קוד:תנאי קושי לקיום גבול של פונקציה

\begin{theorem} משפט:

$\lim_{x\to a} f(x) = L \Leftrightarrow \\ \forall \varepsilon>0 \exists \delta \forall x',x : 0<|x'-a|,|x-a|<\delta \Leftarrow |f(x')-f(x)|<\varepsilon$ \end{theorem}

\begin{proof} \boxed{\Leftarrow}

יהי אפסילון גדול מ-0, אזי $\exists \delta>0 \forall x : |x-a|<\delta \Leftarrow |f(x)-L|<\frac{\varepsilon}{2} $ ניקח את אותו דלתא ונראה כי אם $|x'-a|,|x-a|<\delta $ אז $|f(x')-f(x)|=|f(x')-a + a-f(x)|\leq |f(x')-a|+|a-f(x)|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon $

\boxed{\Rightarrow}

נבדוק שקיים גבול לפי היינה. תהי $x_n\to a $ כך ש- $x_n\neq a $ , ונוכיח ש- $f(x_n) $ סדרת קושי. יהי אפסילון גדול מ-0 אז $\exists \delta \forall x',x : 0<|x'-a|,|x-a|<\delta \Leftarrow |f(x')-f(x)|<\varepsilon$ אבל משום ש- $x_n\to a $ אז קיים $N$ כך ש- $\forall n>N : |x_n-a|<\delta $ ולכן בפרט $\exists_N \forall n>m>N : |f(x_n)-f(x_m)|<\varepsilon $ מכאן שזו סדרת קושי ולכן מתכנסת לגבול $L$ . כעת נוכיח שזה הגבול לכל $f(x_n) $, בלי תלות ב- $x_n$ המקורית. נניח $y_n\to a, y_n\neq a , f(y_n)\to l $ ונוכיח ש- $l=L$ . נניח בשלילה ש- $l\neq L $ , אזי אם ניקח $\varepsilon=\frac{|L-l|}{3} $ נראה שנגיע לסתירה עם הנתון, משום שמהגדרת הגבול קיים איבר שממנו והלאה $|f(x_n)-L|<\varepsilon $ ו- $|f(y_n)-l|<\varepsilon $ ואז לא יכול להיות ש- $|f(x_n)-f(y_n)|<\varepsilon $ ומכאן הסתירה \end{proof}