תנודות

תנודה היא שינוי במערכת הנמשך לאורך זמן. תנודות יכולות להיות מחזוריות בקירוב או כאוטיות. תנודות מתרחשות במערכות שונות כגון מטוטלת, גלים, מעגלי RLC ועוד. בניסוי זה נבחן תכונות מטוטלת הנשלטת על ידי כח מאלץ וריסון, ונכיר את תופעת התהודה ותהליכי מעבר.

רקע תיאורטי

תנודות הרמונית חופשיות

נתבונן בתנועת גוף של מסה m שעליו מופעל כוח אלסטי מחזיר (פרופורציוני להעתק x של הגוף מנקודת שיווי משקלו), נקבל לפי החוק השני של ניוטון:

[math]\displaystyle{ \ m \ddot{x} + k x = 0. }[/math]

זוהי משוואה דיפרנציאלית שפתרונה הוא:

[math]\displaystyle{ x(t) = A \cos (2 \pi f_0 t). \! }[/math]

כאשר [math]\displaystyle{ f_0 }[/math] הוא תדר התנועה במצב ההרמוני הפשוט.

תנודות מרוסנות

אם נוסף לכח המחזיר יפעל על הגוף כוח חיכוך הפרופורציוני למהירות, [math]\displaystyle{ \lambda v }[/math] .

לפי החוק השני של ניוטון מתקיים:

[math]\displaystyle{ m \ddot{x} + { \lambda } \dot{x} + {k } x = 0. }[/math]

פתרון המשוואה מתאר תנודות מרוסנות של הגוף, הינו:

[math]\displaystyle{ x(t) = A\exp (-\delta t)\cos ( \Omega t-\phi)) }[/math]

כאשר [math]\displaystyle{ \Omega }[/math] הוא תדר התנודות העצמיות של המערכת השווה ל-[math]\displaystyle{ \Omega ^2 = \omega_0 ^2- \delta^2 }[/math], [math]\displaystyle{ \omega_0^2 = {k \over m} }[/math], ו- [math]\displaystyle{ \delta={\lambda \over 2m} }[/math] הנקרא גורם הריסון.

האמפליטודה A והפאזה [math]\displaystyle{ \phi }[/math] תלויים בתנאי התחלה של המערכת. התנודות העצמיות מתקיימות בתדירות [math]\displaystyle{  }[/math] ומשרעת התנודות הולכת וקטנה עם הזמן בהתאם לחוק exp(t) ניתן לראות כי תדר התנודות העצמיות תלוי בכוח המרסן (ככל שהכוח המרסן יגדל, תדר התנודות העצמיות יקטן).