קוד:ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים של אופרטורים: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך Math-Wiki
אין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
 
שורה 5: שורה 5:


\end{definition}
\end{definition}
\subsection{הגדרת ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים והקשר למטריצות המייצגות}


\begin{definition}
\begin{definition}
שורה 51: שורה 49:


\end{proof}
\end{proof}
\subsection{אלגוריתם למציאת ערכים עצמיים של אופרטור}
\begin{enumerate}
\item נבחר בסיס $B$ של $V$.
\item נחשב את המטריצה המייצגת $A$.
\item נרכיב את המשוואה $\det\left(\lambda I-A\right)=0$. זוהי משוואה ממעלה $n$.
\item מחפשים פתרונות $\lambda_1,\dots,\lambda_s$.
\end{enumerate}

גרסה אחרונה מ־08:27, 5 באוקטובר 2014

\begin{definition}

\textbf{אופרטור לינארי} $T:V\rightarrow V$ הוא העתקה לינארית מ-$V$ לעצמו.

\end{definition}

\begin{definition}

יהי $T:V\rightarrow V$ אופרטור לינארי. אומרים ש-$ \lambda \in\mathbb{F}$ הוא \textbf{ערך עצמי} (ע"ע) של האופרטור $T$ אם קיים $0\ne v\in V$ שעבורו $Tv=T(v)=\lambda v $. הוקטור $v$ נקרא \textbf{וקטור עצמי} (ו"ע) של $T$ הקשור ל-$\lambda $.

\end{definition}

המשמעות זהה למטריצות - אילו וקטורים האופרטור מותח או מכווץ.

\begin{thm}

יהי $T:V\rightarrow V$ אופרטור לינארי, יהי $B=\left \{ v_1,\dots,v_n \right \} $ בסיס של $V$ ותהי $A$ המטריצה המייצגת של $T$ יחסית ל-$B$ . אזי אם $\lambda \in\mathbb{F}$ הוא ערך עצמי של $T$, הוא גם ערך עצמי של $A$ .

\end{thm}

\begin{proof}

נסמן $$\left [ v \right ]_B=\left ( \begin{matrix} \alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_n \end{matrix} \right )$$ $A$ היא המטריצה המייצגת של $T$ יחסית ל-$B$, ולכן $Tv=A\cdot \left [ v \right ]_B$ . $\lambda$ ע"ע של $T$, אזי קיים $v\neq 0$ כך ש-$Tv=\lambda v$, זאת אומרת $A\cdot\left [ v \right ]_B=\lambda \left [ v \right ]_B$, ולכן $\lambda$ ע"ע של $A$.

\end{proof}