קוד:שקילות בין הגדרות הגבול של קושי והיינה

\begin{thm} הגדרות הגבול של קושי והיינה שקולות.\\ במילים אחרות, $\lim_{x\to a} f(x)=L $ לפי קושי אם ורק אם $\lim_{x\to a} f(x)=L $ לפי היינה \end{thm}

\begin{proof}

$\boxed{\Leftarrow}$

תהי $x_n$ סדרה לא טריוויאלית ששואפת ל-$a$, נרצה להוכיח ש- $f(x_n)\to L $ .\\ יהי אפסילון גדול מ-$0$, לפי הגדרת הגבול של קושי קיים $\delta>0 $\\ כך שלכל $x$ ש- $0<|x-a|<\delta $ מתקיים ש- $|f(x)-L|<\varepsilon $ . נחזור לסדרה: $$x_n \to a \Rightarrow \exists N \forall n>N : |x_n-a|<\delta $$ ולכן אם ניקח את ה-$N$ הזה יתקיים ש- $\forall n>N : |f(x_n)-L|<\varepsilon $.

$\boxed{\Rightarrow}$

נניח בשלילה ש-$L$ לא גבול לפי קושי למרות שהוא גבול לפי היינה. אזי $$\exists \varepsilon >0 \forall \delta>0 \exists x : |x-a|<\delta \land |f(x)-L|\geq \varepsilon $$ זה נכון \textbf{לכל} דלתא, אז ניקח סדרת דלתות $\delta_n=\frac{1}{n} $ ומהשורה הקודמת לכל דלתא קיים $x_n$ שמקיים $$ |x_n-a|<\delta \land |f(x_n)-L|\geq \varepsilon $$ ואז מתקיים ש- $x_n\to a $ אבל $f(x_n)\not\to L $

\end{proof}