x-y|<\delta$. יתכנו שלושה מצבים:זנב א) $x,y\in(a,b]$. אזי $|x-y|</tex\delta\leq \delta_1$ ומכאן $|f(x)-f(y)|<\frac{\epsilon}{2}<\epsilon$. ב) $x,y\in [b,c)$ ומכיון ש $|x-y|<\delta\leq \delta_2$ נסיק ש $|f(x)-f(y)|<\frac{\epsilon}{2}<\epsilon$. ג) אחת מהנקודות ב $(a,b]$ והשניה ב $[b,c)$. נניח בה"כ ש $x\in(a,b]$ ו $y\in[b,c)$. מכאן $|x-b|\leq|x-y|<\delta\leq \delta_1$ וכן $|y-b|\leq|x-y|<\delta\leq \delta_2$. מכאן $|f(x)-f(b)|<\frac{\epsilon}{2} $ וכמו כן $|f(b)-f(y)|<\frac{\epsilon}{2}$. כעת ניעזר באי שוויון המשולש כדי לקבל $|f(x)-f(y)|\leq |f(x)-f(b)|+|f(b)-f(y)|<\epsilon $ \end{proof} \begin{thm}תהי f רציפה על קטע חצי אינסופי מהצורה $[a,\infty)$, כך שהגבול$\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=L$ קיים וסופי, אזי f רציפה במ"ש על הקטע $[a,\infty)$.\end{thm} \begin{proof}יהי אפסילון גדול מאפס, צריך למצוא דלתא גדול מאפס כך שאם המרחק בין זוג נקודות בקטע קטן מדלתא, המרחק בין התמונות שלהן תחת הפונקציה קטן מאפסילון. לפי הנתון, קיים M כך שלכל $x>M$ מתקיים $|f(x)-L|<\frac{\epsilon}{2}$. לכן לכל $x_1,x_2>M$ מתקיים $|f(x_1)-f(x_2)|</latex2pdf\epsilon$ (בעזרת אי שיוויון המשולש). כעת, לפי משפט קנטור f רציפה במ"ש בקטע $[a,M+1]$, ולכן קיים דלתא כך שלכל זוג נקודות $a\leq x_1,x_2\leq M+1$ הקרובות עד כדי דלתא, מתקיים $|f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon$. אם ניקח מרחק שקטן או שווה למינימום שבין דלתא לבין אחד, יתקיים שאם $|x_1-x_2|<\delta$ אזי שתי הנקודות נמצאות בקטע $[M,\infty)$ או בקטע $[a,M+1]$ ולכן ההפרש בין התמונות שלהן תחת f הוא קטן מאפסילון כפי שרצינו. \end{proof} \begin{corollary}תהי f פונקציה רציפה על קטע לאו דווקא סופי, אזי אם הגבולות של הפונקציה בקצות הקטע קיימים וסופיים, הפונקציה רציפה במ"ש בקטע. זה לא נכון בכיוון ההפוך, לדוגמה $f(x)=x $ מפריכה.\end{corollary} \begin{proof}אם הקטע הוא מהסוג $<a,b>$ אזי אפשר להרחיב את הפונקציה ל- $[a,b] $ ובקצוות הפונקציה תקבל את הגבולות החד צדדיים. מכאן שהפונקציה רציפה בקטע סגור ולכן רבמ"ש שם ובפרט תהיה רבמ"ש בתת קטע $<a,b> $ אם הקטע מהצורה $[a,\infty) $ הוכחנו אם הקטע מהצורה $(-\infty,\infty) $ אז ניקח נקודה באמצע ונעשה חלוקה לקטעים ובכל קטע הפונקציה רבמ"ש ולכן גם ב- $(-\infty, \infty) $\end{proof} \begin{thm}פונקציה מחזורית הרציפה על כל הממשיים, רציפה במ"ש על כל הממשיים. שימו לב: פונקציה נקראת מחזורית אם קיים מספר ממשי p כך שלכל x ממשי מתקיים: $f(x+p)=f(x)$ \end{thm} \begin{proof}יהי $\varepsilon>0 $ נקבע $x_0 $ ונראה ש- $f$ רבמ"ש ב- $[x_0,x_0+2p]$ ולכן קיים $\delta>0 $ כך שהגדרת הרציפות במ"ש מתקיימת. כעת עבור $x_1,x_2\in \mathbb{R} $ כך ש- $|x_1-x_2|<\delta $ נשים לב ש- $|f(x_1)-f(x_2)| $ לא ישתנה אם נזיז את $x_1,x_2 $ כל פעם $p$ ימינה או שמאלה על ציר המספרים עד שיגיעו ל- $[x_0,x_0+2p]$ ושם ידוע שהמרחק בין ערכי הפונקציה קטן מאפסילון, לכן סיימנו. \end{proof} בעתיד, כשנלמד על נגזרות נראה שיש עוד דרך להוכיח רציפות במ"ש.
