אנחנו צריכים למצוא $ N $ שלכל $ n>N $ יתקיים $ |a_n-0|<\varepsilon $, אבל זה בדיוק אומר ש- $ |\frac{1}{n}|<\varepsilon $, וזה קורה אם $ n>\frac{1}{\epsilon} $ (העברת אגפים פשוטה). לכן אם ניקח N שגדול מאחד חלקי אפסילון, יתקיים שלכל האיברים אחריו, המרחק ביניהם ל-$0$ קטן מאפסילון. בדיוק מה שהיינו צריכים להוכיח!
\end{example}
\begin{remark}[הגבול הוא יחיד]
כלומר אם $a_n$ לא יכולה להתכנס ל-2 גבולות שונים. במילים אחרות אם $a_n\to L_1 $ ו- $a_n\to L_2 $ אזי $L_1=L_2 $\\
\begin{proof}
תהי $a_n$ שמתכנסת ל- $L_1,L_2 $ ונניח בשלילה ש- $L_1\neq L_2 $.\\
נניח בה"כ ש- $L_1<L_2 $.\\
אם נגדיר $\varepsilon = \frac{L_2-L_1}{2} $ נקבל מהנתון $a_n\to L_1 $ שקיים $N_1 $ כך שלכל $n>N_1 $ מתקיים
$$|a_n-L_1|<\varepsilon \Rightarrow L_1-\varepsilon < a_n < L_1 + \varepsilon = L_1+\frac{L_2-L_1}{2}= \frac{L_1+L_2}{2}$$
ובאופן דומה, מהנתון ש- $a_n\to L_2 $ מסיקים שקיים $N_2 $ כך שלכל $n>N_2 $ מתקיים
$$|a_n-L_2|<\varepsilon \Rightarrow \frac{L_1+L_2}{2}=L_2-\varepsilon<a_n<L_2+\varepsilon $$
אז נגדיר את $N=\max \{N_1,N_2\} $ ויתקיים לכל $n>N$
$$a_n<L_1+\varepsilon=\frac{L_1+L_2}{2}=L_2-\varepsilon<a_n$$
והגענו לסתירה.
\end{proof}
\end{remark}
\begin{example}
$$\forall \varepsilon>0 \exists N \forall n>N : |a_n-0|<\varepsilon $$
אבל אם ניקח לדוגמה $\varepsilon=\frac{1}{2} $ נראה כי תמיד $|a_n-0|=1>\frac{1}{2}=\varepsilon $ ולכן הגדרת הגבול לא מתקיימת!\\
יותר מזה, לסדרה אין גבול, ואת זה תוכיחו בתרגיל הבית הקרובנשאיר כתרגיל.
\end{example}
\subsection{גבולות אינסופיים}
ראינו מה קורה לגבי סדרות ששואפות למספר, אבל לפעמים נוח להגיד שסדרה "שואפת לאינסוף", כמו במקרה של $ 1,2,3,4,\cdots $ . מתי נגיד שזה מתקיים? אם הסדרה מצליחה בסופו של דבר לעקוף כל מספר, לא חשוב כמה הוא גדול. במובנים מתמטיים, זה אומר שלכל $ M $ (מספר גדול) קיים מקום בסדרה $ N $ שכל האיברים אחריו (לכל $ n>N $ ), הסדרה תהיה גדולה יותר מהמספר הגדול $ M $ . בשפת כמתים:
$$ \lim_{n\to \infty} a_n = \infty \Leftrightarrow \forall M \exists N\in \mathbb{N} : a_n > M $$
באותו אופן, אפשר להגדיר שאיפה למינוס אינסוף:
$$ \lim_{n\to \infty} a_n = -\infty \Leftrightarrow \forall M \exists N\in \mathbb{N} : a_n < M $$