שינויים

משפט: הגדרות הגבול של קושי והיינה שקולות. במילים אחרות, $\lim_begin{x\to a} f(x)=L $ לפי קושי אם ורק אם $\lim_{x\to aproof} f(x)=L $ לפי היינה הוכחה:

תהי $x_n$ סדרה לא טריוויאלית ששואפת ל-$a$, נרצה להוכיח ש- $f(x_n)\to L $ . \\יהי אפסילון גדול מ-$0$, לפי הגדרת הגבול של קושי, קיים $\delta>0 $ \\כך שלכל $x$ ש- $0<|x-a|<\delta $ מתקיים ש- $|f(x)-L|<\epsilon varepsilon $. נחזור לסדרה:$$x_n \to a \Rightarrow \exists N \forall n>N : |x_n-a|<\delta $$ולכן אם ניקח את ה-$N$ הזה יתקיים ש- $\forall n>N : |f(x_n)-L|<\varepsilon $.

$x_n \to a boxed{\Rightarrow \exists N \forall n>N : |x_n-a|<\delta $ ולכן אם ניקח את ה-$N$ הזה יתקיים ש- $\forall n>N : |f(x_n)-L|<\epsilon }$.

נניח בשלילה ש-$L$ לא גבול לפי קושי למרות שהוא גבול לפי היינה. אזי$$\boxedexists \varepsilon >0 \forall \delta>0 \exists x : |x-a|<\delta \land |f(x)-L|\geq \varepsilon $$זה נכון \textbf{לכל} דלתא, אז ניקח סדרת דלתות $\Rightarrowdelta_n=\frac{1}{n} $ ומהשורה הקודמת לכל דלתא קיים $x_n$ שמקיים$$ |x_n-a|<\delta \land |f(x_n)-L|\geq \varepsilon $$ואז מתקיים ש- $x_n\to a $ אבל $f(x_n)\not\to L $

נניח בשלילה ש-$L$ לא גבול לפי קושי. אזי $\exists \varepsilon >0 \forall \delta>0 \exists x : |x-x_0|<\delta \land |f(x)-L|<\varepsilon $ . זה נכון לכל דלתא, אז ניקח סדרת דלתות $\delta_n=\fracend{1proof}{n} $ ולכל דלתא קיים $x$ שמקיים $ |x-x_0|<\delta \land |f(x)-L|<\varepsilon $